四川省成都市双流区2018-2019学年度上期期末学生学
业质量监测七年级数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数
若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为( )
A. 零上3℃
【答案】B
B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
【解析】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则−3℃表示气温为零下3℃． 故选：B．
此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2. 从左面观察如图所示的几何体，所看到的几何体的形状图是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：该几何体的左视图为
故选：A．
第1页，共15页
根据从正左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正左面看得到的图形是左视图．
3. 2018年以来，我区乡村振兴工作按照《双流区大力实施乡村振兴战略“十大重点
工程”和“五项重点改革”行动方案》有序推进.据了解，我区梳理重大项目55个，计划总投资86亿元，助推乡村振兴战略在双流落地开花 用科学记数法表示86亿元为( )
A. 86×108元
【答案】C
B. 8.6×108元 C. 8.6×109元 D. 0.86×1010元
【解析】解：用科学记数法表示86亿元为8.6×109． 故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 调查下面的问题，最适合采用抽样调查方式的是( )
A. 了解一沓钞票中有没有假钞 B. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 C. 了解某校教师的年龄结构
D. 了解你们班同学周末时间是如何安排的
【答案】B
【解析】解：A、了解一沓钞票中有没有假钞，必须普查，故A不符合题意； B、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，调查范围广适合抽样调查，故B符合题意； C、了解某校教师的年龄结构，适合普查，故C不符合题意；
D、了解你们班同学周末时间是如何安排的，适合普查，故D不符合题意； 故选：B．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 七年级1班有女生m人，女生占全班人数的40%，则全班人数是( )
m
m
A. 40% 【答案】A
B. 40%m
C. 1−40%
D. (1−40%)m
第2页，共15页
【解析】解：∵七年级1班有女生m人，女生占全班人数的40%， ∴全班人数是40%． 故选：A．
根据全班人数=女生人数÷女生所占百分比即可列式求解．
本题考查了列代数式，列代数式时，要注意语句中的关键字，根据题意找出数据之间的联系，并准确的用代数式表示出来．
6. 下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
m
A.
B. C.
D.
【答案】A
【解析】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以B、D选项错误；
当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以C选项错误，A选项正确． 故选：A．
利用棱柱的展开图中两底面的位置对B、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对A、C进行判断．
本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
7. 下列说法中正确的是( )
A. −a表示负数；
B. 若|x|=x，则x为正数 C. 单项式−
2xy29
的系数为−2
D. 多项式−3a2b+7a2b2−2ab+1的次数是4
【答案】D
【解析】解：A、−a不一定表示负数，若a=0，错误； B、若|x|=x，则x为非负数，错误； C、单项式−
2xy29
的系数为−9，错误；
2
D、多项式−3a2b+7a2b2−2ab+1的次数是4，正确； 故选：D．
根据有理数、单项式和多项式的概念解答即可．
此题考查单项式和多项式问题，关键是根据有理数、单项式和多项式的概念解答．
第3页，共15页
8. 如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为(
)
A. 90∘ B. 105∘ C. 120∘ D. 135∘
【答案】B
【解析】解：3×30∘+15∘=105∘．
∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105度． 故选：B．
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30∘，钟表上9点30分，时针指向9，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字．
本题考查钟表分针所转过的角度计算.在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1∘时针转动(12)∘，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
9. 小明在解一道方程的题：
1+△x31
+1=x，他发现“△”处在印刷时被油墨盖住了，
查后面的答案知这个方程的解是x=−4，那么△处应该是数字( )
A. 7
【答案】D
B. 5 C. −4 D. 4
【解析】解：设△=a，把方程去分母得：1+ax+3=3x，3x−ax=4 把x=−4代入方程得：3×(−4)−(−4)a=4， 解得a=4． 故选：D．
要想求x=−4时△处的数的值，思维的出发点是直接把x的值代入方程，这就转化为解关于△的一元一次方程了，解方程即可．
本题求△的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
10. 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点.
