等差数列前n项和的性质及其推导过程

等差数列前n项和的性质及其推导过程： 1. 性质

等差数列前n项和即等差数列 S 的前 n 项之和，表达式为：S = a1 + a2 + a3 + …… + an，即求前 n 项之和，其中 a1 为等差数列的首项，an 为等差数列的第 n 项。等差数列的前 n 项之和具有以下性质：

（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d ;

（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；

（3）a1 s = Sn - nd；

2. 推导过程

（1）当 n 是正整数时，等差数列的前 n 项之和 Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d，其中 a1 为等差数列的首项，d 为等差数列的公差。

将上面的式子进行合并可得：Sn = a1 + a1 + d + a1 + 2d + …… + a1 + (n - 1)d = na1 + d + d + d + …… + d = na1 + n(n - 1)d，

因此，等差数列的前 n 项之和 Sn = na1 + n(n - 1)d；

（2）等差数列的前 n 项之和 S n = n a1 + n(n - 1)d，只需要将 n 移到后面 T n = (n - 1) a1 + n(n - 1)d，不难看出 Sn - Tn = a1，Tn - Tn-1 = a1，由此可知，等差数列的前 n 项之和 S n 和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；

（3）令 Tn = S n - nd，由上可知 Tn = (n - 1) a1 + n(n - 1)d ，

可以得到另外一个式子：a1 s = Sn - nd 。

综上所述，等差数列的前 n 项之和的性质及其推导过程主要有三点：

（1）当 n 是正整数时， Sn = na1 + n（n - 1）d；

（2）等差数列的前 n 项之和和差的乘积总是 n(n - 1) 个以 a1 为首项的等差数列之和；

（3）a1 s = Sn - nd。