数学建模作业
题 目： 基金使用计划 教 学 班： 教学X班 组 员: 指导老师：
二〇〇九年十二月一日
一、摘要
在社会生活中，我们常会遇到一笔资金有很多不同的投资机会，面对这些机会，我们可以选择不同的投资方式,从而使这笔资金在一段时间内达到收益最大化。本文涉及的问题是基金会的一笔资金，每年都要用一部分本息进行必要的资助，每年的资助金额要求大致相同,在可以将其存入银行业可购买国库券的俩中投资方式机会下,怎样安排一个几年的计划，时期每年用于资助的金额尽可能多，而且几年后仍然保留原有的金额不变。
本文给出了基金存款策略的数学模型。对于基金M使用n年的情况而言，首先把M分成n份， 其中第i(1≤i≤n)份存款Mi存期为i年,那么只有当第i（i≤n-1)份资金按最佳存款策略存款到期后的本息和等于当年的资助金额，并且第n份资金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。
通过求解此模型,我们得到了基金的最佳存款策略，并求出了在n = 10 年， M = 2000 万元的情况下,基金的最佳使用方案。在可存款也可购买国库券时，采取一种转化方法，将国库券购买情况转化为相应年期的定期存款，结合问题(一） 即可求得在n =10年,M =2000万元的情况下，基金的最佳使用方案；在第八年基金会庆祝时资助金额比其它年度多20%的问题的分析方法和模型的解决方法与前相同。
二、问题的重述
某基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表.假设国库券每年至少发行一次,发行时间不定。
基金会计划在n年内每年用部分本息进行必要的资助，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。基金会希望获得最佳的基金使用计划,以提高每年的奖金额。请你帮助基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=2000万元，n=10年给出具体结果：
1． 只存款不购国库券； 2． 可存款也可购国库券；
3． 在基金到位后的第8年为庆祝基金会的资助成果，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。
表1 银行存款及国库券年利率 银行存款税后年率/% 活期 三个月 六个月 一年期 二年期 三年期 五年期
0.576 1.368 1。512 1.584 1。800 2。016 2.232 2.25 2。52 2.79 国库券年利率/％ 三、模型的假设
(1）每年所发放奖金额保持相同；
（2）银行年利率假设在这n年内保持不变;
（3）银行储蓄中所得的利息不考虑纳税金额,同时不计复息; (4)在每年年末发放资助金；
（5）存款或国库券到期及时取出，扣除部分用于年发奖金外立即存入银行或购国库
券；
（6） 基金在当年末一次性到位；
（7） 国库券每年发行一次且发行时间不定，且每次发行时三种利率的国库券都发
行；
(8） 每年年初就已经知道国库券发行时间。
四、符号说明
M 表示基金总数
Mn 表示用于第n年发放资助金的投资额 Rn 表示存款n年的利率 X 表示每年资助金额 n 表示第n年
五、模型分析
一．只存款你购买国库券模型
现将M元分成n份，分别记作M1、M2、M3……Mn.将Mn存入银行n年，到期时取出，将本息和作为第n年资助金（第10年的本息和除作奖金为,还要留下原本金M).
容易看出,同一笔款任意改变其俩个存款的先后次序不会改变其本息和。例如:现存一年后存三年与先存三年后存一年期,到期时本息和是一样的.不仅如此，进过分析推演存2个一年期不如存1个二年期,存1个一年期再转存1个二年期不如一次存1个三年期，以此类推,存2个三年期不如存1个一年期再转存1个五年期[注：该段参考文献1］.
(1+R1)（1+R1）<1+2R2
(1+R1）（1+2R2)〈1+3R3
（1+2R2)(1+2R2)〈（1+R1）(1+3R3） (1+2R2)(1+3R3）〈1+5R5
（1+3R3)(1+3R3）〈（1+R1)(1+5R5）
由下式①、②得,先存一年定期再存三年定期,或先存三年定期再存一年定期得到的利息是一样的。
（一、三）Mn(1+R1)(1+3R3)=X ① （三、一）Mn(1+3R3)(1+R1)=X ②
结论 1：由于银行存款没有四年期，那么第四年底所发的奖金应由先存一年定期，再存三年定期,或先存三年定期再存一年定期来实现,从而实现资金最优化利用.
