专题12 利用全等三角形的性质解决角的证明与计算问题(解析版)

知识对接

考点一、怎样解三角形全等的判定问题

证明两条线段相等(或两个角相等)的常用方法是证明这两条线段(或两个角)所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方法有“SSS\"“SAS\"“ASA\"“AAS\" ,对于直角三角形还有“HL” 三角形全等的判定方法的选择:

(1) 当已知两边分别相等时，可找两边的 夹角或第三边，利用“SAS\"或“SSS”来证明两个三角形全等. (2) 当已知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的 对边，利用“ASA\"或“AAS\"来证明两个三角形全等.

(3) 当已知一角及其对边分别相等时，可找任意一角,利用“AAS\"来证明两个三角 形全等.

(4) 当已知一角及其一邻边分别相等时，可找任意一角利用“AAS\"或“ASA\"来证明两个三角形全等,也可以找这个角的另一邻 边,利用“SAS”来证明两个三角形全等.

(5)在直角三角形中除了利用“SS\"S\"ASA\"AAS\"”还可以利用“HL”来证明两个三角形全等:

专项训练

一、单选题

1．（2021·珠海市紫荆中学桃园校区九年级一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，CG//AE交BF于点G，下列结论，①sinHBEcosHEB；①CGBFBCCF；①BC2BGBHFG；①其中正确的是（ ） CF2GF

A．①①① 【答案】D 【分析】

B．①①①

C．①①①

D．①①①

1

①根据正方形的性质求证BHE是直角三角形即可得到结果； ①由①求证△CGF△BCF，利用其对应边成比例即可得到结论；

①由①求证△BHE△CGF即可得出结论； ①利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； 【详解】

①在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点， ①△ABE△BCF， ①BEACFB， ①CG①AE， ①GCBABE， ①CFGGCB，

①CFGGCF90，即①CGF为直角三角形， ①CG①AE，

①①BHE也是直角三角形， ①sinHBEcosHEB． 故①正确； 由①得△CGF①

△BCF，

CGCF， BCBF①CGBFBCCF， 故①正确；

由①得△BHE△CGF， ①BH=CG，而不是BH=FG， 故①错误； ①△BCG①

△BFC，

BCBG， BFBC即BC2BGBF， 同理可得：△BCF△CGF，

可得CF2BFGF，

BF2BG①2，

GFCF①①正确；

综上所述，正确的有①①①． 故答案选D． 【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等三角形性质是解题的关键． 2．如图，在ABC中，ACB90，将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）

A．ACDE 【答案】D 【分析】

B．BCEF C．AEFD D．ABDF

本题可通过旋转的性质得出①ABC与①DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项． 【详解】

由已知得：①ABC①DEC，则AC=DC，①A=①D，①B=①CED，故A选项错误； ①①A=①A，①B=①CED=①AEF， 故①AEF①ABC，则

EFBCAE， AB假设BC=EF，则有AE=AB，

由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误； 假设①AEF=①D，则①CED=①AEF=①D，

故①CED为等腰直角三角形，即①ABC为等腰直角三角形，

因为题干信息①ABC未说明其三角形性质，故假设①AEF=①D不一定成立，故C选项错误； ①①ACB=90°， ①①A+①B=90°． 又①①A=①D，

3

①①B+①D=90°．

故AB①DF，D选项正确． 故选：D． 【点睛】

本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．

3．（2021·浙江九年级二模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则①1+①2+①3的度数是（ ）

A．90 【答案】D 【分析】

B．120 C．135 D．180

根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬,①5+①7+①8=180°，即①1+①2+①3=360°-180°. 【详解】

①图中是三个全等三角形， ①①4=①8, ①6=①7,

又①三角形ABC的外角和=①1+①2+①3+①4+①5+①6=360〬, 又①5+①7+①8=180°， ①①1+①2+①3=360°-180°=180°.

