福建省厦门大学附属科技中学2020-2021学年九年级上学期数学第二次月考试
卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.反比例函数y=﹣ 的图象在（ ）
A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2.下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥﹣2且x≠0 B. x≤2且x≠0 C. x≠0 D. x≤﹣2 4.如图，将 （ ）．
绕点 顺时针方向旋转
得
，若
，则
等于
A. B. C. D.
5.在同一平面直角坐标系内，将函数 得到图象的顶点坐标是（ ） A.
B.
C.
的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位
D. ，则
6.如图PA，PB分别与 相切于A，B两点．若 的度数为（ ）
A. B. C. D.
- 1 -
7.如图，点A是反比例函数
（
）的图象上一点，过点A作
轴，垂足为点B，点C
是y轴上任意一点，连接 ， ，若 的面积为2，则k的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
8.在同一直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，⊙O过正方形ABCD的顶点AB且与CD边相切，若AB＝2，则圆的半径为（ ）
A. B. C. D. 1
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动.在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )
A. 6 B. 2 C. 2 D. 2 ＋2
二、填空题（共6题；共7分）
11.
________；
________；
________；
________；
- 2 -
12.一个扇形的半径为 13.已知点
和点
，圆心角为
，则它的面积为________
．
关于原点对称，则x+y等于________．
的两个实数根，则 ，
，D为
________．
的中点，当弦
沿扇形运动时，
14.设m、n分别为方程 15.如图，扇形
中，
点D所经过的路程为________．
16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是________．
三、解答题（共10题；共87分）
17.用适当的方法解下列方程： （1）（2）
，其中
．
；
18.先化简，再求值：
19.小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a
的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实
数根．他的发现符合题意吗？请你先举实例验证一下是否符合题意，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
20.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一干多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小：以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱
- 3 -
形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锡口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦 弓形离
寸，（注：1尺
寸）问这块圆柱形木材的直径是多少寸？
尺，
21.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 22.在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与反比例函数
（k≠0）B两点，图象交于A、
与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式．
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积． （3）根据图象，直接写出不等式
的解集．
23.某市为改善农村生活条件，满足居民清洁能源的需求，计划为万宝村400户居民修建A、B两种型号的沼气池共24个，两种沼气池的型号、修建费用、可供使用户数、占地面积如下表： 沼气池 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 占地面积（平方米/个） A型 B型 3 2 20 15 10 8 政府土地部门只批给该村沼气池用地212平方米，设修建A型沼气池x个，修建两种沼气池共需费用y万元．
- 4 -
（1）求y与x之间函数关系式．
（2）试问有哪几种满足上述要求的修建方案． 24.如图， F，E．
，
和
的角平分线相交于点P，过点P作线
分别交
、
于
（1）如图1，求证： （2）若
绕点P旋转，F在
；
的延长线上滑动，如图2，请你测量，猜想
、
、
之间
的关系，写出这个关系式，并加以证明． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点E，B．
的顶点坐标为
，与y轴交于点
，
（1）求二次函数 （2）过点A作 行于y轴交
的表达式；
平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在
上方），作
平
于点D，当点P在何位置时，四边形 的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且 为其一边，求点M，N的坐标． 26.如图1，四边形
内接于
，
为
的直径，
与
交于点E，且AE=AB．
- 5 -
（1）若 （2）如图2，
，求证： ；
得到
，点A经过的路径为弧
，若
，
绕点C逆时针旋转
的面积；
，求证：
求图中阴影部分四边形
（3）在（2）的条件下，连接 为 的切线．
- 6 -
答案解析部分
一、单选题 1.【答案】 A 2.【答案】 B 3.【答案】 A 4.【答案】 B 5.【答案】 C 6.【答案】 C 7.【答案】 C 8.【答案】 D 9.【答案】 B 10.【答案】 D 二、填空题 11.【答案】
；
；
；
12.【答案】 12π 13.【答案】 −7 14.【答案】 2020 15.【答案】
16.【答案】 6
三、解答题
17.【答案】 （1）解：3x(x+3)-2(x+3)=0, （3x-2)(x+3)=0, 3x-2=0或x+3=0,
;
（2）解：配方得: ，
即 ，
开平方得
，
- 7 -
．
18.【答案】 解：原式=
= x-1 令
，则原式=
19.【答案】 解：小明的发现正确，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2， 解方程得：x1＝2，x2＝﹣1， 若 a，c 异号，则△＝b2﹣4ac＞0， 故这个方程一定有两个不相等的实数根．
20.【答案】 解：由题意得：CD=1寸，AB=1尺=10寸 ∴BD= AB=5寸，
设圆形木材半径为r，则OD=r-1，OB=r ， ∵在Rt 中，
∴
解得：r=13， 所以
的直径为26寸．
21.【答案】 （1）解：设每轮传染中平均每人传染了x人， 根据题意，得1+x+x（x+1）=64 解得，x=7或x=﹣9（舍去）。
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人
（2）解：64×7=448（人）。 答：第三轮将又有448人被传染。
22.【答案】 （1）∵一次函数y＝﹣ x+b的图象与反比例函数y＝B两点，
∴3＝﹣ ×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝ ，k＝﹣6
- 8 -
（k≠0）图象交于A（﹣3，2）、
∴一次函数解析式y＝﹣
，反比例函数解析式y＝
.