结论 2：银行存款最佳周期为五年。为满足每年发放奖金最多，应满足一年期率息全部用于发放第一年奖金;二年期本息全部发放第二年奖金;三年期本息部分发放第三年奖金，余额再存一年定期全部发放第四年奖金；五年期本息用于发放第五年奖金及余额为M,从而五年实现基金第一次回笼.
一周期最大利息存款方案
投资时间（年初） 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
二．可存款也可购国库券
仍将M元分成n份,分别记作M1、M2、M3……Mn。Mn可作为存款或购买国库券，其利息和用作第n年的奖金,最后一笔除奖金外,还应留下基金本金M［注:该段参考文
投资方案 一个一年期 到期用处 一年到期本息和作为第一年奖金 一个二年期 二年到期本息和作为第二年奖金 一个三年期 三年到期本息和作为第三年奖金 一个一年期与一个三年期 四年到期本息和作为第四年奖金 一个五年期 五年到期后本息和除支出相应的奖金外，余额为M 献1］。
由于国库券在一年内的不定期发行，为保证有国库券是能够机制买上，可以考虑将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期,剩余的时间以活期计息；若早下半年发行国库券，此时半年定期以到期，再以活期存入银行，有国库券时，立刻取出购买国库券，到期时取出，剩余时间再存入活期。购买国库券之前及到期取出之后的两端时间之和为一年,因此购买一个n年期的国库券实际需要n+1年. 购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。
一定数量的资金存储n 年,存期种类相同，任意改变顺序,本息保持不变。再加上以上分析,如果准备购买两年期国库券可以这样想象:先存半年定期，再存1个月的活期,在8月1日购买两年期的国库券，两年后的8月1日取出国库券的本息后，再存5个月的活期，即需要存半年的定期和总共三个月的活期及三个月的定期[注：该段参考文献1]。
据此,下面考虑购买国库券的情况。
1) 第一年和第二年的奖金不能由买国库券来实现，则和前面问题一相同。即：
i. ii.
M1（1+R1）=X M2（1+2R2)=X
2) 3年时使用，如果考虑购买俩年期国库券,则有三个月的活期,三个月的定期和半
年定期及一个二年活期国库券的利息，三年结束时单位资金增长结果：三年定期是优选方案。 i.
单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为： （1+2.25%＊2)(1+0.576％*0。25)(1+1。368％*0.25）（1+1.512%＊0。5）=1.0580
ii.
单位资金存入银行的三年定期,其年利率为： 1+2。016%＊3=1。0605
3) 4年时使用，经分析，购买三年期国库券，三个月定期，三个月活期和半年活期
及一年定期获的利息大于存一个三年定期再转存一个一年定期的利息，因此购买国库券是优选方案。 i.
单位资金购买三年国库券、存入银行三个月活期，三个月定期和半年活期
后的本息为：
(1+2.52%*3)（1+0.576％*0.25)(1+1。368%＊0.25)(1+1。512％*0。5)=1.0888
ii.
单位资金存入银行的四年定期，其年利率为: （1+2。016％＊3）（1+1.584％)=1.0773
4) 5年时使用，经分析，购买三年期国库券，三个月定期，三个月活期和半年活期
及一年定期,投资结束时资金增长小于五年定期存款，则五年存款为最优方案。 i.
单位资金购买三年期国库券，加三个月活期，三个月定期和半年活期及一年定期后的本息为:
（1+2.52%*3)(1+0。576％＊0。25)（1+1.368%*0。25)(1+1。512%＊0.5） (1+1。584%)=1。1063
ii.
单位资金存入银行的五年定期，其年利率为: 1+2。232%＊5=1.1116
5) 6年时使用，经分析，购买五年期国库券，在六年结束后资金增长大于五年定期
存款，则够买国库券为最优方案. i.