点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有( )
A. 4个 B. 5个 C. 6个
第4页，共15页
D. 7个
【答案】C
【解析】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报 ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA ∴发出警报的可能最多有6个 故选：C．
点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点.而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多六次．
本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分） 11. 3的倒数是______． 【答案】3
【解析】解：3的倒数是3． 故答案为：3． 根据倒数的定义可知．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握.需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
12. 若单项式6amb2与−5abn是同类项，则m−n=______． 【答案】−1
【解析】解：∵单项式6amb2与−5abn是同类项， ∴m=1，n=2， 则m−n=1−2=−1． 故答案为：−1．
直接利用同类项的定义得出m，n的值，进而得出答案． 此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
13. 如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重
合于点O，则∠AOB+∠DOC=______度. 【答案】180
【解析】解：如右图所示，
∵∠AOD+∠COD=90∘，∠COD+∠BOC=90∘， ∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB， ∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180∘， ∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180∘，
第5页，共15页
1
1
1
∴∠AOB+∠COD=180∘． 故答案是180．
先利用∠AOD+∠COD=90∘，∠COD+∠BOC=90∘，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180∘，而∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，于是有∠AOB+∠COD=180∘．
本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．
14. 如图，已知线段AB=7cm，延长线段AB到C，使
BC=2AB，点D是AC的中点，则线段BD的长为______． 【答案】4.5
【解析】解：∵AB=4，BC=2AB， ∴BC=2×7=14． ∵AC=AB+BC， ∴AC=7+14=21， ∵点D是AC的中点， ∴AD=AC=11.5．
21
∴BD=AD−AB=4.5， 故答案为：4.5．
根据线段中点的定义先求得AD的长度，然后根据BD=AD−AB求解即可． 本题主要考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图中相关线段之间的和差关系是解题的关键．
15. 已知(a+3)2+|b−6|=0，则代数式2a+【答案】−4
【解析】解：由题意可得：a+3=0，b−6=0， 解得：a=−3，b=6， 把a=−3，b=6代入2a+故答案为：−4．
根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，代入代数式计算即可．
本题考查的是非负数的性质和代数式求值问题，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
16. 已知一种运算满足：x※y=2xy+1；x★y=x+2y−1，例如：2※3=
2×2×3+1=13；2★3=2+2×3−1=7.若a※(4★5)的值为−51，则a的值为______． 【答案】−2
【解析】解：根据题意得： 4★5=4+2×5−1=13，
第6页，共15页
5
125
5
5
5
125
b的值是______．
b=2×(−3)+
125
×6=−6+2=−4，
5
a※(4★5)=a※13=2a×13+1=−51， 即26a+1=−51， 解得：a=−2， 故答案为：−2．
根据“x※y=2xy+1；x★y=x+2y−1”，求出4★5的值，再代入a※(4★5)中，得到关于a的一元一次方程，解之即可．
本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，正确掌握解一元一次方程的方法和有理数混合运算的顺序是解题的关键．
17. 如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示−2的点与表示5的点重合，则4
表示的点与______表示的点重合．
【答案】4
【解析】解：5−(−2)=7， 7÷2=2， 5−2=2，
114
7
371
11
−2=4，即点4在中点2右边4个单位，
11
3
5
3
5
1
351135
故与的重合点在中点左边个单位，表示数字，−=，
424244 故答案为：．
4
先在数轴上确定点−2和点5的中点，根据重合两点到该中点的距离相等来确定与4的重合点．
本题考查数轴的相关知识.确定点−2与点5之间的中点是解题关键．
18. 已知a<0 c|=______． 【答案】−2a 【解析】解：∵a<0 即b、c、a到原点的距离依次减小， ∴b 第7页，共15页 11 1 根据条件判断a−c、b+c，a−b与0的大小关系． 本题考查有理数的乘法，绝对值的性质，解题关键是根据已知的条件判断出b 数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，−1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，−10，−1，9，8，继续依次操作下去.则数串a，b，c进行第2019次操作后所得的新数串中各数的和是______.(用含a，b，c的式子表示) 【答案】2020c+b−2018a 【解析】解：每进行一次操作，这些数的和就会在a+b+c的基础上增加一个c−a，进行第2019次操作后所得的新数串中各数的和是a+b+c+2019(c−a)=2020c+b−2018a． 故答案为2020c+b−2018a． 分析发现，每进行一次操作，这些数的和就会在a+b+c的基础上增加一个c−a，由此可得结果． 