平面向量的内积教案(最新整理)

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：

通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．

【教学重点】

平面向量数量积的概念及计算公式.

【教学难点】

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．

【教学设计】

教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．

在讲述向量内积时要注意：

（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；

（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：

（1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．

（2）|a|＝aa显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；

（3）cos＝

ab，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；|a||b|（4）“a·b＝0ab”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(80分钟)

【教学过程】

【新知识】*揭示课题

7.3 平面向量的内积

*创设情境 兴趣导入

FO30s图7—21

如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成30角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？动脑思考 探索新知

我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则

Fxi + y j Fsin30iFcos30j，

即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即

W＝｜F｜cos30·｜s｜＝100×

3·10＝5003 （J）2yF(x,y)jOix这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．

如图7－23，设有两个非零向量a, b，作OA＝a, OB＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹

O图7－23AabB

角，记作．

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

a·b＝｜a||b|cos 　　　　　　　 (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知a·0＝0, 0·a＝0．

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：

（1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b＝−|a||b|.（2）cos＝

ab.|a||b|（3）当b＝a时，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝aa.

（4）当a,b90时，ab，因此，a·b＝abcos900,因此对非零向量a，b，

有

a·b＝0ab.

可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1）a·b＝b·a．

（2）(a)·b＝(a·b)＝a·(b)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即

a·(b·c)≠（a·b）·c.

请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题

例1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝60,求a·b．解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos60＝3．例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2,求．

解 cos＝由于

22ab＝＝−.|a||b|2220≤≤180，

所以 思考并回答下面的问题：

＝135．*理论升华 整体建构

平面向量内积的概念、几何意义?结论：

两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即

a·b＝｜a||b|cos

(7.10)

a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．知识 典型例题

例3 求下列向量的内积：（1）a＝ (2,−3), b＝(1,3)；运用知识 强化练习

1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为60，求a·b．2. 已知a·a＝9,求|a|．

3. 已知|a|＝2,|b|＝3, ＝30，求(2a＋b)·b．动脑思考 探索新知

设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以

a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)

＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2＝ x1 x2＋ y1 y2．

这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

a·b＝ x1 x2＋ y1 y2　　 　

(7.11)

利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则

aaAaax2y2，即(7.12)

x2y2 由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， cos＝x1x2y1y2ab＝. 2222|a||b|x1y1x2y2(7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知

a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．

因此

ab x1 x2＋ y1 y2＝0．　　　　 　(7.14)

利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识 典型例题

例3 求下列向量的内积：（2）a＝ (2,−3), b＝(1,3)；（3）a＝ (2, −1), b＝(1,2)；（4）a＝ (4,2), b＝(−2, −3)．解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．

例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b, |a|,|b|, ．解

a·b＝(−1)( −3)＋2×1＝5；

|a|＝aa(1)2225；|b|＝bb(3)21210；cos＝

ab52＝，|a||b|2105所以

＝45．

例5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, 3),　　b＝(6, 4)；(2) a＝(0, −1),　　b＝(1, −2)．

解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab．(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．运用知识 强化练习

1．已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．2．已知a＝(1,3)，b＝(0,

3)，求．

3．已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：

(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)； 5. 求下列向量的模：

a＝(−2, −4)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,1)，b＝(4, −3)；

(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．

归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．

2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索 活动探究

(1)读书部分：阅读教材

(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）