线性代数论文

浅谈线性代数与线性方程组的联系

工程管理-02班 19号 瓮杰雄

提要 线性代数的研究对象是解线性方程组，它是用高等数学的方法研究如何解线性方程组。线性代数有独立的系统的科学体系，在实践中应用极为广泛，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组提供了理论基础。本文由用初等数学方法解线性方程组的例子，引出线性代数中秩、矩阵、增广矩阵、逆矩阵等基本概念，论述了线性代数与线性方程组的内在联系。

关键词 矩阵 秩 线性相关 线性无关 增广矩阵 逆矩阵

线性代数是研究什么的呢? 简单讲，就是研究怎样解线性方程组的。 当然, 线性方程组在中学就学过, 比如下面就是一个线性方程组的例子:

一个庙里有一百个和尚, 这中间有大和尚有小和尚, 这一百个和尚每顿饭总共要吃一百个馒头, 其中大和尚一个人吃三个, 小和尚三个人吃一个, 问有多少大和尚, 多少小和尚?

那么, 假设大和尚的数目是x1, 小和尚的数目是x2, 那么由第一个条件, 总共有100个和尚, 可以知道

x1+x2=100

而由第二个条件, 大和尚一个人吃3个馒头, 小和尚一个人吃1/3个馒头, 吃的馒头的总数是100个, 那么就得第二个方程

13x1x2100

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将上面两个方程联立, 就得线性方程组:

x1x21003x1x100123(1)(2)

要解这个方程组有两种办法, 其实质是一样的, 一种叫消元法, 从(1)式解出x1得

x1=100-x2

将其代入到(2)式, 得

13(100x2)x210039(100x2)x23006008x2x275x11007525

因此算出共有75个小和尚, 25个大和尚. 或者用加减法, 先将(1)式乘3得 3x1+3x2=300

(3)

用此(3)式减去(1)式得

13x2x2200

3同样能够解得x2=75

而其实, 更多元的线性方程组也是同样的解法.

那么, 为什么还要开线性代数这门课程专门研究解线性方程组的问题呢?

线性代数要研究的是解有许多变元的线性方程组, 即变量的个数要比上例多得多, 可能会多到几十个变元, 上百个变元, 甚至成千上万个变元.

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因此, 线性代数给出的一般的线性方程组的形式是:

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2 an1x1an2x2annxnbn 那么, 既然变元如此之多, 一定不能用人工手算, 必然要用计算机来进行计算. 因此, 如果没有计算机的发展, 线性代数这门课也就没有什么用. 实际上, 线性代数正是为了用计算机解线性方程组提供理论基础。

那么, 为什么解线性方程组的问题在实际的科学技术的研究领域中得到广泛地运用呢?

首先，什么叫线性什么叫非线性呢？ 当一个变量x和另一个变量y成正比关系的时候, 比如说

x=ay

那么, 称x与y呈线性关系, 因为它们的这个函数关系绘制的图形是一条直线. 当然, 这条直线还穿过原点, 因此称它们是齐次线性关系。 不穿过原点的直线也是一种线性关系, 当然就是非齐次的, 比如

x=ay+b

当然, 在一个系统中有多个变元, 那么线性关系可以描述为 a1x1+a2x2+…+anxn=b 可见这也是一个线性方程组.

那么什么叫做非线性关系呢? 比如下面一些例子: x=ay2

xalnyb

等等都是非线性关系.

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当然也有非线性方程组, 比如下面这个方程组:

x2y25 ylnx0就是非线性的, 它的一个解是x=1, y=2。

那么, 为什么线性代数得到广泛运用, 也就是说, 为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事, 而并非解非线性方程组是经常的事呢?

这是因为, 大自然的许多现象恰好是线性变化的。

按照辩证唯物主义的观点, 世间的一切事物都是在不断地运动着的. 所谓运动, 从数学上描述, 就是随时间而变化, 因此, 研究各个量随时间的变化率, 即导数, 与各个量的大小之间的关系, 就是非常重要的.

