《函数的单调性与导数》导学案

学习目标：1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.

2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.

学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 学习过程 【引 例】

1．确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

解答：， 问 1）、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？ 解答：，

2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？

解答：， 2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

解答：， 【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

研究二次函数yx24x3的图象；

（1） 画出二次函数yx24x3的图象，研究它的单调性。

（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？

回答：

（3） 我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

观察图像，能得到什么结论 回答：

【新课讲解】

根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？ 一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

1 / 3

如果在这个区间内f'(x)0，则yf(x)为这个区间内的 ； 如果在这个区间内f'(x)0，则yf(x)为这个区间内的 。 思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？

回答：

提示： f(x)＝x3，在R上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？ （2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？

若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为 函数．

结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其 有关，因此我们可以用 去探讨函数的单调性。下面举例说明： 【例题讲解】

例1、 求证：yx31在(,0)上是增函数。

归纳步骤：1、 ；2、 ；3、 。

例2、 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函

数.

小结：用导数求函数单调区间的步骤： （1） ； （2） ； （3）

2 / 3

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的

图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是( )

课后练习与提高

1．（浙江卷）设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） O A．

x O B．

x O C．

x O D．

x y y y y 2．已知函数f(x)xlnx，则（ ）

A．在(0,)上递增 B．在(0,)上递减

11 C．在0,上递增 D．在0,上递减

ee3．函数f(x)x33x25的单调递增区间是_____________．

3 / 3