2019年全国高考湖北省数学(理)试卷及答案【精校版】

2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i为虚数单位，则(1i2)（ ） 1i

A. 1 B. 1 C. i D. i

1的系数是84，则实数a（ ） x32A.2 B. 54 C. 1 D.

43. 设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得AC,BCUC是“AB”的（ ）

2. 若二项式(2x)的展开式中

ax7A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.根据如下样本数据 x 3 4 5 y 4.0 2.5 0.5 ˆbxa，则（ ） 得到的回归方程为y6 0.5 7 2.0 8 3.0 A.a0,b0 B.a0,b0 C.a0,b0 D.a0.b0

5.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）

A. ①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 6.若函数f(x),g(x)满足①f(x)sin

11f(x)g(x)dx0,则称f(x),g(x)为区间1,1上的一组正交函数，给出三组函数：

11x,g(x)cosx；②f(x)x1,g(x)x1；③f(x)x,g(x)x2 22其中为区间[1,1]的正交函数的组数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

x0xy17.由不等式y0确定的平面区域记为1，不等式，确定的平面区域记为2，在1中随

xy2yx20机取一点，则该点恰好在2内的概率为（ ）

A.

1137 B. C. D. 8448

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式v式中的圆周率近似取为3.那么近似公式vA.

9.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且F1PF2的倒数之和的最大值为（ ） A.12Lh.它实际上是将圆锥体积公3622Lh相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ） 752215735525 B. C. D. 75011383,则椭圆和双曲线的离心率

4323 B. C.3 D.2 331(|xa2|)|x2a2|3a2).若210.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)xR,f(x1)f(x),则实数a的取值范围为（ ）

A.[,] B.[1166116633,] C. [,] D.[,]

336633二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的

位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）

11.设向量a(3,3)，b(1,1)，若abab，则实数________.

2212.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C:xy1分成长度相等的四段弧，则ab________.

2213.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为

Ia，按从大到小排成的三位数记为Da（例如a815，则Ia158，Da851）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b________.

14.设fx是定义在0,上的函数，且fx0，对任意a0,b0，若经过点a,fa,b,fb的直线与

x轴的交点为c,0，则称c为a,b关于函数fx的平均数，记为Mf(a,b)，例如，当fx1(x0)时，可

ab得Mf(a,b)c，即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.

2x0)时，Mf(a,b)为a,b的几何平均数； （1）当fx_____(2abx0)时，Mf(a,b)为a,b的调和平均数（2）当当fx_____(；

ab（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

（二）选考题

15.（选修4-1：几何证明选讲） 如图，P为⊙O的两条切线，切点分别为A,B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点，若QC1,CD3,则PB_____

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

xt已知曲线C1的参数方程是3tt为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

y3C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为________

17、（本小题满分11分）

某实验室一天的温度（单位：

(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于

，则在哪段时间实验室需要降温？

）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；

18（本小题满分12分） 已知等差数列满足：=2，且，（1） 求数列的通项公式.

成等比数列.

（2） 记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得

在，说明理由.

若存在，求n的最小值；若不存

19(本小题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DPBQ02. （1）当1时，证明：直线BC1平面EFPQ;

（2）是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：

一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

21.（满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F1,0的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹为C的方程

(2)设斜率为k的直线l过定点p2,1，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。

数学（理）（湖北卷）参考答案 一、 选择题

（1）A （2）C （3）C （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）A （10）B

二、 填空题

（11）3 （12）2 （13）495 （14）三、 解答题 （17）解：

（I）因为f(t)102(又0t24，所以当t2时，sin(x；x 或k1x；k2x （15）4 （16）(3,1)

31costsint)102sin(t)， 212212123312t37，1sin(t)1， 312312t3)1；当t14时，sin(12t3)1；

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12C，最低温度为8C，最大温差为4C （II）依题意，当f(t)11时实验室需要降温. 由（1）得f(t)102sin(所以102sin(t)，

1231t)11，即sin(t)，

1232123711，即10t18， t61236又0t24，因此

故在10时至18时实验室需要降温. （18）解：

（I）设数列{an}的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，

2所以(2d)22(24d)，化简得d4d0，解得d0或d4，

当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2， 从而得数列{an}的通项公式为an2或an4n2.

（II）当an2时，Sn2n，显然2n60n800，不存在正整数n，使得Sn60n800.成立 当an4n2时，Sn2n[2(4n2)]2n2，

22令2n60n800，即n30n4000， 解得n40或n10（舍去）

此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41. 综上所述，当an2时，不存在满足题意的n；

当an4n2时，不存在满足题意的n；n的最小值为41.

（19）解：

（I）证明：如图1，连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知BC1//AD1， 当1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP//AD1， 所以BC1//FP，

而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1//平面EFPQ.