（2）根据题意得：
，
解得： ，
∴S△ABF＝ ×4×（4+2）＝12
（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4
23.【答案】 （1）解：根据题意得y＝3x＋2（24−x）＝x＋48； （2）解：根据题意得：
，
解得：8≤x≤10． ∵x是整数，
∴x等于8或9或10，
所以有三种满足上述要求的方案：①修建A型沼气池8个，B型沼气池16个，②修建A沼气池型9个，B型沼气池15个，③修建A型沼气池10个，B型沼气池14个． 24.【答案】 （1）证明：延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB， ∴∠MAP=∠BAP， ∵AM∥BN， ∴∠MAP=∠AQB， ∴∠BAP=∠AQB， ∴AB=BQ， ∵BP平分∠ABE， ∴AP=PQ， ∵AM∥BN，
- 9 -
∴
=1，
∴AF=EQ， ∴AB=AF+BE；
（2）解：①成立， 证明：如图2，
延长AP交BE于Q， ∵AP平分∠MAB， ∴∠MAP=∠BAP， ∵AM∥BN， ∴∠MAP=∠AQB， ∴∠BAP=∠AQB， ∴AB=BQ， ∵BP平分∠ABE， ∴AP=PQ， ∵AM∥BN， ∴
=1，
∴AF=EQ， ∴AB=AF+BE；
②不同，猜想：AF+AB=BE， 证明：如图3，延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
- 10 -
∴∠MAP=∠BAP， ∵AM∥BN， ∴∠MAP=∠AQB， ∴∠BAP=∠AQB， ∴AB=BQ， ∵BP平分∠ABE， ∴AP=PQ， ∵AM∥BN， ∴
=1，
∴AF=EQ， ∴AF+AB=BE．
25.【答案】 （1）解：设抛物线解析式为y=a（x-2）2+9， ∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=-1，
y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5；
（2）解：当y=0时，-x2+4x+5=0， ∴x1=-1，x2=5，
∴E（-1，0），B（5，0）， 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（0，5），B（5，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y=-x+5； 设P（x，-x2+4x+5）， ∴D（x，-x+5），
∴PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x， ∵AC=4，
∴S四边形APCD= ×AC×PD=2（-x2+5x）=-2x2+10x，
∴当x= 时，
∴即点P 时，S四边形APCD最大=
；
（3）解：如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
- 11 -
∵MN∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE（AAS）， ∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1， 当x=1时，M点纵坐标为8， 当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∵A（0，5），E（-1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b， ∵点N在抛物线对称轴x=2上， ∴N（2，10+b）， ∵AE2=OA2+OE2=26， ∵MN=AE， ∴MN2=AE2 ，
∴MN2=（2-1）2+[8-（10+b）]2=1+（b+2）2 ∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1 ， M2关于抛物线对称轴x=2对称， ∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=-7， ∴10+b=13或10+b=3，
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）；当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）． 26.【答案】 （1）证明：如图1中，
- 12 -
∵DA=DB， ∴∠DAB=∠DBA， ∵AE=AB， ∴∠AEB=∠ABE， ∴∠AEB=∠DAB，
∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB， ∴∠EAB=∠ADE， ∵∠ADE=∠ACB， ∴∠EAB=∠ACB， ∴AB=BC．
（2）解：如图2中，设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4， ∴AB=BC=2
，
∵BC=CG，CM=CM， ∴Rt△CBM≌Rt△CGM， ∴∠MCB=∠MCG=15°， ∵NC=NM，
∴∠NCM=∠NMC=15°，
∴∠MNB=30°，设BM=a，则MN=CN=2a，BN= ∴2a+ ∴a=4
a=2 -2
， ，
a，
- 13 -
∴S阴=2× ×BM×BC=（4
-2
）×2
=16-8
．
（3）证明：如图2-1中，连接OB、BF、作FH⊥AC于H．
∵∠ACF=30°，∠FHC=90°， ∴FH= CF= AC=OA=OB，
∵BA=BC，OA=OC， ∴BO⊥AC， ∴FH∥OB，
∴四边形OBFH是平行四边形， ∵∠BOH=90°，
∴四边形OBFH是矩形， ∴∠OBF=90°，即OB⊥BF； ∴FB是⊙O的切线．
- 14 -
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