2023 年普通高等学校招生全国统一考试数学
适用于：山东、河北、湖北、湖南、江苏、广东、福建
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时120 分钟 注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用
2 笔试(A)在答卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时，选出每小题等案后，用 2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题爷的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的
1. 已知集合 𝑀={−2,−1,0,1,2},𝑁={𝑥∣𝑥2−𝑥−6≥0}, 则 𝑀∩𝑁= A. {−2,−1,0,1} B. {0,1,2} C. {−2} D. {2}
2. 已知 𝑧=2+2i, 则 𝑧−𝑧‾=
A. −i B. i C. 0 D. 1
3. 已知向量 𝐚=(1,1),𝐛=(1,−1). 若 (𝐚+𝜆𝐛)⊥(𝐚+𝜇𝐛), 则 A. 𝜆+𝜇=1 B. 𝜆+𝜇=−1 C. 𝜆𝜇=1 D. 𝜆𝜇=−1
4. 设函数 𝑓(𝑥)=2𝑥(𝑥−𝑎) 在区间 (0,1) 单调递减, 则 𝑎 的取值范围是 A. (−∞,−2]
1−i
B. [−2,0) C. (0,2] D. [2,+∞)
5. 设椭圆 𝐶1:𝑎2+𝑦=1(𝑎>1),𝐶2:√3𝑒1, 则 𝑎= A.
2√3 3
𝑥2
2
𝑥24
+𝑦2=1 的离心率分别为 𝑒1,𝑒2. 若 𝑒2=
B. √2 C. √3
D. √6
6. 过点 (0,−2) 与圆 𝑥2+𝑦2−4𝑥−1=0 相切的两条直线的夹角为 𝛼, 则 sin𝛼= A. 1 B. C. D.
√15 4√104√6 4
𝑛
7. 记 𝑆𝑛 为数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和, 设甲: {𝑎𝑛} 为等差数列; 乙: {𝑛} 为等差数
𝑆
列, 则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8. 已知 sin(𝛼−𝛽)=3,cos𝛼sin𝛽=6, 则 cos(2𝛼+2𝛽)= A. 9 B. 9 17
1
1
C. −9 D. −9
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分
9. 有一组样本数据 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6, 其中 𝑥1 是最小值, 𝑥6 是最大值, 则 A. 𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5 的平均数等于 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6 的平均数
7
1
B. 𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5 的中位数等于 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6 的中位数 C. 𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5 的标准差不小于 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6 的标准差 D. 𝑥2,𝑥3,𝑥4,𝑥5 的极差不大于 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥6 的极差
10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级 𝐿𝑝= 20×lg𝑝, 其中常数 𝑝0(𝑝0>0) 是听觉下限阑值, 𝑝 是实际声压. 下表为不同声源
0
𝑝
的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 𝑝1,𝑝2,𝑝3, 则 A. 𝑝1≥𝑝2 B. 𝑝2>10𝑝3 C. 𝑝3=100𝑝0 D. 𝑝1≤100𝑝2
11. 已知函数 𝑓(𝑥) 的定义域为 𝐑,𝑓(𝑥𝑦)=𝑦2𝑓(𝑥)+𝑥2𝑓(𝑦), 则 A. 𝑓(0)=0 B. 𝑓(1)=0 C. 𝑓(𝑥) 是偶函数
D. 𝑥=0 为 𝑓(𝑥) 的极小值点
12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为 1 (単位: m ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不 计)内的有 A. 直径为 0.99 m 的球体 B. 所有棱长均为 1.4 m 的四面体
C. 底面直径为 0.01 m, 高为 1.8 m 的圆柱体 D. 底面直径为 1.2 m, 高为 0.01 m 的圆柱体
三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有 种 (用数字作答).
14. 在正四棱台 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中, 𝐴𝐵=2,𝐴1𝐵1=1,𝐴𝐴1=√2, 则该棱台的体积为
15. 已知函数 𝑓(𝑥)=cos𝜔𝑥−1(𝜔>0) 在区间 [0,2𝜋] 有且仅有 3 个零点, 则 𝜔 的取值范围是
16. 已知双曲线 𝐶:𝑎2−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0) 的左、右焦点分别为 𝐹1,𝐹2. 点 𝐴 在 ⃗⃗1⃗⃗⃗𝐴⃗ ⊥⃗⃗⃗2⃗⃗⃗𝐴⃗ =−2⃗⃗⃗1⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则 𝐶 的离心率为 𝐶 上. 点 𝐵 在 𝑦 轴上, ⃗𝐹𝐹𝐵𝐹𝐹𝐵
32四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知在 △𝐴𝐵𝐶 中, 𝐴+𝐵=3𝐶,2sin(𝐴−𝐶)=sin𝐵. (1) 求 sin𝐴;
（2）设 𝐴𝐵=5, 求 𝐴𝐵 边上的高.
18. 如图, 在正四棱杜 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中, 𝐴𝐵=2,𝐴𝐴1=4. 点 𝐴2,𝐵2,𝐶2,𝐷2 分别在棱 𝐴𝐴1,𝐵𝐵1,𝐶𝐶1,𝐷𝐷1 上, 𝐴𝐴2=1, 𝐵𝐵2=𝐷𝐷2=2,𝐶𝐶2=3. (1) 证明: 𝐵2𝐶2//𝐴2𝐷2;
（2） 点 P 在棱 BB1 上, 当二面角 P−A2C2−D2 为 150∘ 时, 求𝐵2𝑃.
𝑥2𝑦2
19. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎(e𝑥+𝑎)−𝑥. (1) 讨论 𝑓(𝑥) 的単调性;
（2）证明: 当 𝑎>0 时, 𝑓(𝑥)>2ln𝑎+2.
20. 设等差数列 {𝑎𝑛} 的公差为 𝑑, 且 𝑑>1, 令 𝑏𝑛={𝑎𝑛}, {𝑏𝑛} 的前 𝑛 项和.
(1) 若 3𝑎2=3𝑎1+𝑎3,𝑆3+𝑇3=21, 求 {𝑎𝑛} 的通项公式; ( 2 ) 若 {𝑏𝑛} 为等差数列, 且 𝑆99−𝑇99=99, 求 𝑑.
21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则 换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6 , 乙每次投篮的 命中率均为 0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为 0.5 .
( 1 ) 求第 2 次投篮的人是乙的概率; ( 2 ) 求第 𝑖 次投篮的人是甲的概率;
( 3 ) 已知: 若随机变量 𝑋𝑖 服从两点分布, 且 𝑃(𝑋𝑖=1)=1−𝑃(𝑋𝑖=0)=𝑞𝑖,𝑖=
𝑛
1,2,⋯,𝑛, 则 𝐸(∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖)=∑𝑖=1𝑞𝑖, 记前 𝑛 次 (即从第 1 次到第 𝑛 次投篮) 中甲
𝑛2+𝑛𝑎𝑛
3
, 记 𝑆𝑛,𝑇𝑛 分别为数列
投篮的次数为 𝑌, 求 𝐸(𝑌).
22. 在直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中, 点 𝑃 到 𝑥 轴的距离等于点 𝑃 到点 (0,2) 的距离,
1
记动点 𝑃 的轨迹为 𝑊. (1) 求 𝑊 的方程;
( 2 ) 已知矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 有三个顶点在 𝑊 上, 证明: 矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的周长大于 3√3.
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