故选D 【点睛】

本题考核知识点：全等三角形性质，三角形的角. 解题关键点：熟记全等三角形的性质. 4．（2021·河北）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容． 如图，已知①AOB，求作：①DEF，使①DEF＝①AOB．

作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，○长为半径画弧交EG于点D； （3）以点D为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F； （4）作①，则①DEF即为所求作的角．

A．①表示点E B．○表示PQ C．*表示ED D．①表示射线EF

【答案】D 【分析】

根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论． 【详解】

解：由图可得作法：

（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，OQ为半径画弧交EG于点D； （3）以D为圆心，PQ长为半径画弧交前弧于点F； （4）作射线EF，①DEF即为所求作的角． 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 5．（2021·河北邢台·）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：①AOB．

5

求作：①A'O'B'，使①A'O'B'=①AOB．

作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'； （3）以点C'为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'； （4）过点D'画射线O'B'，则①A'O'B'=①AOB．

下列说法正确的是（ ） A．m－p>0 【答案】D 【分析】

利用作法根据根据圆的半径相等可得出两个三角形的边长相同，即可得到结论． 【详解】

解：由作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′， 则m=n>0． 故选：D． 【点睛】

本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．

6．（2021·四川遂宁·）下列说法正确的是（ ） A．角平分线上的点到角两边的距离相等

B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．在代数式，2x，

1aB．1－p>0 C．p=n>0

12D．m=n>0

xx1441，985，2b，y中，，，2b是分式

aaa3D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4 【答案】A 【分析】

根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可． 【详解】

解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确； B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； C.在代数式，2x，

1ax1441，985，2b，y中，，2b是分式，故选项错误；

aaa3D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误； 故选：A． 【点睛】

本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．

7．（2021·内蒙古包头·九年级）下列说法：①若分式

2xx2的值为0，则x的值为2；①到角两边距离相等

的点在这个角的平分线上；①直线CD与①O相切，P在直线CD上，则OPCD；①点Ax1,y1、Bx2,y2在抛物线ymx22mx5的图象上，若x1x22，则y1y2．正确的有（ ）个 A．0 【答案】B 【分析】

①根据分式的值为0的条件进行判断，即可； ①由角平分线的判定定理进行判断即可； ①由切线的性质进行判断即可；

①先求出抛物线的对称轴，然后进行判断即可． 【详解】 解：若分式

2xx2B．1 C．2 D．3

的值为0，

①2x0，x20 ①x2；则①错误；

在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；则①错误；

直线CD与①O相切，P在直线CD上，若点P为切点，则OPCD；则①错误； ①点Ax1,y1、Bx2,y2在抛物线ymx22mx5， ①对称轴为：x2m1， 2m

7

①若

x1x2=1，即x1x22，则y1y2；故①正确； 2①正确的结论只有1个； 故选：B． 【点睛】

本题考查了分式的值为0的条件，角平分线的定义，切线的性质，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行判断．

8．（2021·上海宝山·九年级）下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的梯形是等腰梯形 B．有两个角相等的梯形是等腰梯形 C．一组对边平行的四边形一定是梯形

D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 【答案】A 【分析】

根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可． 【详解】

解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，

①四边形ABCD为梯形， ①DC∥AB，

过C作CE①DB交AB延长线于E， ①四边形BECD为平行四边形 ①①DBA=①E，BD=CE， ①AC=BD， ①AC=BD=CE，

①①CAB=①E=①DBA， 在①ADB和①BCA中， ACBDCABDBA， ABBA①①ADB①①BCA（SAS）， ①AD=BC，

四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确；

B、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；

C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；

D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误； 故选：A． 【点睛】

本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键． 9．（2021·广西九年级）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）

A．作一个角等于已知角 B．作一个角的平分线

C．作一条线段的垂直平分线 D．过直线外一点P作已知直线的垂线

【答案】C 【分析】

利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案． 【详解】

9

解：A.作一个角等于已知角的方法正确，不符合题意； B.作一个角的平分线的作法正确，不符合题意；

C.作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误，符合题意； D.过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】

此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．

10．（2021·重庆南开中学九年级）下列命题中是假命题的是（ ） A．两条平行线之间的距离处处相等 B．同旁内角互补

C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】B 【分析】

利用平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】

解：A、两条平行线之间的距离处处相等，正确，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线间的距离、平行线的性质、角平分线的性质及矩形的判定方法，难度不大． 二、填空题

11．（2021·河南）如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AECF，则四边形DEBF是________．