（II）如图2，连结BD，因为E、F分别是AB、AD的中点， 所以EF//BD，且EF1BD，又DPBQ，DP//BQ， 2所以四边形PQBD是平行四边形， 故PQ//BD，且PQBD， 从而EF//PQ，且EF1PQ， 2在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP，BEDF1， 于是，EQFP12，所以四边形EFPQ是等腰梯形， 同理可证四边形PQMN是等腰梯形，

分别取EF、PQ、MN的中点为H、O、G，连结OH、OG， 则GOPQ，HOPQ，而GOHOO，

故GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角，

若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90， 连结EM、FN，则由EF//MN，且EFMN，知四边形EFNM是平行四边形，

连结GH，因为H、G是EF、MN的中点，所以GHME2，

22在GOH中，GH4，OH1(2221)2， 22OG21(2)2(221)(2)2， 222222由OGOHGH得(2)11224，解得1， 222故存在1向量法：

2，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角. 2以D为原点，射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系Dxyz，

由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),F(1,0,0),P(0,0,)， 所以BC1(2,0,2)，FP(1,0,)，FE(1,1,0)，

（I）证明：当1时，FP(1,0,1)，因为BC1(2,0,2)， 所以BC12FP，即BC1//FP，

而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ， 故直线BC1//平面EFPQ.

（II）设平面EFPQ的一个法向量n(x,y,z)，

xy0FEn0由可得，于是取n(,,1)， xz0FPn0同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2,2,1)， 若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角， 则mn(2,2,1)(,,1)0， 即(2)(2)10，解得12， 2故存在1（20）解：

2，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角. 2（I）依题意，P1P(40X80)100.2， 50P2P(80X120)3550.7，P3P(X120)0.1， 5050由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：

99101PC4(1P3)4C4(1P3)3P3()44()30.9477.

101010（II）记水电站年总利润为Y（单位：万元） ①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y5000，EY500015000. ②安装2台发电机.

当40X80时，一台发电机运行，此时Y50008004200， 因此P(y4200)P(40X80)P10.2，

当X80时，两台发电机运行，此时Y5000210000，

因此P(Y10000)P(X80)P1P20.8.由此得Y的分布列如下：

Y P 4200 0.2 10000 0.8 所以EY420011000028840. ③安装3台发电机.

依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y500016003400， 因此P(Y3400)P(40X80)P10.2；

当80X120时，两台发电机运行，此时Y500028009200， 此时P(Y9200)P(80X120)P20.7，

当X120时，三台发电机运行，此时y5000315000， 因此P(Y15000)P(X120)P30.1，

由此得Y的分布列如下：

Y P 34 0.2 9200 0.8 15000 0.1 所以EY34000.292000.7150000.18620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. （21）解：

22（I）设点M(x,y)，依题意，|MF||x|1，即(x1)y|x|1，

整理的y2(|x|x)，

2所以点M的轨迹C的方程为y24x(x0).

o,(x0)（II）在点M的轨迹C中，记C1:y24x(x0)，C2:y0(x0)， 依题意，设直线l的方程为y1k(x2)， 由方程组y1k(x2)2y4x得ky24y4(2k1)0 ①

当k0时，此时y1，把y1代入轨迹C的方程得x所以此时直线l与轨迹C恰有一个公共点(,1).

1， 414当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1) ②

设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x02k1③ k（i）若01，由②③解得k1或k.

2x00即当k(,1)(,)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰有一个公共点.

120011（ii）若或，由②③解得k{1,}或k0，

22x00x00

即当k{1,}时，直线l与C1有一个共点，与C2有一个公共点. 当k[121,0)时 ，直线l与C1有两个共点，与C2没有公共点. 2121,0)时，故此时直线l与轨迹C恰有两个公共点. 2故当k{1,}[（iii）若

011，由②③解得1k或0k，

22x00

即当k(1)(0,)时，直线l与C1有两个共点，与C2有一个公共点. 故此时直线l与轨迹C恰有三个公共点.

综上所述，当k(,1)(,)时直线l与轨迹C恰有一个公共点； 当k{1,}[121212121,0)时，故此时直线l与轨迹C恰有两个公共点； 212 当k(1)(0,)时，故此时直线l与轨迹C恰有三个公共点. （22）解：

12（I）函数f(x)的定义域为(0,)，因为f(x)lnx1lnx，所以f(x)， 2xx当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增； 当f(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减；

故函数f(x)的单调增区间为(0,e)，单调减区间为(e,).

ee（II）因为e3，所以eln3eln，lneln3，即ln3ln，lneln3，

xx于是根据函数ylnx、ye、y在定义域上单调递增，

所以3，ee3，

故这6个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中， 由e3及（I）的结论得f()f(3)f(e)，即

ee33lnln3lne， 3e由

lnln333得lnln3，所以3， 3由

ln3lnee3e3得ln3lne，所以3e， 3e综上，6个数中的最大数为3，最小数为3e.

e3ee3（III）由（II）知，3，3e，又由（II）知，

lnlne， e故只需比较e3与e和e与3的大小， 由（I）知，当0xe时，f(x)f(e)lnx11，即，

xeee在上式中，令xe2，又

e2

e，则lne2，即得ln2e①

由①得，elne(2e)2.7(22.71)2.7(20.88)3.0243， 3.13ee3即eln3，亦即lnlne，所以e，

又由①得，3ln6e33ee6e，即3ln，所以e3，

3综上所述，3ee3，即6个数从小到大的顺序为3e，e3，e，e，3，3.

