几何光学中的常用数学方法分析

几何光学中的常用数学方法分析

作者：赵晓春

来源：《中学物理·高中》2013年第04期

几何光学这一章涉及的物理原理并不难，主要知识点有：光的直线传播、光的反射、光的折射和透镜成像.其中光的直线传播、光的反射和透镜成像部分学生在初中就学过一些，高中进一步深入学习并加入光的折射、全反射这一重点知识.这一章节的试题往往要求学生通过光路分析画出光路图，结合几何代数知识进行相应的分析或计算.在实际的教学中，我们发现有些学生题目完成不好往往不是被物理考倒了，而是数学！下面我具体分析一下几何光学中所涉及到的常用数学方法. 1相似三角形规律

例1如图1所示，L为薄凸透镜，点光源S位于L的主光轴上，它到L的距离为36 cm；M为一与主光轴垂直的挡光圆板，其圆心在主光轴上，它到L的距离为12 cm；P为光屏，到L的距离为30 cm.现看到P上有一与挡光板同样大小的圆形暗区ab.求透镜的焦距.

分析求透镜的焦距，利用透镜成像公式需要知道物距和像距，物距u=36 cm，像距则需要根据题目条件来确定.光屏上的暗区是由于挡光圆板挡住部分光线而形成的.画出点光源S经过挡光圆板边缘后射到屏上的光路图，可以发现光线SCH可能落在a点也有可能落在b点，所以本题要分两种情况讨论.

情况一光线SCH经过凸透镜折射后落在a点，则像点为S1′，设CC1′=r，△SCC1′与△SOH相似

联立（1）、（2）得v1=90 cm.

由成像公式SX（]1]uSX）]+SX（]1]v1SX）]=SX（]1]f1SX）]， 将u=36 cm，v1=90 cm代入得f1=25.7 cm.

情况二光线SCH经过凸透镜折射后落在b点，则像点为S2′， △SCC1′与△SOH相似， 联立（3）、（4）得v2=18 cm.

由成像公式SX（]1]uSX）]+SX（]1]v2SX）]=SX（]1]f2SX）]，

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总结相似三角形的规律通常运用在涉及平面镜、凸透镜、凹透镜成像中.一般的处理方法为：画出光线图，找出临界光线，寻找三角形的关系. 2三角函数的规律

例2如图3所示，用折射率n=KF（]2KF）]的玻璃做成内径为R，外径为R′=KF（]2KF）]R的半球形空心球壳，一束平行光射向此半球的外表面，与中心对称轴OO′平行，试求：（1）球壳内部有光线射出的区域；（2）要使球壳内部没有光线射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行？

分析（1）沿O′O射入的光线一定能射出，离O′O越远则偏折越明显，找出恰好发生全反射的临界光线，画出临界

光线的光路图.设临界光线与外壳交于A，出球壳点为B，进入外壳的入射角为i，折射角为γ，离开内径时入射角为α.

当sinα=SX（]1]nSX）]=SX（]1]KF（]2KF）]SX）]，即α=45°时，光线恰好不能射出.要求∠BOO′=θ+i，先要算出角θ，在△ABO中，已知两条边，一个角，可以利用正弦定理，列出

得θ=15°. 所以i=45°.

所以∠BOO′=θ+i=15°+45°=60°，

也就是说与O′O夹角范围在60°以内的光线可以射出.

（2）r=KF（]2KF）]R×sini=KF（]2KF）]·SX（]KF（]2KF）]]2SX）]R=R. 所以用一个半径为R的遮光板，垂直于O′O放置.

拓展本题若将空心球壳改为实心的半球形的玻璃体，则情况又如何？ 分析仍然画出临界光线光路图 利用三角函数的两角和差公式，展开得 所以全部的光线都可以射出.

总结三角函数的利用通常出现在折射定律的应用的习题上，往往出现两次折射现象.这需要同学们掌握当光路图画好之后，出现的角和边的条件比较琐碎时，能正确地分析角和边的关

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系，利用正弦定理、余弦定理、三角函数的和差公式、倍角、半角公式等，解出我们需要的角度或边.

3灵活寻找几何关系

例3如图6所示，一束截面为圆形（半经为R）的平行复色光垂直射向一玻璃半球的平面，经折射后在屏幕S上形成一个圆形彩色亮区.已知玻璃半球的半径为R，屏幕S至球心的距离为D（D>3R），不考虑光的干涉和衍射，试问： （1）在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是什么颜色？

（2）若玻璃半球对（1）中色光的折射率为n，请你求出圆形亮区的最大半径.

分析（1）不同颜色的光对应光的折射率不同，紫光最大，临界角最小，红光最小，临界角最大.画出这两条临界光线，比较距离中心轴的距离. 从作图可以看出：

若D>BB′至球心的距离，则紫光位于最外侧； 若D

若屏幕在AA′与BB′之间，则中心轴两侧光线出现重合，情况比较复杂.

本题题设中交代（D>3R），我们把它当做第一种情况考虑，则紫光位于最外侧.是不是一定这样呢？我们再结合第二问的结论讨论.

（2）方法一：如图8，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的点H到亮区中心G的距离r就是所求最大半径.设紫光临界角为C，由全反射的知识可知： △OEF与△FGH相似，

代入（2），得HG=DKF（]n2-1KF）]-nR. 方法二临界角仍然满足sinC=SX（]1]nSX）]， 过E点做一条垂直于OG的辅助线IE， 讨论：若屏S的位置在AA′以下，则HG 即HG=DKF（]n2-1KF）]-nR

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玻璃对有色光的折射率为1.5～1.9，n

反思本题涉及的光学知识不难，只有一个临界角的判断，但是学生在做这道题时错误率很高.原因是不少学生不善于寻找边长之间的关系，找出彼此的联系，必要时增添辅助线帮助解题.灵活寻找几何关系，简单的说就是寻找角度的关系和长度的关系，不仅在几何光学中应用广泛，在涉及洛伦兹力的计算时应用也相当广泛. 4巧妙利用辅助圆

例4一半圆柱形透明物体横截面如图10所示，底面AOB镀银（图中粗线）， O表示半圆截面的圆心，一束光线在横截面内从M点入射，经过AB面反射后从N点射出.已知光线在M点的入射角为30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°.求：（1）光线在M点的折射角；（2）透明物体的折射率.

分析要求出在M点的折射角，要将光路图画出来， 然后找出角度关系.

方法一入射光线在AOB上反射，与入射光有对称性，想到将半圆柱补成一个圆，利用圆的特征来解题.Q为M点的对称点，Q、P、N三点共线. 设在M点处，光的入射角为i，折射角为θ， 根据题意有α=30°，β=60°. 由于对称性，可知 又因为OQ=ON， 所以∠PQO=∠PNO=θ， 由于对称性∠EMP=∠PNF， 方法二：由几何关系可得 （2）同方法一.

反思这道题难度在于找折射角.方法一，巧妙的通过补全圆，利用圆的对称性找到角度关系；方法二，运用灵活寻找几何关系，EF即可以是EO与OF之和也可以是EP与PF之和，从而找到关系，求出折射角.

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几何光学这一章节解题的第一要诀是：正确的作图；第二要诀是：正确地寻找角度和长度的关系，然后利用折射定律、透镜成像公式等代入解决.所以我们要在平时的实践中熟悉常用的数学方法，遇到问题能够灵活运用.