【答案】平行四边形 【分析】

根据已知条件，推出四边形的两对边相等，从而得出四边形是平行四边形． 【详解】 ①AD∥BC ①DAEBCF ①ADBC，AECF ①ADE≌BCF ①DEBF

同理，△ADE≌△CFD ①DFBE

①四边形DEBF是平行四边形 故答案为：平行四边形． 【点睛】

本题考查了平行的性质、全等三角形、平行四边形的判定，熟练应用性质、定理是关键

12．（2021·山东九年级）如图，正方形ABCD中，AD4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则EMN的周长是________．

【答案】5210 2【分析】

如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1，①DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=10，PD=3，如图2，由平行相似证明①DGC①①FGA，列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据①GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DE//GM证明

11

①DEN①①MNH，则【详解】

DEEN10，得EN=，从而计算出①EMN各边的长，相加可得周长． MHNH2解：如图1，过E作PQ①DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，

①①BCD=①ABC=90°， ①四边形BCPQ是矩形， ①BC=PQ， ①DC//AB， ①PQ①AB，

①四边形ABCD是正方形， ①①ACD=45°，

①①PEC是等腰直角三角形， ①PE=PC， ①PD=EQ，

①①PED+①FEQ=90°，①EFQ+①FEQ=90°， ①①PED=①EFQ， 在①DPE和①EQF中 PEDEFQDPEFQE90， PDEQ①①DPE①①EQF， ①DE=EF， ①DE①EF，

①①DEF是等腰直角三角形， 在①DEC和①BEC中

CDBCACDACB， CECE①①DEC①①BEC， ①DE=BE， ①EF=BE， ①EQ①FB， ①FQ=BQ=12BF，

①AB=4，F是AB的中点， ①BF=2， ①FQ=BQ=PE=1， ①CE=2，PD=4-1=3，

Rt①DAF中，DF=422225，DE=EF=10， 如图2，

①DC//AB， ①①DGC①①FGA， ①

CGAGDCAFDGFG422， ①CG=2AG，DG=2FG， ①FG=1253253，

①AC=424242，

13

282①CG=42，

33①EG=8252， 233连接GM、GN，交EF于H， ①①GFE=45°，

①①GHF是等腰直角三角形， 2510， ①GH=FH=332①EH=EF-FH=1010210， 33由折叠得：GM①EF，MH=GH=①①EHM=①DEF=90°， ①DE//HM， ①①DEN①①MNH， ①

DEEN， MHNH10， 310EN3①10NH，

3①EN=3NH， ①EN+NH═EH=①EN=10， 22101010， 326210， 3①NH=EH-EN=Rt①GNH中，GN=GH2NH2(10)2(10)252，

366由折叠得：MN=GN，EM=EG， ①①EMN的周长=EN+MN+EM=【点睛】

本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE的长是关键． 13．（2021·湖南长沙市·九年级）如图，ABC≌DCB,AC与BD相交于点E，若ACB40，则BEC等

1052525210． 2632于___________．

【答案】100 【分析】

根据全等三角形的性质得到①DBC=①ACB=40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】

解：①①ABC①①DCB，①ACB=40°， ①①DBC=①ACB=40°，

①①BEC=180°-①DBC-①ACB=180°-40°-40°=100°， 故答案为：100°． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和的定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 14．（2021·江苏）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AEBD，垂足为E，连接CE．若ADB30，则如tanDEC的值为_____．

【答案】【分析】

3 2过C向BD作垂线，可以构造出一个30°直角三角①CDF，进而求出△AEB≌△CFD，设直角CDF最小边DF=a,并用a的代数式表示出其他边，即可求出答案． 【详解】

解：过C作CF①BD，垂足为F点 ①矩形ABCD, ADB30

①AD①BC，ABCBCD90,DBCADB30, AB=CD AEBD,CFBD,

15

BAEABEABEDBC90, FBCFCBFCBFCD90,

①①DBC=①DCF=①BAE=30°

设DF=a,则CF=3a，CD=2a，BD=4a， ①AEBD ①①AEB=①CFD=90° ①△AEB≌△CFD， ①EB=DF=a ①EF=4a-a-a=2a ①tanDECCF3 EF2

故答案是【点睛】

3． 2 本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．15．（2021·浙江）如图，在①ABC中，AC=BC=42，①C=90°，点D在BC上，且CD=3DB，将①ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则tan①BED的值是_____．