此题主要考查规律求和，发现其规则并进行巧妙运算是解题的关键． 三、计算题（本大题共3小题，共28.0分） 20. 在某中学开展的阳光体育活动中，学校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓 球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中信息解答下列问题： (1)样本中喜欢B项目的人数百分比是______，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是______； (2)把条形统计图补充完整； (3)已知该校有2000人，根据样本估计全校喜欢跳绳的人数是多少？ 【答案】20% 72∘ 第8页，共15页 【解析】解：(1)样本中喜欢B项目的人数百分比=1−44%−8%−28%=20%；其所 在扇形统计图中的圆心角的度数=360∘×20%=72∘； 故答案为20%，72∘； (2)所抽取的学生数=88÷44%=200， 所以喜欢B项目的人数=200×20%=40， 条形统计图为： (3)2000×28%=560， 所以估计全校喜欢跳绳的人数为560人． (1)利用扇形统计图，用1分别减去喜欢A、C、D项目的百分比即可得到喜欢B项目的人数的百分比，然后用这个百分比乘以360∘得到B项目在扇形统计图中的圆心角的度数； (2)先利用喜欢A项目的人数和所占的百分比计算出所抽取的学生总数，再所抽取的学生总数乘以20%得到喜欢B项目的人数，然后补全条形统计图； (3)用样本估计整体，用2000乘以样本中喜欢跳绳的人数所占的百分比即可估计全校喜欢跳绳的人数． 本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来.从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较.也考查了样本估计整体和扇形统计图． 21. 已知：a2+2ab=−2，b2−2ab=6，求下列代数式的值： (1)a2+b2； (2)3a2−2ab+4b2． 【答案】解：∵a2+2ab=−2，b2−2ab=6， ∴(1)原式=(a2+2ab)+(b2−2ab)=6−2=4； (2)原式=3(a2+2ab)+4(b2−2ab)=−6+24=18． 【解析】(1)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； (2)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 以下是两张不同类型火车的车票(“DXXXX次”表示动车，“GXXXX次”表示 高铁)，已知该列动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，两列火车的长度不计． (1)经过测算，如果两列火车直达终点(即中途都不停靠任何站点)，高铁比动车将早到1h，求A，B两地之间的距离； 第9页，共15页 (2)在两列火车直达终点的过程中，设动车行驶的时间为a小时，请用含字母a的代数式表示出两列火车之间的距离； (3)在(1)中测算的数据基础上，已知A，B两地途中依次设有5个站点P1，P2，P3，P4，P5，且AP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5B，动车每个站点都停靠，高铁只停靠P2，P4两个站点，两列火车在每个停靠站点都停留5min.求该列高铁追上动车的时刻． 【答案】解：(1)设A、B两地之间的距离为xkm， 根据题意得：200−300=2， 解得：x=1200． 答：A、B两地之间的距离是1200km． (2)动车行驶的时间为a小时的时候，高铁行驶的时间为(a−1)小时， 则两列火车之间的距离为|200a−300(a−1)|=|−100a+300|(km)． (3)每个相邻站点距离为1200÷6=200km， 动车到每一站所花时间为200÷200×60=60(分钟)， 高铁到每一站所花时间为200÷300×60=40(分钟)． ∵60÷(60−40)=3， ∴高铁在P2站、P3站之间追上动车． 设高铁经过t小时之后追上动车， 根据题意得：(t−60)×300=(t+1−60×2)×200， 解得：t=12， ∴7：00+12=8：55． 答：该列高铁在8：55追上动车． 【解析】(1)设A、B两地之间的距离为xkm，高铁比动车将早到1h且晚出发1小时，所以高铁比动车少用2小时，根据时间=路程÷速度即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； (2)由动车行驶的时间为a小时的时候，高铁行驶的时间为(a−1)小时，据此知两列火车之间的距离为|200a−300(a−1)|，整理即可得． (3)根据AP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5B可求出每个相邻站点距离，利用时间=路程÷速度可求出两车经过每个相邻站点的时间，结合两车出发的时间及停靠站点休息的时间可得出高铁在P2站、P3站之间追上动车，设高铁经过t小时之后追上动车，根 第10页，共15页 2323 5 5 x x 据路程=时间×速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，再加上出发时间即可求出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②通过分析两车的行驶过程，找出高铁追上动车的大致位置． 四、解答题（本大题共6小题，共56.0分） 23. (1)计算：−13−22×[−3÷5+(−3)2] (2)解方程：1− x+32 1 = 2x−15 1 【答案】解：(1)−13−22×[−3÷5+(−3)2] 1 =−1−4×(−3÷+9) 5=−1−4×(−15+9) =−1−4×(−6) =−1−(−24) =23， (2)去分母得：10−5(x+3)=2(2x−1)， 去括号得：10−5x−15=4x−2， 移项得：−5x−4x=−2−10+15， 合并同类项得：−9x=3， 系数化为1得：x=−3． 【解析】(1)原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算，有括号的先算括号里面的，即可得到答案， (2)依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案． 本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，解题的关键：(1)正确掌握有理数的混合运算法则，(2)正确掌握解一元一次方程的方法． 24. 先化简，再求值：2(a2b−ab2)−3(a2b−1)+2ab2+1，其中a=2，b=4． 【答案】解：2(a2b−ab2)−3(a2b−1)+2ab2+1 =2a2b−2ab2−3a2b+3+2ab2+1 =−a2b+4， 把a=2，b=4代入上式得：原式=−22×4+4=3． 