(总分：50.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：9，分数：18.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析： 2.曲线 A.0 B.1 C.2 D.3 √
解析：解析：先求出y'与y''．3.定积分 A. B. C. D. √ 解析：解析：（分数：2.00）
A.曲线y=f(x)在(x 0 —δ，x 0 +δ是凹的 B.曲线y=f(x)在(x 0 —δ，x 0 +δ)是凸的
C.曲线y=f(x)在(x 0 —δ，x 0 ]单调减少，而在[x 0 ，x 0 +δ单调增加 D.曲线y=f(x)在(x 0 —δ，x 0 ]单调增加，而在[x 0 ，x 0 +δ)单调减少 √ 解析：解析： 当x∈(x 0 一δ，x 0 +δ)且x≠x 0 时， =>当x∈(x 0 一δ，x 0 )时，f'(x)
故应选D． 的值等于 因此，选D．
的拐点的个数为
（分数：2.00）
（分数：2.00）
4.设f'(x 0 )=0，f''(x 0 )＜0，则必定存在一个正数δ，使得
＞0；当x∈(x 0 ，x 0 +δ)时，f'(x)＜0．又f(x)在x=x 0 连续=>f(x)在(x 0 一δ，x 0 ]单调增加，在[x 0 ，x 0 +δ)单调减少．故应选D．
5.下列函数中在区间[一2，3]上不存在原函数的是（分数：2.00） A. B. C. √ D.
解析：解析：我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则其余的一个就被选中．A存在原函数．显然，x≠0时f(x)连续，又因为 3]上连续=>f(x)在[一2，3]上 =>f(x)在点x=0处连续． 因此f(x)在[一2，
在[一2，3]上连续=>f(x)在[一
原函数．B存在原函数．因为 2，3]上 x
原函数．D存在原函数．因为，g(x)在[一2，3]上有界，除x=1外连续=>g(x)在[一2，3]
x
上可积=>∫ 0 g(x)dt在[一2，3]上连续=>f(x)=∫ 0 g(x)dt在[一2，3]上 应选C．
6.3阶实对称矩阵A相似于矩阵 （分数：2.00） A.λ＞0 √ B.λ＞一1 C.λ＞一12 D.λ≥一1
原函数． 综上分析，
λ是实数．则A +A+λE是正定矩阵的充分必要条件是
2
解析：解析：A的特征值为3，2，一1，A +A+λE的特征值12+λ，6+λ，λ，A +A+λE是正定矩阵的充分必要条件为A +A+λE的特征值全大于0，得λ＞0．
7.已知向量组α 1 ，α 2 ，α 3 和β 1 ，β 2 ，β 3 ，β 4 都是4维实向量，其中r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=2，r(β 1 ，β 2 ，β 3 ，β 4 )＞1，并且每个β与α 1 ，α 2 ，α （分数：2.00） A.1 B.2 √ C.3 D.4
解析：解析：构造矩阵A=(α 1 ，α 2 ，α 3 )，则β i 都是与α 1 ，α 2 ，α 3 正交说明β i 都是4元方程组A x=0解．再由r(α 1 ，α 2 ，α 3 )=2，得r(A )=rA=2，于是A x=0的解集合的秩为2，从而r(β 1 ，β 2 ，β 3 ，β 4 )=2．
8.在区间(一1，1)上任意投一质点，以X表示该质点的坐标．设该质点落在(一1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则 （分数：2.00）
A.X与｜X｜相关，且相关系数｜ρ｜=1 B.X与｜X｜相关，但｜ρ｜＜1 C.X与｜X｜不相关，且也不独立 √ D.X与｜X｜相互独立
解析：解析：依题设，X在(一1，1)上服从均匀分布，其概率密度为故cov(X，｜X｜)=0，从而ρ=0，
，p{｜X｜＜a}=a． 又
(0＜a＜
T
T
T
2
22
X与｜X｜不相关．于是可排除A与B． 对于任意实数a(0＜a＜1)，有p{X＜a}=p{X＜a，｜X｜＜a}=p{｜X｜＜a}=a， 从而p{X＜a}p{｜X｜＜a}≠p{X＜a，｜X｜＜a}，即1) 所以X与｜X｜不独立，故应选C． 9.已知随机变量X的概率分布为（分数：2.00） A.λ B.λe C. D. √
λ
其中λ＞0，k=1，2，…，则EX为
解析：解析：注意到该分布除a外与泊松分布仅差k=0这一项，故利用与泊松分布的关系求出常数a的值，然后再求EX．由故选D．
二、 填空题(总题数：6，分数：12.00)
10.设曲线Г的极坐标方程为r=e ，则Г在点 （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：Г的参数方程是处的法线方程为 Г在此点的切线的斜率为=>法线的斜率为1，因此Г在点θ
处的法线的直角坐标方程是 1．
11.质量为M，长为l的均匀杆AB吸引着质量为m的质点C，C位于AB的延长线上并与近端距离为a，已求得杆对质点c的引力 时，则引力做的功为 1． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：以AB为x轴，近端点为原点，x轴正向指向C．C的坐标为x，则杆对C的引力 C从r 0 移至无穷远时，引力做的功 12.微分方程（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]其中C为任意常数．） 解析：解析：将原方程改写为 13.设L为曲线： （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：πa ）