【答案】

7 24【分析】

先根据翻折变换的性质得到①DEF①①AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到①BED=CDF，求出CD=32，CF=x，再根据勾股定理即可求解． 【详解】

解：①①DEF是①AEF翻折而成， ①①DEF①①AEF，①A=①EDF，

①①ABC是等腰直角三角形， ①①A=①B=①EDF=45°，

由三角形外角性质得：①CDF+45°=①BED+45°， ①①BED=①CDF，

①CD=3DB，CDDBBC42， ①CD=32，

设CF=x，则DF=FA=42x， ①在Rt①CDF中，由勾股定理得， CF2+CD2=DF2，

即x2(32)2(42x)2， 解得：x①CF72， 872， 872CF7； ①

tanBEDtanCDF8CD3224故答案为：【点睛】

7. 24本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题. 三、解答题

16．如图，等腰直角①ABC中，①ABC＝90°，点D在AC上，将①ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE．

（1）求①DCE的度数；

（2）当AB＝4，AD①DC＝1①3时，求DB的长．

17

【答案】（1）90；（2）10． 【分析】

（1）由题意我们知道AACB90，通过全等三角形得出BCEA，就能得出DCE90的结论；（2）由（1）可得出DCE是个直角三角形，可根据勾股定理求出DE的长，根据角的关系证明DBE是等腰直角三角形，所以要求DB的长，就必须求出DE的长即可解决问题． 【详解】

解：（1）①ABBC，ABC90 ①ABCA45，

①①ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到①CBE， ①ABD≌CBE， ①ABCE45，

①DCEDCBBCE90， 故答案为：90．

（2）在等腰直角三角形ABC中，①AB4， ①AC424242， ①AD:DC1:3， ①AD13AC2，DCAC32． 44由（1）得：ADCE且DCE90， ①DE2DC2CE218220， ①DE25，

①ABDCBE，BDBE，

①DBEDBCCBEDBCABDABC90， 在RtDBE中，根据勾股定理得：

DB2BE2DE2，即2DB220， ①DB10．

故答案为：10． 【点睛】

本题考查了旋转性质，勾股定理等知识，利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键．

17．（2021·北京房山区·）如图，ABAD，BACDAC，D70，求B的度数

【答案】B70 【分析】

先证明①ABC①①ADC（SAS）得到①B＝①D，即可求解． 【详解】

证明：在①ABC与①ADC中，

ABAD， BACDAC，ACAC.①①ABC①①ADC， ①BD， ①D70， ①B70． 【点睛】

本题考查了全等三角形的SAS判定和性质，掌握SAS判定方法是关键.

18．（2021·北京西城·）如图，在ABC中，ABAC,BAC90．D是ABC内一点，ADCBAC．过点B作BE//CD交AD的延长线于点E．

（1）依题意补全图形； （2）求证：CADABE；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE；见解析

19

【分析】

（1）根据题意作出平行线和交点即可；

（2）如图，根据平行，得到①1=①ADC=①BAC，再根据三角形外角定理得到ABE1BAE，

CADBACBAE，从而CADABE；

（3）通过在BE上截取BGAD，构造△ABG≌△CAD，再结合平行进一步得到1BGA，从而证明

AGE2，AEAG=CD．

【详解】

解：补全图形如图6所示．

（2）证明：如图7，延长BE至点F．

①BE//CD，点F在BE的延长线上， ①ADC1．

①ADCBAC，①1BAC． ①1是△ABE的外角，

①1ABEBAE，①ABE1BAE．

又①CADBACBAE， ①CADABE． （3） AE

证明：如图8，延长BE至点F，在BE上截取BGAD，连接AG

由（2）得ABGCAD，又①ABAC ①△ABG≌△CAD，①AGCD，BGAADC． ①ADC1，①1BGA．

①AGEBGA180，21180， ①AGE2．①AEAG． ①AECD． 【点睛】

本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键．19．（2021·河北九年级三模）如图，在①ABC中，AB=42，①B=45°，①C=60°． （1）求BC边上的高线长．

（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将①AEF折叠得到①PEF． ①如图2，当点P落在BC上时，求①AEP的度数． ①如图3，连结AP，当PF①AC时，求AP的长．

21

【答案】（1）4;（2）①90°；①26 【分析】

（1）如图1中，过点A作AD①BC于D．解直角三角形求出AD即可． （2）①证明BE=EP，可得①EPB=①B=45°解决问题． ①如图3中，由（1）可知：AC=决问题． 【详解】

解：（1）如图1，过点A作AD①BC于点D， 在Rt①ABD中，ADABsin45=422=4. 2AFAEAD83，证明①AEF①①ACB，推出，由此求出AF即可解ABACsin603

（2）①如图2，①①AEF①①PEF， ①AE＝EP. 又①AE＝BE ， ①BE＝EP， ①①EPB＝①B＝45°， ①①AEP＝90°.