在物理学方面, 整个物理世界可以分为机械运动, 电运动, 还有量子力学的运动.

而机械运动的基本方程是牛顿第二定律, 即物体的加速度同它所受到的力成正比, 这是一个基本的线性微分方程. 由此根据不同的力学系统, 又可以构成更为复杂的微分方程.

电运动的基本方程是麦克思韦方程组, 这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比, 而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比, 因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组.

而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程, 也是线性方程组.

在计算机出现之前, 要解线性微分方程组是非常难的事情, 通常是要努力地找各种函数的原函数, 将一些积分算出来. 因此, 找原函数的技

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术得到广泛研究. 因为, 一旦找到了原函数, 积分的运算量就没有那么大了. 这就是到今天为止的高等数学教育还残留有过去的传统, 即对各种原函数的求解技巧津津乐道的重要原因. 但是, 实际情况中, 原函数并不总是存在的, 因此总需要数值解. 而在计算机出现之前, 数值解通过人工计算, 是相当耗时费力的.

而在计算机被大量使用之后, 情况就出现了改观, 计算机在极短的时间内, 比如在0.1秒的时间, 就可以做成千上万的乘法和加法. 因此, 通过程序来求解线性微分方程组就是常见的事.

而微分方程组在通过计算机程序作数值求解的时候, 实际上是将线性微分方程组化成了有许多变元的线性方程组.

而在经济学和会计学方面, 线性方程组也是得到广泛的运用的. 比如上面这个例子实际上是一个经济学的例子, 是给一个庙的和尚作伙食供给时的问题. 而实际过程如果不是一个庙, 而是一家公司, 这家公司的职员也不是分为两等, 而是许多等, 他们的薪水不同, 消耗的生产或者办公器材的多少也不同, 投资多少也不同, 这样也可以构成大量的线性方程组.

那么, 计算机是怎样解线性方程组的呢, 还是用上面这个例子来说明, 即线性方程组是

x1x21003x1x100 123首先说保存, 计算机保存这个线性方程组, 也就是保存这个方程组中每个变元的系数以及等号右边的常数, 因此也就是要保存阵列

1 1 100

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3 1/3 100

这6个数, 所谓计算解这个线性方程组, 当然也就是要对这个阵列进行处理. 因此, 将这个数的阵列用一个字母B表示, 也就是写成

11100 B131003这在线性代数的术语中叫做矩阵, 在大学的学习中, 用一个字母来表示许多数, 甚至包括成千上万的数, 这种办法是在线性代数的课程中首先遇到的. 而在线性代数以外的课程也沿用这种办法. 比如在计算机的图像处理中, 一个图像由成千上万个象素点构成, 也可以只用一个字母来表示一个图像.

上面的矩阵B被称作是线性方程组的增广矩阵, 那么, 给定一个增广矩阵, 也就是给定了一个线性方程组. 而计算机解线性方程组是采用加减法来进行的. 比如说, 上面的矩阵中, 将第一行的每个数都乘上-3以后加到第二行, 也就相当于将第一个方程乘上-3后左右分别加到第二个方程的两边, 这样得到的第二行的第一个数就变成0了, 这样矩阵B就变成

100118 02003第二行现在对应方程x2200, 那么对此方程两边乘上-3/8, 就可得x2=75, 那么对于计算机的操作来讲, 也就是将第二行的所有数都乘上-3/8, 这样阵列就变成

111000175 83这对应于线性方程组

x1x2100 x2756

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那么, 再将上面的方程组中第一个方程减去第二个方程, 就得x1=25, 这对应于将上面的矩阵的第一行的各个元素减去第二行的各个元素, 这样得到矩阵

10250175 这样, 计算机只要通过将某一行乘某一个数, 或者某一行乘上某一个数加到另一行的这种办法, 经过处理直到右边的两列成为对角线上是1, 其它地方是0, 那么最右边一列就是方程组的解.