解析：解析：由在L上y+z=0=> I=∫ L (x +3y+3z)ds=∫ L x ds+3∫ L (y+z)ds=∫ L x ds． 易写出L的参数方程： 14.已知于是 I=∫ 0 a cos t.adt=a ∫ 0 cos tdt=πa ．
2π
2
2
3
2π
2
3
2
2
2
3
其中k为引力常数．现将质点C在杆的延长线上从距离近端r 0 处移至无穷远
于是， 的通解为 1．
以y为自变量，x为因变量，这是伯努利方程．两边乘x 得 2
-2
则I=∫ L (x +3y+3z)ds= 1．
则Ax=0的解空间的一个规范正交基是 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：先求 Ax=0的一个基础解系，它就是解空间的一个基．然后对它进行施密特正交化即可． 得Ax=0的一个同解方程组： T
求得一个基础解系，α 1 =(1，5，3,0) ，α 2 =(一2，一1，0，3)
(1，5，3，0) ，η 2 =α' 2 ／｜｜
T
T
． 正交化： 单位化： 作η 1 =α 1 ／｜｜α 1 ｜｜= T
α' 2 ｜｜= (一3，0，1，5) ，则η 1 ，η 2 是Ax=0的一个单位正交基础解系，也就是Ax=0
的解空间的一个规范正交基．
15.设x，y分别服从参数为（分数：2.00）
的0-1分布，且它们的相关系数，则X与Y的联合概率分布为 1．
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：依题意， 值，所以 E(XY)=p 22 .1= 设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表： 由于X，Y只取0，1两个
再由(X，Y)的联合分布与边缘分布的关系，可得 p 12 =0，p 11 =p 21 = 三、 解答题(总题数：10，分数：20.00)
16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析： 17.设f(x)= 最小值点． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)由定积分的几何意义知 (这是以原点为心，半径为X的圆在第一象限部
1
2
2
+∫ 0 ｜x -t ｜＞0， (Ⅰ)求出积分f(x)的表达式； (Ⅱ)求f(x)在(0，+∞)的
122
分的面积)． 再用分段积分法求f(x)表达式中的另一积分： 当0＜z＜1时 ∫ 0 ｜x 一t ｜dt=∫ 0
x
(x 一t )dt+∫ x (t 一x )dt 于是 22122
当x≥1时 ∫ 0 ｜x 一t ｜dt=∫ 0 (x 一t )dt=
) 122122
(Ⅱ)为求f(x)在(0，+∞)上的最小值，先求f'(x)． 解析：
18.(Ⅰ)设f(x)=4x +3x —6x，求f(x)，的极值点； (Ⅱ)设有 的拐点． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)先求f'(x)=12x +6x一6=6(2x一1)(x+1)． 由 的极大值点， 为f(x)的极小值点． (Ⅱ)由变限积分求导法得 =>只有拐点(0，0)．)
2
3
2
，它的反函数是y=y(x)，求y=y(x)
可知x=一1为f(x)
再由复合函数求导法得 在定义域中考察y=y(x)： 解析：
19.有一容器由平面z=0，x=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上 垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径 点(0，0，z)(0≤z≤1)作
的圆面．若以每秒v 体积单位的均匀0
速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系 水面高度； (Ⅲ)求灌满容器所需时间． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度x(t)与体积V(t)之间
(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的的关系是 V(t)=∫ S(z)dz， 其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z +(1一z) ]． 现由 0 及z(0)=0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得 分离变量得S(z)dz=v 0 dt，即 大值．已求得(*)式即 1]上的最小值点．由 两边积分并注意z(0)=0，得 这是可分离变量的一阶微分方程，(Ⅱ)求z取何值时 2
2
z(t)22
取最因此，求 取最大值时z的取值归结为求f(z)=z +(1一z) 在[0，
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所