①如图3，由（1）可知：在Rt①ADC中，AC①PF①AC， ①①PFA＝90°. ①①AEF①①PEF，

①①AFE＝①PFE＝45°，则①AFE＝①B.

AD83. sin603又①①EAF＝①CAB， ①①EAF①①CAB，

2AFAEAF①＝，即＝842ACAB23， 3①AF＝23,

在Rt①AFP中，AF＝PF，则AP＝2AF＝26.

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

20．（2021·辽宁大连·）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，①B=①C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．

【答案】证明见解析.

【分析】求出BF=CE，根据SAS推出①ABF①①DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】①BE=CF， ①BE+EF=CF+EF， ①BF=CE，

在①ABF和①DCE中 ABDC



BC， BFCE

①①ABF①①DCE（SAS）， ①①GEF=①GFE，

23

①EG=FG．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

21．（2021·辽宁阜新市教育服务中心）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AECF．

（1）如图2，求证：DEDF；

（2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：DGEF；

（3）设正方形ABCD的中心为O，CFE，用含的式子表示DGO的度数（不必证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①DGO=α+45°或①DGO=α-45°或①DGO=45°-α． 【分析】

（1）四边形ABCD是正方形，ADCD，CDAB，又知道AECF，可得到△DAE≌△DCF即可求解；

（2）作EH//BC交AC于点H,则EHGFCG,知道四边形ABCD是正方形可得ABBC，B90推出

BACBCA，EH//BC，AHEACB，BAHAHE，AEEH，得到AECF，EHCF，又

知道EGHFGC得到△EHG≌△FCG即可求解

（3）分三种情况①点E在线段AB上、①点E在线段BA的延长线上、①点E在线段AB的延长线上，逐一进行讨论即可求解． 【详解】

解：（1）①四边形ABCD是正方形， ①ADCD，CDAB90． ①DAEC90． 又①AECF， ①△DAE≌△DCF．

①DEDF．

（2）（解法一）作EH//BC交AC于点H，如图1．则EHGFCG．

图1

①四边形ABCD是正方形， ①ABBC，B90． ①BACBCA45 ①EH//BC，

①AHEACB45． ①BAHAHE． ①AEEH． ①AECF， ①EHCF． 又①EGHFGC， ①△EHG≌△FCG． ①EGGF．

由（1）同理可得DEDF， ①DGEF．

（解法二）作EH//BC交AC于点H ，如图2．

图2

①四边形ABCD是正方形， ①ABBC，B90．

25

①BACBCA45， ①EH//BC，

①AHEACB45． ①BAHAHE． ①EAEH． 又①AECF， ①EHCF． 连接CE，FH ． 又①EH//CF．

①四边形CEHF是平行四边形． ①EGGF．

由（1）同理可得DEDF， ①DGEF．

（3）解：①当点E在线段AB上时，

①四边形ABCD是正方形， ①①BCD=①ADC=90°，①ACD=45°，①△DAE≌△DCF， ①①ADE=①CDF，

①①ADE+①EDC=①ADC=90°， ①①EDC+①CDF=90°， 即①EDF=90°， ①DE=DF，DG①EF， ①①GDF=①2=45°，

①①1=45°-①3， ①①BCD=90°， ①①3+①2+①CFE=90°， ①①3=90°-45°-α=45°-α， ①①1=45°-①3=α， ①①DGO=①ACD+①1， ①①DGO=α+45°；

