2021年中考数学压轴题提升训练：图形面积计算

A．9π﹣9 【答案】D.

【解析】解:连接OD,

B．9π﹣63 C．9π﹣18 D．9π﹣123

由折叠的性质知:CD＝CO,BD＝BO,∠DBC＝∠OBC, ∠OB＝OD＝BD, 即∠OBD是等边三角形, ∠∠DBO＝60°, ∠∠CBO＝30°, ∠OC＝3OB＝23, 311×OB×OC＝×6×23＝63, 22∠S阴影=S扇形AOB﹣S∠BDC﹣S∠OBC S∠BDC＝S∠OBC＝S扇形AOB＝9π,

∠S阴影=S扇形AOB﹣S∠BDC﹣S∠OBC

=9π﹣63﹣63 ＝9π﹣123． 所以答案为:D．

【变式1-1】如图,把半径为2的∠O沿弦AB,AC折叠,使弧AB和弧BC都经过圆心O,则阴影部分的面积

为( )

A．3 2 B．3 C．23 D．43

【答案】C．

【解析】解:过O作OD∠AC于D,连接AO、BO、CO,

11∠OD＝AO＝1,AD＝AC＝3,

22∠∠OAD＝30°,

∠∠AOC＝2∠AOD＝120°, 同理∠AOB＝120°,∠BOC＝120°, ∠S阴＝2S∠AOC

＝2×32

×2＝23, 4所以答案为:C．

【变式1-2】如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】

3． 26【解析】解:设折痕为AB,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,

1由题意知,OM⊥AB,且OC=MC=,

21在RT△AOC中,OA=1,OC=,

2∴∠AOC=60°,AC=3,AB=2AC=3, 2∴∠AOB=2∠AOC=120°, S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM

120121112

=π×1﹣2(3)

3602223． 263． 故答案为:

26=【例2】如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,若图中阴影部分面积为

3,则AB=

【答案】2.

【解析】S阴影=S∠ADE+S扇形BAD－S∠ABC ∠S∠ADE= S∠ABC ∠S阴影= S扇形BAD=

3,

30AB2∠=,

3603解得:AB=2, 故答案为:2.

【变式2-1】如图,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,∠AEM与∠ADM关于AM所在直线对称,将∠ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到∠ABF,连接EF,则线段EF的长为(

)

ADMEFBC

A. 3 B. 23 C. 13 D. 15 【分析】求线段的长度,常用方法是将所求线段放在直角三角形中借助勾股定理求解,如图作出辅助线,通过分析可知,∠ADM∠∠ABF∠∠AEM,可得DM=EM=1,AE=AD=AB=3,进而利用∠AEK∠∠EMH,求得EH,MH的长,再计算出EG,FG的长,在Rt∠EFG中,利用勾股定理求EF的长度即可.

【解析】过点E作EG∠BC于G,作EH∠CD于H,延长HE交AB于K,如图所示,

ADMKEHFBGC

由题意知,∠ADM∠∠ABF∠∠AEM,∠DM=EM=1,AE=AD=AB=3, 由∠AEK∠∠EMH, 得:

AEAKEK=3, EMEHMH∠设EH=x,则AK=3x,即DH=3x,MH=3x－1, 在Rt∠EMH中,由勾股定理得:

3x12x21,

3解得:x=0(舍)或x=,

5496∠MH=,AK=DH=,CH=3－DH=,

555KE=BG=3MH=∠FG=BF+BG=

12, 5176,EG=CH=,

55在Rt∠EFG中,由勾股定理得:

176EF=FGEG13,

552222故答案为:C.