【解析】直接利用整式的加减运算法则分别化简合并同类项，进而把已知代入即可． 此题主要考查了有理数的混合运算以及整式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 1 1 1 1 第11页，共15页 25. 作图：如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句 画图． (1)画直线AB、CD交于E点； (2)连接DB，并将其反向延长； (3)在DB上取一点P，连接PA和PB，并使PA+PC的值最小． 【答案】解：(1)直线AB、CD如图所示，交点为E； (2)射线BD如图所示； (3)点P即为所求； 【解析】(1)根据直线的定义画出图形即可； (2)画出射线BD即可； (3)连接AC交BD与P，点P即为所求； 本题考查作图−复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 26. 宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量(每块饼干的质量都相同，每颗糖 果的质量都相同).第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放10克砝码，右盘放一块饼干和一颗糖果，结果天平平衡：第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，此时若要使天平再度平衡，需要在哪边再放上多少克的砝码？ 【答案】解：设饼干的质量为x克，糖果的质量为y克， 根据题意得： {x+y=10， 解得：{y=4， 即饼干的质量为6克，糖果的质量为4克， 6−4=2(克) 若左盘放一颗4克的糖果，右盘放一块6克的饼干，要使天平平衡，需要在左边再放上2克的砝码， 答：此时若要使天平再度平衡，需要在左边再放上2克的砝码． 【解析】设饼干的质量为x克，糖果的质量为y克，根据“第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放10克砝码，右盘放一块饼干和一颗糖果，结果天平平衡”，得到关于x和y的二元一次方程组，解之，再根据“左 第12页，共15页 x=6 2x=3y 盘放一颗糖果，右盘放一块饼干”，列式计算即可． 本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键． 27. 已知：点M是线段AB上． (1)如图1，点C在线段AM上，且AC=3AM，点D在线段BM上，且BD= 23 1 BM.若AB=18cm，求AC+MD的值． 1 2 MN (2)如图2，若AM=4AB，点N是直线AB上一点，且AN−BN=3MN，求AB的值． 【答案】解：(1)∵BD=3BM， ∴DM=3BM， ∵AC=AM， 3 ∴AC+MD=3BM+3AM=3(AM+BM)=3×AB=3×18=6cm； (2)当点N在线段AB上时，如图2， ∵AN−BN=3MN， ∴3AN−3BN=2MN， 又∵AN−AM=MN ∴3AN−3AM=3MN， ∴BN−AM=MN， ∴BN=AN=2AB， ∴MN=AN−AM=AB， 4∴ MNAB 1 121 1 1 1 1 11 2 =4； 1 当点N在线段AB的延长线上时，如图2， ∵AN−BN=MN，又∵AN−BN=AB， 3∴3MN=AB，即 MN 1 2 MNAB32 =2． 3 综上所述AB=4或2． 【解析】(1)根据已知条件得到DM=3BM，根据线段的和差即可得到结论； (2)分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解． 第13页，共15页 1 本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 28. 已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方 向以每秒2∘的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4∘的速度旋转，如图2，设旋转时间为t(0秒≤t≤45秒)． (1)则∠MOA=______，∠NOB=______.(用含t的代数式表示) (2)在运动过程中，当∠AOB达到60∘时，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角(指大于0∘而不超过180∘的角)的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】2t 4t 【解析】解：(1)∠MOA=2t，∠NOB=4t； 故答案为：2t，4t； (2)如图， 根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=4t， 当∠AOB第一次达到60∘时，∠AOM+∠BON+60∘=180∘ 即2t+4t+60∘=180∘， ∴t=20秒， 故t=20秒时，∠AOB第一次达到60∘； 当∠AOB第二次达到60∘时，∠AOM+∠BON−∠MON=60∘， 即2t+4t−180=60，解得：t=40， 故t=40秒时，∠AOB第二次达到60∘； (3)射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①OB平分∠AOM时，∵2∠AOM=∠BOM， ∴t=180−4t， 解得：t=36； 第14页，共15页 1 ②OB平分∠MON时，∵∠BOM=2∠MON，即∠BOM=90∘， ∴4t=90，或4t−180=90， 解得：t=22.5，或t=67.5(舍)； ③OB平分∠AON时，∵∠BON=2∠AON， ∴4t=2(180−2t)， 解得：t=18； 综上，当t的值分别为18、22.5、36秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． (1)∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间； (2)当∠AOB第二次达到60∘时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON−∠MON=60∘列方程求解可得； (3)射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况： ①OB两次平分∠AOM时，根据2∠AOM=∠BOM，列方程求解， ②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM=2∠MON，列方程求解， ③OB平分∠AON时，根据∠BON=2∠AON，列方程求解． 本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． 1 1 1 1 1 1 第15页，共15页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容