科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．（5分）椭圆
+
=1的一个焦点坐标是（ ）
，0） D．（0，
）
A．（0，2） B．（2，0） C．（
2．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（ ） A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．
D．
3．（5分）已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（ ） A．8，2
B．8，3
C．6，3
D．6，2
4．（5分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（ ）种不同的投放的方式． A．4
B．12 C．64 D．81
5．（5分）与二进制数110（2）相等的十进制数是（ ） A．6
B．7
C．10 D．11
6．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，98，则输出的a=（ ）
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A．9 B．3 C．7 D．14
7．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
8．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（ ） A．9
B．10 C．11 D．12
和双曲线
有公共的焦点，那么双
9．（5分）已知椭圆
曲线的渐近线方程是（ ） A．x=±
B．y=
C．x= D．y=
10．（5分）若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，
第2页（共19页）
则实数k的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
11．（5分）命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A．a≥9
B．a≤9
C．a≤8
D．a≥8
12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2+1的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
2213．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣2）+（y﹣2）=4的弦，其中最短的弦长为 ．
C． D．
14．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的标为（0，2），则双曲线的标准方程是 ．
倍，且一个顶点的坐
15．（5分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ．
16．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线x﹣y+2=0上一点，若圆O上存在一点N，使得
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（10分）已知命题p：方程
表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：
，则y0的取值范围是 ．
关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．
第3页（共19页）
18．（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 5 ；
销售额x（千万元） 3 利润额y（千万元） 2 （Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
附：线性回归方程中，，．
19．（12分）已知椭圆C的两个焦点，
经过点
，P是椭圆C上的一个动点．
，F1，F2是椭圆
（1）求椭圆C的标准方程； （2）若点P在第一象限，且
，求点P的横坐标的取值范围．
20．（12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：
喜欢数学课 30 20 50 不喜欢数学课 60 90 150 合计 90 110 200 男 女 合计 （1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？
（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率． 21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （1）证明：直线CE∥平面PAB；
第4页（共19页）
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1∥l，l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）△OPE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标．
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2017-2018学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期末数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．（5分）椭圆
+
=1的一个焦点坐标是（ ）
，0） D．（0，
）
，c=2，
A．（0，2） B．（2，0） C．（【解答】解：椭圆
+
=1的焦点在x轴上的椭圆，a=3，b=
椭圆的焦点坐标是（±2，0）， 故选：B．
2．（5分）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（ ） A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．C．
D．
【解答】解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题， ∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是： “
故选：C．
3．（5分）已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（ ） A．8，2
B．8，3
C．6，3
D．6，2
”，．
【解答】解：∵公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，
第6页（共19页）
∴从公司抽取30个人进行身体健康检查，每个个体被抽到的概率是∴中级管理人员30×=6人， 高级管理人员10×=2人， 故选：D．
=，
4．（5分）把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（ ）种不同的投放的方式． A．4
B．12 C．64 D．81
【解答】解：根据题意，把四封不同的信投到三个不同的信箱里， 每封信都有3种不同的投放的方式，
则四封不同的信有3×3×3×3=81种不同的投放的方式， 故选：D．
5．（5分）与二进制数110（2）相等的十进制数是（ ） A．6
B．7
C．10 D．11
【解答】解：110（2）=0+1×2+1×22=2+4=6（10） 故选：A．
6．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，98，则输出的a=（ ）
第7页（共19页）
A．9 B．3 C．7 D．14
【解答】解：由a=63，b=98，不满足a＞b， 则b变为98﹣63=35，
由b＜a，则a变为63﹣35=28， 由a＜b，则，b=35﹣28=7， 由b＜a，则，b=28﹣7=21， 由b＜a，则，b=21﹣7=14， 由b＜a，则，b=14﹣7=7，
由a=b=7，退出循环，则输出的a的值为7． 故选：C．
7．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确； D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45° 故选D
8．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则
第8页（共19页）
△PAF周长的最小值为（ ） A．9
B．10 C．11 D．12
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1，点A（5，3）在抛物线内部， 丨FA丨=
=5．
P是抛物线上的动点，PD⊥l交l于D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|； ∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小， 当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为5﹣（﹣1）=6， 则（|PA|+|PF|）min=6．
△PAF周长的最小值为：6+5=11． 故选C．
9．（5分）已知椭圆
曲线的渐近线方程是（ ） A．x=±
B．y=
C．x=
D．y=
和双曲线有公共的焦点，那么双
【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点 ∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2， ∴=2
双曲线的渐近线方程为y=±故选D
=±x
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10．（5分）若关于x的方程则实数k的取值范围是（ ） A．
B．
﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，
C． D．
【解答】解：将方程半圆
转化为：
，与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点．
当直线与半圆相切时，有k=
∴半圆与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点时．