①当点E在线段BA的延长线上时，

①四边形ABCD是正方形， ①①BCD=①ADC=90°，①BDC=45°，①△DAE≌△DCF， ①①ADE=①CDF，

①①ADF+①CDF=①ADC=90°， ①①EDA+①ADF=90°， 即①EDF=90°， ①DE=DF，DG①EF， ①①GDF=①GFD=①BDC=45°， ①①1=①2， ①①BCD=90°， ①①3+①2=90°，

①①3=①CFE-①GFD=α-45°， ①①2=90°-α+45°=135°-α， ①①1=①2=135°-α，

27

①①DGO=90°-①1=α-45°；

①当点E在线段AB的延长线上时，

①四边形ABCD是正方形，

①AB①CD，①ACD=45°，①ABC=①ADC=90°， ①△DAE≌△DCF， ①①ADE=①CDF，

①①ADE+①EDC=①ADC=90°， ①①EDC+①CDF=90°， 即①EDF=90°， ①①2=①3，

①DE=DF，DG①EF， ①①GDE=①DEG=45°， ①①1+①3=45°， ①①ABC=90°，

①①CFE+①2+①DEG=90°， ①①CFE-①2=45°， ①①CFE=①1=α，

①①DGO+①1=①ACD=45°， ①①DGO=45°-α．

综上：①DGO=α+45°或①DGO=α-45°或①DGO=45°-α． 【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE=DF，利用等腰直角三角形的性质求解． 22．BCD90，BCDC，（2021·河北保定市·）如图，直线PQ经过点D．设PDC（45135），BAPQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90，与直线PQ交于点E．

（1）判断：ABC________PDC（填“”或“”或“”）； （2）猜想ACE的形状，并说明理由；

（3）若ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出的取值范围．

【答案】（1）；（2）ACE是等腰直角三角形；理由见解析；（3）4590． 【分析】

（1）由四边形ABCD的内角和与邻补角的性质证明EDCABC，即可得到结论．

再证明ECD≌ACB， （2）由旋转的性质可得：ACEBCD90，证明ECDBCA，从而可得结论；（3）当PDCABC90时，ABC的外心在其斜边上，①ABC=α＞90°时，ABC的外心在其外部，从而可得到答案． 【详解】 解：（1）

ABAD，DCB90， CDAABC3609090180， CDACDE180，EDCABC.

故答案为：．

（2）ACE是等腰直角三角形．

理由如下：由旋转可得：ACEBCD90， ECDDCA90DCABCA， ECDBCA，在ECD与△ACB中，

29

ECDBCA CDCBEDCABCECD≌ACBASA ECAC，又ACE90

ACE是等腰直角三角形．

（3）当①ABC=α=90°时，

ABC的外心在其斜边上，

①ABC=α＞90°时，ABC的外心在其外部，

PDCDCAEAC＜135， 由PDC＞EAC45， 45°＜α＜135°，

故：4590． 【点睛】

本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．

23．（2021·杭州市采荷中学）已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．

（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OPOQ；

BS10，（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S.若AD4，DCB60，

求AS和OR的长．

【答案】（1）见解析；（2）239，【分析】

839. 35（1）根据菱形的性质证明①ODQ①①OBP，即可得到OPOQ．

（2）首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为T，在Rt①ABT中，易BT的长；证得①ABT=①DCB=60°，又已知了斜边AB的长，通过解直角三角形可求出AT、进而可在Rt①ATS

中，由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形，则AD①BC，易证得①ADO①①SBO，已知了AD、BS的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形①ADR和①SCR求得AR、RS的值；由OR=OS-RS即可求出OR的长． 【详解】

（1）证明：四边形ABCD为菱形，

AD//BC．

OBPODQ,

O是BD的中点， OBOD,

在BOP和DOQ中，

OBPODQ，OBOD，BOPDOQ BOP①DOQASA

OPOQ．

（2）解：如图乙，

过A作ATBC，与CB的延长线交于T．

ABCD是菱形，DCB60

ABAD4，ABT60

在RtATB中，ATABsin6023

TBABcos602,

BS10，

TSTBBS12，

在RtATS中，

ASAT2TS2239． AD//BS，

31

AOD①SOB．

AOOSADSB41025， 则ASOS2OS5， ASOS75， AS239， OS5107AS397． 同理可得ARD①SRC． ARAD4RSSC623， 则ASSRRS23， ASRS53， RS36395AS5． OROSRS10397639583935． 【点睛】

此题考查了菱形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（求出AS的长是解答此题的关键．

2）中能够正确的构建出直角三角形，

33