【变式2-2】.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,将矩形 ABCD 绕点 A 旋转得到矩形AB′C′D′,点 C 的运动路径为弧 CC′,当点 B′落在 CD 上时,则图中阴影部分的面积为

．

【答案】

532. 122【解析】解:连接AC’,AC,过点B’作B’E∠AB于E,如图图所示,

由旋转性质,得:AC=AC’, AB’=AB=2,∠CAB=∠C’AB’, ∠BC=B’E=1, ∠∠B’AB=30°, ∠∠C’AC=30°, ∠AE=3,B’C=2－3,

在Rt∠ABC中,由勾股定理得:AC=5, ∠S阴影=S扇形C’AC－S∠AB’C’－S∠B’CA

==

30523601121231 22532. 122532. 故答案为:122【例3】.如图,在∠ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,CA=4,D为AC的中点,以D为圆心,以DB的长为半径作圆

心角为90°的扇形EDF,则图中阴影部分的面积为 .

【分析】设DE与BC交于M,DF与AB交于N,S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN,根据∠DBM∠∠DAN,得S四边形

DMBN=S∠BDA,再利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可.

【解析】解:设DE与BC交于M,DF与AB交于N, ∠AB=BC,∠ABC=90°,D是AC中点,

∠∠A=∠C=∠CBD=∠DBA=45°,AD=BD=2,∠BDA=90°, ∠∠EDF=90°, ∠∠BDM=∠ADF, ∠∠DBM∠∠DAN, 即S∠DBM=S∠DAN, ∠S四边形DMBN=S∠BDA, S阴影=S扇形EDF－S四边形DMBN

nr21 =ADBD

360290221=22

3602=π－2, 故答案为:π－2.

【变式3-1】.如图,在扇形OAB中,C是OA的中点,CD∠OA,CD与弧AB交于点D,以O为圆心,OC的长为半径作弧CE交OB于点E,若OA=6,∠AOB=120°,则图中阴影部分的面积为

.

【答案】393. 2【解析】解:连接OD,交弧CE于F,连接AD,

∠OC=AC=3,CD∠OA,

∠CD是线段OA的垂直平分线, ∠OD=AD, ∠OD=OA,

∠∠OAD是等边三角形, ∠∠AOB=120°, ∠∠DOA=∠BOD=60°, ∠CD=3OC=33,

∠S阴影=S扇形BOD－S扇形EOF+S∠COD－S扇形COF

6062603216032= 333360360236093=3π+.

293即答案为:3π+.

2【变式3-2】.如图,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处,并将纸板的圆心绕O旋转,则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为(

)

A．

12a 3 B．

12a 4C．

12a 2D．

1a 4【答案】B.

【解析】解:如图,过O作OE∠AD于E,OF∠CD于F,

∠OE=OF,∠EOF=90°,

1∠四边形OEDF是正方形,OF=a,

2∠扇形的圆心角为直角, ∠∠OME∠∠ONF, ∠S阴影=S正方形OEDF=故答案为:B．

12a, 4

1..如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分(∠BDF)的面积等于 .

【答案】3.

【解析】解:由题意得:S∠BDF=S菱形ABCD+S菱形ECGF－S∠BGF－S∠EDF－S∠ABD

33, 233菱形ECGF边CE边上的高为:EF·sin60°=,

232321331333223512 ∠S∠BDF=2222224菱形ECGF边CG边上的高为:GF·sin60°==3,

故答案为:3.

2..汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图中,中间的小正方形 ABCD 的边长为 1,分别以A,C为圆心,1为半径作圆弧,则图中阴影部分的面积为

【答案】

21.

【解析】解:连接BD, S阴影=2(S扇形BAD－S∠ABD)

90121=2(11)

3602=1, 2故答案为:1.

23..如图,正方形ABCD 中,AB=1,将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段CE,线段 BD 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BF,连接 EF,则图中阴影部分的面积是

3【答案】－.

