基础知识： 一、二次函数
1． 定义：形如y＝ax＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数. 2． 二次函数的有关性质
a＞0时，开口向上 ① 开口方向 a＜0时，开口向下
2
b② 对称轴方程 x＝－
2a
自然定义域：R ③ 定义域
指定定义域：D 3． 图象
y y a＞0 4． 二次
① 一般② 顶点
a＜0 x＝－b2a x＝－b2a
0 x 函数的解析式 0 2
x 式：y＝ax＋bx＋c 式：y＝a(x－m)＋n，其中(m，n)是二次函数图象的顶点
2
2
③ 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两实根
二、二次方程
1． 当f(x)＝ax＋bx＋c中，f(x)＝0时，即得到二次方程
2
ax＋bx＋c＝0
其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标. 2． 根的判别式△＝b－4ac
△＞0时，方程有两个不相等的实数根； △＝0时，方程有两个相等的实数根；
△＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根 3． 根与系数的关系(韦达定理)
2
2
bx1＋x2＝－
c，x1x2＝
aa
4． 二次方程根的分布
根的位置<=>图象位置<=>等价条件 ax＋bx＋c＝0(a＞0) 若有二根x1＞1，x2＜1 则f⑴＜0
若有二根x1，x2∈(2，3) 则 f⑵＞0 f⑶＞0 △≥0
2
b －
三、一元二次不等式 一元二次不等式ax22a∈(2，3)
＋bx＋c＞0(或＜0)的解范围，使其函数值f(x)集，即函数f(x)＝ax2
＋bx＋c的自变量的取值＞0(或＜0)的自变量a＞0 0 y x 0 y x 0 y x 的取值范围.
△＞0 △＝0 △＜0 例题： 1．
选择填空题
① f(x)＝x＋bx＋c对任意实数t都有 f(2＋t)＝f(2－t)，那么( ) A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷ C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴
解：由题意，f(x)的图象关于直线x＝2对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知f⑷＞f⑴＞f⑵，选A
x＝2
② 已知y＝loga2(x－2x)在区间(－∞，0)上单调递增，则a的取值范围是( ) A.a＞1
B.－1＜a＜1
2
2
C.a∈R且a≠0 D.a＜－1或a＞1 解：由函数的单调性的定义知：
y y随之增大，故有以下过程： x在(－∞，0)上增大时，函数值
x: －∞
减小增大0
u＝x－2x:＋∞
2
2
0
故必有0＜a＜1
∴ －1＜a＜1且a≠0.选B
③ 已知函数y＝log1(x－6x＋7)，则y( )
22
A.有最大值没有最小值 B.有最小值没有最大值 C.有最大值也有最小值 D.没有最大值也没有最小值 解：∵ u＝x－6x＋7∈[－2，＋∞) 而定义域要求u＞0，即u∈(0，＋∞) ∴ b＝log0.5u
∴ b∈(－∞，＋∞).选D 2．
填空题
2
2
①方程x－2|x|＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______. 解：令y1＝x－2|x|，y2＝a
2
x则y1＝x22x2x(x0)(x0)，其函数图象如下：
2
思考：a为何(范围)值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？
②关于x的方程x－2ax＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)＋(β－1)的最小值是_______________. 解：方程有实数根， 故△＝4a－4×9≥0 ∴ a≤－3或a≥3 又α＋β＝2a，αβ＝9 ∴ y＝(α－1)＋(β－1)
＝(α＋β)－2(α＋β)－2αβ＋2 ＝4a－4a－16 ∵ a≤－3或a≥3 ∴ y≥8(a＝3时取等号) ∴ ymin＝8 3．
已知函数y＝x－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，求关于x的方程
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22
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xa3＝|a－1|＋1的根的范围.
分析：由于图象与x轴没有交点， 所以△＜0，解得a的取值范围
又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题.