那么, 线性代数的问题就这么容易解决了么? 没有那么简单。 首先是一个线性方程组要有解, 才能够解出解, 而实际过程中建立的线性方程组就有可能出错, 比如会计的帐对不上, 这时候线性方程组就无解, 下面是一个明显的无解方程组的例子:

x12x23 x2x421怎么可能x1+2x2即等于3又等于4呢? 这是矛盾的. 因此, 无解方程组也就是矛盾方程组. 但如果将上面的第2个方程乘上2, 形成这样一个方程组

x12x23 2x4x821那么就不太容易看出来. 而我们的目的是要通过程序让计算机自动判定方程组有没有解, 那么在成百上千个方程中判定有没有解, 就不是一件容易的事, 就需要研究解的存在性的理论。

还有一个愿望就是, 虽然方程组有解, 但希望能够有一个唯一的解, 即得到唯一的结果. 那么通常的经验是, 如果是三元一次线性方程组, 那

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么至少要有三个线性方程才能得到唯一解, 如是是四元一次线性方程组, 那么至少要有四个线性方程才能得到唯一的解. 一般说来, 如果有n个未知数, 或者称为n个变元, 那么就至少要有n个线性方程才能得到唯一解.

但是, 这个说法是不严格的, 比如下面这个方程组

x12x23 2x4x621这个方程组虽然有解, 但没有唯一解, 原因就是第二个方程可以通过第一个方程乘上2得到, 因此第二个方程是多余的, 是应当扔掉的, 是水货. 因此, 这个方程组的方程数不够, 是指的实实在在的方程数不够. 当然, 这个例子可以一眼就看出来. 可是当计算机在解一个有成千上万变元的线性方程组的时候, 怎么能够判定出来有没有唯一解呢? 比如说, 要解一个500个变元的500个线性方程构成的线性方程组, 但其实其中有100个方程是可以从另400个线性方程推导出来的, 那么就是多余的. 那么也就是说, 这500个线性方程组中, 实实在在的只有400个, 另有100个是水货.

因此, 抽象地说, 如果一个有着n个变元的线性方程组要有唯一解, 必须有n个实实在在的方程数. 那么, 一个线性方程组中的实实在在的方程的个数, 即不可以从其它的方程中推导出来的个数, 被称作一个线性方程组的秩, 或者是它的增广矩阵的秩. 那么, 怎样通过一个程序计算出这个秩, 怎样自动地将线性方程组中多余的方程扔掉, 也是线性代数研究的课题.

此外, 如果有m个线性方程不能够相互推导出来, 也就是说它们是

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实实在在的, 这在线性代数的术语中叫做线性无关. 而反之, 如果一组线性方程存在着一些可以从另一些推导出来的情况, 就称作线性相关.

那么, 最后的结论就是如果一个有着n个变元的线性方程组要有唯一解, 它就必须有n个线性无关的线性方程, 或者说它的秩必须是n.

还有一些情况, 比如经常会有一种情况, 就是计算机要反复地解一个线性方程组

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2 an1x1an2x2annxnbn其中只是等号右边的常数项总变, 而左边的系数都不变, 那么就希望变换成这样:

x1c11b1c12b2c1nbnxcbcbcb22112222nn xncn1b1cn2b2cnnbn这样可以减少计算量, 那么, 这就会产生矩阵求逆的问题。由于篇幅有限，本文不再具体论述矩阵求逆的问题。

总之，线性代数的研究对象解线性方程组，它是用高等数学的方法研究如何解线性方程组。线性代数有独立的系统的科学体系，在实践中应用极为广泛，尤其是线性代数为用计算机解线性方程组提供了科学的理论基础。

参考文献：

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1. 《线性代数》（第三版） 同济大学教研室编，高等教育出版社 2. 《线性代数导教、导学、导考》 西北工业大学出版社

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