24【解析】解:

过F作FM∠BE于M,则∠FME=∠FMB=90°, ∠四边形ABCD是正方形,AB=1, ∠∠DCB=90°,DC=BC=AB=1,∠DCB=45°, 由勾股定理得:BD=2, 由旋转性质得:

∠DCE=90°,BF=BD=2,∠FBE=90°－45°=45°, ∠BM=FM=1,即C点与M点重合,ME=1,

∠阴影部分的面积:S=S∠BCD+S∠BFE+S扇形DCE－S扇形DBF

9029011=+1+－

360360222

3=－, 243故答案为:－．

244..如图,已知矩形 ABCD 的两条边 AB=1,AD=3,以B为旋转中心,将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE,再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF,则图中阴影部分面积为

．

【答案】315. 212【解析】解:连接CE,

由CD=AB=1,AD=3,得:BD=2, ∠∠ADB=30°, ∠∠DBC=30°,

由旋转知∠DBE=60°,BE=BD=2, ∠∠DBC=∠EBC=30°, 此时D、C、E共线,

∠S阴影=S扇形DCF+S∠BCD+S∠BEF－S扇形DBE

901160121313122 3602236015=3.

21215故答案为:3.

2125..如图,∠AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=6,∠AOB绕点O逆时针旋转到∠A′OB′处,此时线段A′B′与BO的

=

交点E为BO的中点,则线段B′E的长度为( )

A．35

B．

95 5 C．

65 5 D．

35 5A′ABEOB′【答案】B.

【解析】解:过O作OF∠A’B’于F,

由旋转性质得:OA=OA’=3,OB=OB’=6, ∠F为A’E的中点, ∠E为OB中点, ∠OE=BE=3,

在Rt∠A’OB’中,由勾股定理得:A’B’=35,

∠OF=1865,

535在Rt∠A’OF中,由勾股定理得:A’F=∠A’E=35, 565 595, 5∠B’E=A’B’－A’E=故答案为:B.

6..如图,等腰直角三角形ABC,绕点C顺时针旋转得到∠A′B′C,AB′所在的直线经过A′C的中点时,若AB=2,则阴影部分的面积为_________．

A′AB′B【答案】

C431. 3

【解析】解:延长AB’交A’C于E,

由题意知E为A’C的中点, ∠A’B’=B’C=AB=BC=2, ∠B’E∠A’C,

在Rt∠ABC中,由勾股定理得:AC=22, ∠CE=A’E=2, ∠∠CAE=30°,∠ACE=60°, ∠S阴影=S扇形ACA’－S∠ACE－S∠A’B’E

==

60223602112622 22431. 34 故答案为:31.

37.如图,在扇形OAB中,∠O=60°,OA=43,四边形OECF是扇形OAB中最大的菱形,其中点E,C,F分别在OA,弧AB,OB上,则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】8π﹣83.

【解析】解:连接EF、OC交于点H,

1则OH=OC=23,∠FOH=∠AOC=30°,

2在Rt∠FOH中,FH=OH×tan30°=2,

1∠菱形FOEC的面积=×43×4=83,

2扇形OAB的面积=

60433602=8π,

则阴影部分的面积为8π﹣83, 故答案为:8π﹣83.

8..如图,在圆心角为120°的扇形OAB中,半径OA＝2,C为弧AB的中点,D为OA上任意一点(不与点O、A重合),则图中阴影部分的面积为 ．

2【答案】π．

3【解析】解:连接OC,BC,

由题意知∠BOC＝∠AOC＝60°, ∠OB＝OC,

∠∠BOC为等边三角形, ∠∠OCB＝∠COA＝60°,

∠BC∠OA, ∠S∠BOC=S∠BCD, ∠S阴影＝S弓形BC+S∠BCD

＝S弓形BC+S∠BOC ＝S扇形BOC ＝

2π, 32故答案为:π.