(Ⅲ)归结求容器的体积，即 ) 对应的时间t，于是在(**)中令z=1得 解析： 20.证明等式（分数：2.00）
并指出等式成立的区间．
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：逐项积分得再逐项积分得逐项积分保持收敛区间不变，在x=±1
) 处逐项积分后的级数收敛，又f(x)在x=±1连续，故展开式在[一1，1]成立．因此解析：
2
2
2
21.求空间曲线积分J=∫ L y dx+xydy+xzdz，其中L是圆柱面x +y =2y与平面y=z一1的交线，从x轴正向看去取逆时针方向． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：L的方程是 2π
=>L的参数方程是 x=cost， y=1+sint， z=2+sint． 按L的定
2
2
2
向t从0到2π，于是代公式得 J=∫ 0 [(1+sint) (一sint)+(1+sint)cos t+(2+sint)cos t]dt =∫ (一2sin t+3cos t)dt=π， 其中 ∫ 0 (一sint—sin t+2sintcos t)dt 3
2
2π
2
2
2π
3
2
0
∫ -π (一
π
sint一sin t+2sintcos t)dz 解析：
0．)
22.设在一个空间直角坐标系中，有3张平面的方程： P ：x+2y+3z=3；P ：2x一2y+2az=0；P ：x—ay+z=b．已1 2 3 知它们两两相交于3条互相平行的不同直线，求a，b应该满足的条件． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：记α 1 =(1，2，3)，α 2 =(2，一2，2a)，α 3 =(1，一a，1)． 建立线性方程组(Ⅰ)： 先把几何条件转化为代数条件： ①这3张平面两两相交，说明它们互相不平行，于是α ，1
α 2 ，α 3 两两线性无关． ②它门两两相交于3条互相平行的不同直线，说明方程组(I)无解，从而增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩． 写出(Ⅰ)的增广矩阵，并用初等行变换把它化为阶梯形矩阵： ②知，a 一a=0，l—a一b≠0． 由于a=1时α 2 ，α 3 线性相关， 于是a=0，b≠1．) 解析： 23.已知判断A与B是否相似?要说明理由．
2
则由（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件．因此本题应该从计算特征值下手． 2
=(λ+1)(λ
2
—2λ一3) =(λ+1) (λ一3)， A的特征值为一1，一1，3． 2
2
=(λ一3)(λ +2λ+1)=(λ一
3)(λ+1) ． B的特征值也是一1，一1，3． 再看3它们是否相似于对角矩阵．只用看对于2重特征值一l有没有两个线性无关的特征向量．也就是看r(A+E)和r(B+E)是否为1． 于特征值一1的两个线性无关的特征向量，A相似于对角矩阵． 解析：
24.设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(x i ，y j )(i，j=1，2)，且 (X，Y)的联合概率分布； (Ⅱ)条件概率P{Y=y j ｜X=x 1 }，j=1，2． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)因X与Y独立，所以有 于是(X，Y)的联合概率分布为 ) 于是有P{X= x 1 ｜
(Ⅱ)因X
试求： (Ⅰ)二维随机变量
r(A+B)=1，因此A有属
r(B+E)=2，因此B没有两个属于特
征值一1的线性无关的特征向量，B不相似于对角矩阵． 由相似关系的传递性，A与B不相似．)
与Y独立，所以P{Y=y j ｜X=x 1 }=P{Y=y j }，j=1，2，于是有 解析：解析：依题意，随机变量X与Y的可能取值分别为x 1 x 2 与y 1 y 2 ，且 Y=y 1 }= P{X= x 1 }， 即事件{X=x 1 }与事件{Y=y 1 }相互独立，因而{X=x 1 }的对立事件{X=x 2 }与{Y=y
1
}独立，且{X=x 1 }与{Y=y 1 }的对立事件{Y=y 2 }独立；{X=x 2 }与{Y=y 2 }独立，即X与Y相互独立．
其中λ＞0，a＞0为已
25.设X 1 ，X 2 ，…，X n 是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为 知参数．记 （分数：2.00）
(Ⅰ)求A的矩估计量 (Ⅱ)求Y的数学期望EY的最大似然估计量 __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)EX=∫ -∞ xf(x)dx=∫ a xλe λte dt+a∫ 0 λe dt= +∞
-λt
+∞
-λt
+∞
+∞
-λ(x-a)
dx ∫ 0 λ(t+a)e dt =∫
+∞-λt
0
令 样本的似然函数L(x 1 ，x 2 ，…，x n ；λ)= ) 取对数 解析：
由于EY是λ的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故EY的最大似然估计量为
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