直线y=kx+3﹣2k=k（x﹣2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（﹣2，0）时直线的斜率k取最大值为 k∈故选D
11．（5分）命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A．a≥9
B．a≤9
C．a≤8
D．a≥8
【解答】解：命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题，
第10页（共19页）
∴a≥[x2]max=9．
∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2﹣a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8． 故选：D．
12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2+1的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．
C．
D．
【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n）， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=8， 即有m=8，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1， 由双曲线的定义可得m﹣n=2a2， 即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞8， 则c＞2，即有2＜c＜4． 由离心率公式可得e1•e2=
•
=
=
，
由于1＜＜4，则有＞．
则e1•e2+1＞+1=．
∴e1•e2+1的取值范围为（，+∞）． 故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为 2 ．
第11页（共19页）
【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2， ∵
=
＜2，∴（3，1）在圆内， ，r=2， =2
．
∵圆心到此点的距离d=∴最短的弦长为2故答案为：2
14．（5分）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的标为（0，2），则双曲线的标准方程是
．
倍，且一个顶点的坐
【解答】解：由题意可设：，（a＞0，b＞0），
则，解得．
∴双曲线的标准方程是．
故答案为
．
15．（5分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 ．
【解答】解：∵A1C1∥AC，
∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1， 易求
，
第12页（共19页）
∴故答案为：
．
16．（5分）已知圆O：x2+y2=1，点M（x0，y0）是直线x﹣y+2=0上一点，若圆O上存在一点N，使得
，则y0的取值范围是 [﹣2，0] ．
【解答】解：过M作⊙O切线交⊙C于R，根据圆的切线性质， 有∠OMR≥∠OMN． 反过来，如果∠OMR≥
，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=
，则∠OMR≥
．
．
∴若圆O上存在点N，使∠OMN=∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2． 又∵M（x0，2+x0），
|OM|2=x02+y02=x02+（2+x0）2=2x02 +4x0+4， ∴2x02+4x0+4≤4，解得，﹣2≤x0≤0． ∴x0的取值范围是[﹣2，0]， 故答案为：[﹣2，0]．
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（10分）已知命题p：方程
表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：
关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求
第13页（共19页）
实数m的取值范围． 【解答】解：∵方程∴0＜m+1＜3﹣m， 解得：﹣1＜m＜1，
∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；
若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0， 即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题， 若p真q假，则
，此时无解，
表示焦点在y轴上的椭圆，
柔p假q真，则，得1≤m＜3．
综上，实数m的取值范围是[1，3）．
18．（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B 5 3 C 6 3 D 7 4 E 9 5 ；
销售额x（千万元） 3 利润额y（千万元） 2 （Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
附：线性回归方程中，，．
【解答】解：（Ⅰ）设回归直线的方程是：，，
∴==0.5，=0.4，
第14页（共19页）
∴y对销售额x的回归直线方程为：=0.5x+0.4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） （Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，利润额为：=0.5×4+0.4=2.4（千万元）．﹣﹣﹣（12分）
19．（12分）已知椭圆C的两个焦点，
经过点
，P是椭圆C上的一个动点．
，F1，F2是椭圆
（1）求椭圆C的标准方程； （2）若点P在第一象限，且【解答】解：（1）∵椭圆圆C的两个焦点，|F1F2|=2
，
，求点P的横坐标的取值范围．
经过点
，F1，F2是椭
则，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为（2）∵c=则∵∴
•
，F1（﹣=（﹣
+y2=1． ，0），F2（
，0），设P（x，y）， ﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3，
﹣x，﹣y）•（
+y2=1， •
=x2+y2﹣3=x2+1﹣≤x≤
，
﹣3=（3x2﹣8）≤，
解得﹣
∵点P在第一象限，∴x＞0， ∴0＜x≤
，
]．
∴点P的横坐标的取值范围是（0，
第15页（共19页）
20．（12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：
喜欢数学课 30 20 50 不喜欢数学课 60 90 150 合计 90 110 200 男 女 合计 （1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？
（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率． 【解答】解：（1）∵
，（2分）
∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（4分） （2）男生抽取的人数有：女生抽取的人数有：
（人） （5分） （人） （6分）
（3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，设为a，b，c，女生抽取的人数为2人，设为d，e，
则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种．（8分）
其中满足条件的基本事件有：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e）共6种，（10分） ∴恰有一男一女的概率为P=
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
第16页（共19页）
=．（12分）
【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以EF
AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， ∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=
，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°， 可得：BN=MN，CN=
MN，BC=1，
，MN=
，
可得：1+BN2=BN2，BN=
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==
，
=
．
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：
第17页（共19页）
22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1∥l，l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）△OPE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标． 【解答】解：（ I）由题意知
．xP=3，则
．
，
则S（3+p，0），或S（﹣3，0）（舍）则FS中点因为|PF|=|PS|，则
解得p=2．所以抛物线C的方程为y2=4x．…..（4分）
（ II）（ i）由（ I）知F（1，0），设P（x0，y0），（x0y0≠0），S（xS，0）（xS＞0）， 因为|FP|=|FS|，则|xS﹣1|=x0+1，由xS＞0得xS=x0+2，故S（x0+2，0）．故直线PQ的斜率KPQ=
．
因为直线l1和直线PQ平行，设直线l1的方程为得
，由题意
，得
．
，代入抛物线方程
设E（xE，yE），则yk=﹣，xK==，
当y02≠4时，kPE=
=，
第18页（共19页）
可得直线PE的方程为，
则O到直线PE的距离为，
…..（6分）
所以，△OPE的面积当
时，S△OPE=2
所以，△OPE的面积有最小值，最小值为2．…..（9分） （ ii）由（ i）知
时，直线PE的方程
，
整理可得当
，直线PE恒过点F（1，0）．
时，直线PE的方程为x=1，过点F（1，0）．…..（12分）
第19页（共19页）
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