39..如图,在正方形ABCD中,AD=3,将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BE,将线段AC绕点C逆时针旋转90°得到线段CF,连接EF,则图中阴影部分的面积是___________．

ADEBFC

【答案】

279. 24【解析】解:由图知: S阴影=S扇形ABE+S∠BEF－S弓形AF S弓形AF=S扇形ACF－S∠ACF

由题意知,AD=3,AC=CF=32,AB=BC=BF=BE=3,∠EBA=∠ACF=90°, ∠S弓形AF=S扇形ACF－S∠ACF

=

90323602－

19－9, 3232=22S阴影=S扇形ABE+S∠BEF－S弓形AF

903219 =+33－(－9)

36022279=. 2410..如图,将半径为1的半圆O,绕着其直径的一端点A顺时针旋转30°,直径的另一端点B的对应点为B',O的对应点为O',则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】

23. 2【解析】解:连接O′D、B′D,

∠∠B′AB＝30°, ∠∠AO′D＝120°, ∠AB′是直径, ∠∠ADB′＝90°,

1由∠B′AB＝30°,得B′D＝AB′＝1,

2在Rt∠ADB’中,由勾股定理得,AD＝3,

∠S阴影＝S扇形BAB’－S∠AO’D－S扇形DO’B’+S扇形AO’D－S∠AO’D

3022326012120123211 =

360436036043= 223故答案为:．

2211..如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与∠A相交于点F．若弧EF的长为

2,则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】22.

【解析】解:连接AC,

∠DC是∠A的切线, ∠AC∠CD, ∠AB＝AC＝CD,

∠∠ACD是等腰直角三角形, ∠∠CAD＝45°,

∠四边形ABCD是平行四边形, ∠AD∠BC,

∠∠CAD＝∠ACB＝45°, ∠∠ACB＝∠B＝45°, ∠∠FAD＝∠B＝45°, ∠弧EF的长为∠

2,

2=45r, 180解得:r＝2,

∠S阴影＝S∠ACD﹣S扇形ACE

14522＝22 2360=22．

故答案为:22．

12..如图,在Rt∠ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝2,以点A为圆心,AC的长为半径作弧CE交AB于点E,以点B为圆心,BC的长为半径作弧CD交AB于点D,则阴影部分的面积为 ．

【答案】π﹣2．

【解析】解:S阴影＝S∠ABC﹣S空白, ∠∠ACB＝90°,AC＝BC＝2, ∠S∠ABC＝

1×2×2＝2, 245221S扇形BCD＝＝π,

36021S空白＝2×(2﹣π)＝4﹣π,

2S阴影＝S∠ABC﹣S空白

＝2﹣4+π ＝π﹣2, 故答案为:π﹣2．

13..如图,在∠ABC中,BC＝4,以点A为圆心,2为半径的∠A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是∠A上的一点,且∠EPF＝45°,则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】4﹣π． 【解析】解:连接AD

∠∠A与BC相切于点D, ∠AD∠BC, ∠∠EPF＝45°,

∠∠BAC＝2∠EPF＝90°． ∠S阴影＝S∠ABC﹣S扇形AEF

90221＝×4×2﹣

3602＝4﹣π． 故答案是:4﹣π．

14..如图,在扇形OAB中,∠AOB＝90°,点C为OB的中点,CD∠OB交弧AB于点D．若OA＝2,则阴影部分的面积为 ．

【答案】233． 2【解析】解:连接DO,

则OD＝OA＝OB＝2, ∠CD∠OA,∠AOB＝90°, ∠∠OCD＝90°, ∠C为OB的中点,

11∠CO＝OB＝DO,

22∠∠CDO=30°,∠COD＝60°, 则CD＝3,

∠S阴影＝S扇形BOD－S∠OCD

60221=13 360223=, 32故答案为:233． 215..如图,在∠ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与∠O相交于点F．若弧EF的长为π,则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】8﹣2π． 【解析】解:连结AC,

∠CD是圆A的切线, ∠AC∠CD,即∠ACD＝90°, ∠四边形ABCD为平行四边形, ∠AB∠CD,AD∠BC,

∠∠CAF＝90°,∠FAE＝∠B,∠EAC＝∠ACB, ∠AB＝AC, ∠∠B＝∠ACB, ∠∠FAE＝∠EAC＝45°, ∠弧EF的长为π, 设圆A的半径为r, ∠

