初一数学专题一有理数及其运算

优秀是训练出来的 初一（上）数学

初一数学专题讲义一 有理数及其运算

一、 有理数的基本概念：

（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误

1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数

2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。

13.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x|=||，则x=______；若|x|=|－4|，则x=____；

2若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿

2 ，那么a=____；若x2=(－2)2，则x=_______. 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果a 163

5.注意乘方中括号的作用。（－2）的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n为正整数，则（－1）2n=_ __, (－1) 2n+1=_ __。计算：

（1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5）

=

6.a的相反数是 ；a+b的相反数是 ；a-b的相反数是 ；-a+b-c的相反数是 ；

变式训练：若a＜b，则∣a-b∣= ，-∣a-b∣= （二）绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则a0

8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a＞0） |a| = （a＝0 ）

（a＜0 ） 9.绝对值的非负性：

（1）若|a|＝0，则a ； （2）若|a|＝a，则a ； （3）若|a|＝—a，则a ； （4）

， 则

aa______；______；（5）a0，则（6）若|a|+|b|=0，则a 且b |a||a| 小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。

例1． 已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？

例2.若ab<0，求

2

abab++的值． |a||b||ab|优秀是训练出来的 初一（上）数学

例3.（1）如果x＜－2，那么|1－|1+ x||= ； 若|m－1|=m－1,则m___1. ； 若|m－1|=1－m,则m___1.

（2）已知a3，且aa0，则a3a2a1___________．

例4.（数形结合） 有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|

即时练习：1已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c—b|—|a—c|+|b-a|

2.数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||

例5. 若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2| 即时练习：1.已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

C B 0 A

a 0 c b a 0 b 2. 若a<0，试化简

2a|3a|abc 3. 若abc≠0，则的所有可能值为

||3a|a||a||b||c|3

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例6.（难题，整体思想）若xy3与xy1999互为相反数，求

（三）分类讨论的思想：

例7. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且x的绝对值是5，

试求x－（a+b－cd）+│（a+b）－4│+│3－cd│的值． 即时练习：

x2y的值 xy1. 已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y的值为多少？ 2.解方程：|x-5|=8

（四）两个重要的非负数：①a0；②a2≥0；③ a2a2a2

例8.若2a122ab0,且c12,求ca3b 的值。

例9．已知ab2与b1互为相反数，求代数式

1111的值. ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a1999)(b1999)

4

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二、 突破有理数的计算

（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分

母优先，分配律优先。减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。 例10.计算：（过关训练）

11(1.5)42.75(5)32(6)8(2)(4)5 42（1） （2）

1252[4(10.2)(2)](16503)(2)255（3） （4）5(6)(4)(8) （5）

2213532(3)2(2)2(98)999899（6） 48 （7）

34824

（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算： 例11.计算：（巧算） （1）

111111111111 （2）+++++． 248163264200420032003200210031002例12.（逆向思维）计算：（－

453553）×－（－）×（－）－×（－1） 5135131355

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例13.（裂项求和）

例14.（1）（分组求和）1-2+3-4+…+2001-2002 （2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99

（三）利用幂的性质巧算：

例15.计算：（1）

（四）整体代入求值初步：

（2）

例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c= .

例17.已知

6

ab2ab5ab的值 3，试求代数式ababab优秀是训练出来的 初一（上）数学

课后练习：

一、耐心填一填：

22的绝对值是 ，的相反数是 ，1、5525的倒数是 ．

2、某水库的水位下降1米，记作 －1米，那么 ＋1.2米表示 ． ．

4、已知|a－3|＋（b4）=0，则（ab）＝ ．

220035、已知p是数轴上的一点4，把p点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么p点表示的数是______________。

6、最大的负整数与最小的正整数的和是_________ 。 7、12003+1= 。

20048、若x、y是两个负数，且x＜y，那么|x| |y| 9、若|a|＋a＝0，则a的取值范围是 10、若|a|＋|b|＝0，则a＝ ，b＝ 二、精心选一选：

1、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ）

A 0 B －1 C 1 D 0或1

2、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（ ）

7

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A 8 B 7 C 6 D 5

100101

3、计算：(－2)+(－2)的是（ ）

100

A 2 B －1 C －2 D 100

－2

4、两个负数的和一定是（ ）A 负 B 非正数 C 非负数 D 正数

5、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A，B，那么A，B两点间的距离等于（ ）

A 99 B 100 C 102 D 103 6、1的相反数是（ ）A －3 B 3 31C 1 D  337、若x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，则x＋y一定是（ ） A 负数 B 正数 C 0 D 无法确定符号

8、一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ） A 3 B 3 C 3或3 D

13

39、4等于（ ）A 12 B 12 C 64 D 64 10、a216,则a是（ ）

A 4或4 B 4 C 4 D 8或8

8

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三、计算题（每小题4分，共32分）

1、26+14+16+8 2、5.3+3.22.54.8

3、8(25)(0.02) 4

5 11034113 6 7、023(4)318 8

四、（5分）m=2，

n=3，求、 12595671236 、8+322

、10022223m+n的值 9

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五、（5分）已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数（即

cd1），试求xx是最小的正整数。

2(abcd)x(ab)2008(cd)2008的

值

10