解：∵ y＝x－4ax＋2a＋30的图象与x轴无交点，所以△＝(－4a)－4(2a＋30)＜0
2
2
解得：－2.5＜a＜3
⑴当a∈(－2.5，1]时，方程化为 x＝(a＋3)(2－a)
9 ＝－a－a＋6∈(
2
4,254]
⑵当a∈(1，3)时，方程化为 x＝(a＋3)a＝a＋3a∈(4，18)
2
9综上所述：x∈( 4．
设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y＝(k＋k＋1)x－2(a＋k)x＋(k＋3ak＋b)
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2
2
4，18)
的图象与x轴都交于点A(1，0). ① 求a、b的值；
② 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值. 分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值. 解：⑴由已知条件，点A(1，0)在函数图象上， 故(k＋k＋1)－2(a＋k)＋(k＋3ak＋b)＝0 整理得：(1－a)k＋(b＋1－2a)＝0 ∵ 对k∈R，上式恒成立
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∴ 1－a＝0且b＋1－2a＝0 从而a＝1，b＝1
y＝(k＋k＋1)x－2(k＋1)x＋(k＋3k＋1) ⑵设B(α，0)，则|AB|＝|α－1|
∵(k＋k＋1)x-2(k＋1)x＋(k＋3k＋1)＝0 的两个根为1、α，由韦达定理
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k1•α＝
223k1k12
k
整理得：(1－α)k＋(3－α)k＋(1－α)＝0 α＝1时，得2k＝0 k＝0 α≠1时，∵ k∈R，∴ △≥0 即(3－α)－4(1－α)≥0
2
2
5得：－1≤α≤
3且α≠1
5综合得：－1≤α≤
3
2∴ －2≤α－1≤
3
∴ |AB|＝|α－1|∈[0，2] 即|AB|的最大值为2.
5．
2
设实数a、b、c满足
a－bc－8a＋7＝0 …………① b＋c＋bc－6a＋6＝0 …………② 求a的取值范围.
分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及b＋c，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式. 解：由①得：bc＝a－8a＋7 …………③ 由①②得：(b＋c)＝a－2a＋1 即b＋c＝±(a－1) …………④ 由③④得b，c为方程 x±(a－1)x＋(a－8a＋7)＝0 的两个实数根，
由于b，c∈R，所以△≥0
即：[±(a－1)]－4(a－8a＋7)≥0 即：a－10a＋9≤0 得：1≤a≤9
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6．
设二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1、x2满足
10＜x1＜x2＜
a.
Ⅰ.当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；
x1Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明:x0＜
2.
分析：由于涉及方程根的问题，故需用韦达定理来分析和解决. 证明:Ⅰ.令F(x)＝f(x)－x.
因为x1、x2是方程f(x)－x＝0的根，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2) 当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2， x－x1＜0，x－x2＜0
得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得 F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0 即x＜f(x).
而x1－f(x)＝x1－[x－F(x)] ＝x1－x＋a(x－x1)(x－x2) ＝(x1－x)[1－a(x－x2)]
1因为0＜x＜x1＜x2＜所以x1－x＞0，
a
11－a(x－x2)＞1－a·得 x1－f(x)＞0
a＞0
即 f(x)＜x1.
bⅡ.依题意知x0＝－
2a.
2
因为x1，x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1，x2是方程ax＋(b－1)x＋c＝0的根，
b1所以 x1＋x2＝－
aa(x
b x0＝－
2a1x2)12aax1ax2a21
ax1因为ax2＜1，所以x0＜ 7．
2ax12
若关于x的二次方程7x－(p＋13)x＋p－p－2＝0的两根α、β满足0＜α＜1＜β＜
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2，求实数p的取值范围.
解：设f(x)＝7x－(p＋13)x＋p－p－2 根据题意得：
f(0)＞0
2
2
f⑴＜0 f⑵＞0 即 p－p－2＞0
p－2p－8＜0 p－3p＞0
解得：p∈(－2，－1)∪(3，4)
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