45r,得: r＝4, 180∠S阴影＝S∠ACD﹣S扇形CAE

45421=×4×4﹣

3602＝8﹣2π． 故答案为:8﹣2π．

16..如图,点C为弧AB的三等分点(弧BC<弧AC),∠AOB＝90°,OA＝3,CD∠OB,则图中阴影部分的面积

为 ．

【答案】

393． 28【解析】解:连接OC,AC,

由题意知:∠COD＝30°,∠AOC＝60°, ∠CD∠OB, ∠S∠OCD＝S∠ACD,

∠∠CDO＝90°, OC＝OA＝3,∠COD＝30°,

333∠CD＝,OD＝,

22S阴影＝S∠ACD+S弓形AC

＝S∠OCD+S弓形AC

3213336032＝××+－×3

4236022393=. 28393故答案为:． 2817..如图,长方形纸片ABCD的长AB＝3,宽BC＝2,以点A为圆心,以AB的长为半径作弧；以点C为圆心,以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】

13－6． 4【解析】解:由图可知:

90329022S阴影=+－S矩形ABCD

3603609= +－6

413=－6, 413故答案为:－6．

418..如图,在∠ABC中,∠ABC＝45°,∠ACB＝30°,AB＝2,将∠ABC绕点C顺时针旋转60°得∠CDE,则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为 ．

【答案】23． 3【解析】解:过A作AF∠BC于F,

∠∠ABC＝45°, ∠AF＝BF＝

2AB＝2, 2在Rt∠AFC中,∠ACB＝30°,AC＝2AF＝22,FC＝6, 由旋转的性质可知,S∠ABC＝S∠EDC, S阴影＝S扇形DCB+S∠EDC﹣S∠ABC﹣S扇形ACE

＝S扇形DCB﹣S扇形ACE

＝=6026360260223602

23, 3故答案为:23． 319..如图,在矩形 ABCD 中,AB＝3,AD＝4,将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°得到矩形 A′B′C′D,连接 A′B,则图中阴影部分的面积为

.

【答案】

2514． 4【解析】解:连接BD,B’D,

由题意知:∠BDB’=90°,A’C=A’D－CD=1, 由勾股定理得:BD=B’D=5,

∠S阴影=S扇形DBB’－S∠BCD－S∠A’B’D－S∠A’BC

9052111=343414

36022225=14. 425故答案为:14.

420..如图,在菱形ABCD中,AB＝2,∠BAC＝30°,将菱形ABCD绕点A逆时针旋转120°,点B的对应点为点B′,点C的对应点为点C′,点D的对应点为点D′,则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】

8． 3【解析】解:连接BD,与AC相交于点O,

则BD＝2BO＝2,AC＝3AD＝23,

S扇形＝S扇形CAC′+S∠ABC+S∠AC′D′﹣S菱形ABCD﹣S扇形DAD′

＝S扇形CAC′﹣S扇形DAD′

＝=

12023360212022 3608． 38． 3故答案为:

21..如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是__________．

DA30°E3CB．

【答案】33－【解析】解:∵∠A=30°,AD=2,

∴平行四边形AB边上的高为:AD·sin30°=3, ∵AB=4, ∴BE=2,

S阴影=S平行四边形ABCD－S扇形AED－S△BEC

30221=43－－23 3602=33－

3故答案为:33－.

322..如图,PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线,点A、B分别为切点,∠APB＝60°,OP与弦AB交于点C,与⊙O交于点D．阴影部分的面积是 (结果保留π)．

【答案】

6.

【解析】解:∵PA、PB是⊙O的切线, ∴OA⊥PA,OB⊥PB,OP平分∠APB, ∵∠APB＝60°,

∴∠APO＝30°,∠POA＝60°, 由AP=BP,OA=OB得:OP垂直平分AB, ∴AC=BC, ∴S△AOC＝S△BOC,

6012∴S阴影部分＝S扇形OAD＝．

3606故答案为:．

6