单位资金购买五年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为: (1+2。79%＊5）(1+0。576%＊0.25）（1+1.368％＊0。25）(1+1。512%*0。5)=1.1537
ii.
单位资金存入银行的六年定期,其年利率为: (1+2.232％＊5）（1+1.512%)=1.1284 一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期
可获最大利率（%) 1.584 1.800 2.016 2。220 2.232 2.562 结论1:要获得最大的资金增长，应选择一年定期，二年定期，三年定期以及三年国库券和五年国库券。
结论 2:由于没有四年期存款或国库券，那么第四年底所发的奖金应由购买三年国库券实现,从而实现资金最优化利用。
结论3：五年投资最后方案为存款。为满足每年发放奖金最多,应满足一年期率息全部用于发放第一年奖金；二年期本息全部发放第二年奖金；三年期本息全部发放第三年奖金，第四年由购买的三年国库券本息发放第四年奖金；五年期国库券本息用于发放第五年奖金；以此类推,直到第十年本息用于发放第十年奖金及余额为M，从而实现基金合理投资。
M=2000万元，n=10年基金使用总体规划
投资时间(年初） 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 第六年 第七年 第八年 第九年 第十年 投资方案 一个一年期存款 一个二年期存款 一个三年期存款 一个三年期国库券 一个五年期存款 一个五年期国库券 一个五年期国库券,一个一年期存款 一个五年期国库券，一个二年期存款 一个五年期国库券,一个三年期存款 一个五年期国库券，一个三年期国库券，一个一年期存款 到期用处 一年到期本息和作为第一年奖金 二年到期本息和作为第二年奖金 三年到期本息和作为第三年奖金 四年到期本息和作为第四年奖金 五年到期本息和作为第五年奖金 六年到期本息和作为第六年奖金 七年到期本息和作为第七年奖金 八年到期本息和作为第八年奖金 九年到期本息和作为第九年奖金 十年到期后本息和除支出相应的奖金外,余额为M
三．基于八年庆祝的最佳投资模型
如果基金会希望将基金会庆祝年度的资助额在上一年的基础上提高20%,那么需
要对问题一及问题二的模型作一定的修改［注：该段参考文献1］。
方案一：直存款步购买国库券
因基金会要在基金到位后的第八年举行庆祝，所以此年资助金应是其他年度的1.2 倍，相比问题一而言需要作长久的方案，即十年计划。
方案二:即可存款也可购买国库券
在问题三中只涉及到对第八年度的资助金额的提高问题，所以只需将问题而最优方案中的第八年的金额数乘以1。2即可得到本方案的最优情况。
即，将公式八中：M8（1+2.79％*5）(1+0.576%＊0.25)（1+1。368%＊0。25）(1+1.512%＊0.5）（1+1.584%＊2）=X 改为 M8（1+2。79%＊5）(1+0.576%*0.25)（1+1.368％＊0。25）(1+1.512%＊0。5)(1+1.584％＊2）=1。2X.
六、模型的求解
一．只存款你购买国库券模型
由结论1，结论2可得n年的最佳存款方案方程组： ✓ M1+M2+M3+M4+M5=M ✓ M1（1+1.584％）=X ✓ M2（1+1.8%*2）=X ✓ M3（1+2.016＆*3）=X
✓ M4（1+2。016%*3)（1+1。584％）=X ✓ M5（1+2。232%*5)=M+X
据以上公式用Matlab 可以求得n=10年， M = 2000 万元时基金使用的最优结果: （单位:万元)
在用matlab实现时我们需要对上述方程组进行必要的改动： ✓ M1+M2+M3+M4+M5+0X=M ✓ M1（1+1.584％)—X=0 ✓ M2(1+1.8%＊2)—X=0 ✓ M3（1+2.016＆*3）—X=0
✓ M4（1+2。016%*3)(1+1。584％）-X=0
✓ M5（1+2。232%＊5）-X=M MATLAB计算程序及结果见附录一 每年发放资助金：X=43.2
M1=M6=42。5 ;M2=M7=41。7 ；M3=M8=40。8 ；M4=M9=36.9 ;M5=M10=1838。1 。 M=2000万元，n=10年基金使用总体方案（单位：万元）
存1年定存2年定存3年定存5年定取款数额每年发放资期 期 期 期 （本息） 助金 第一年初 42.5 41。7 77.7 1838.1 第一年末 第二年末 第三年末 第四年末 第五年末 第六年末 第七年末 第八年末 第九年末 第十年末
二．可存款也可购国库券
由结论1、结论2、结论3可得n年的最佳方案方程组： ✓ M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10=M ✓ M1(1+1。584％）=X ✓ M2（1+1。8%＊2）=X ✓ M3(1+2.016＆＊3)=X
✓ M4(1+2.52%*3）（1+0。576%＊0.25）（1+1。368％＊0。25)（1+1.512%＊0.5）
=X
✓ M5(1+2。232%*5)=X
✓ M6（1+2.79％＊5）（1+0.576％＊0。25)（1+1.368%＊0。25）(1+1。512％
＊0。5）=X
42.5 42.5 42。5 41。7 77.7 1838.1 43.2 43.2 85.7 43。2 2043。2 43。2 43。2 85。7 43.2 2043.2 43.2 43.2 43。2 43。2 43.2 43.2 43.2 43。2 43.2 43.2 ✓ M7(1+2.79％*5）（1+0。576%*0.25)（1+1。368％＊0.25）（1+1.512％*0。
5) （1+1.584％)=X
✓ M8（1+2。79％*5）(1+0.576%*0。25）(1+1.368％＊0。25）(1+1。512%*0.5)
(1+1。8%*2）=X
✓ M9（1+2。79%*5）(1+0。576%＊0.25)（1+1.368％*0.25）(1+1。512％＊0。
5) （1+2。016＆＊3）=X
✓ M10（1+2。79%*5)（1+0。576％*0.25)（1+1.368％＊0。25）（1+1。512％
＊0.5） （1+2.52％*3)（1+1.584％）=X+M
据以上公式用Matlab可以求得n=10年, M = 2000 万元时基金使用的最优结果: （单位：万元)
在用matlab实现时我们需要对上述方程组进行必要的改动: ✓ M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10-0X=M ✓ M1（1+1。584%)—X=0 ✓ M2（1+1.8％*2）—X=0 ✓ M3(1+2。016＆＊3）—X=0
✓ M4(1+2。52%*3）（1+0.576％*0.25)（1+1。368%＊0.25）(1+1。512％*0.5)-X=0 ✓ M5（1+2.232％*5）-X=0
✓ M6（1+2.79%＊5）(1+0.576％＊0。25）（1+1.368%*0.25)（1+1。512％＊0。
5)—X=0
✓ M7（1+2.79％＊5）(1+0.576%*0.25）(1+1。368%＊0.25）(1+1.512％＊0。
5) （1+1.584%)—X=0
✓ M8（1+2.79%＊5）(1+0。576％*0。25)（1+1。368％＊0。25)(1+1。512％*0。
5) (1+1.8%＊2）—X=0
✓ M9（1+2。79％＊5)(1+0。576％＊0。25）(1+1.368%＊0。25）(1+1.512％*0.5)
（1+2。016&*3)—X=0
✓ M10（1+2。79%*5)（1+0。576％＊0.25)(1+1。368%＊0。25）（1+1.512%＊
0.5） (1+2。52％＊3）（1+1。584%）—X=M MATLAB计算程序及结果见附录二 每年发放资助金:X=46。6
M1=45。8 ;M2=44.9 ；M3=43。9 ；M4=42。8 ;M5=41。9 ；
M6=40.4 ；M7=39.7 ；M8=39.0 ；M9=38.1 ;M10=1623。5 .
M=2000万元，n=10年基金使用总体方案（单位：万元）
Mn 一年 二年 三年 四年 五年 六年 七年 八年 九年 第十年 投资 45.8 44。9 43.9 42。8 41.9 40。4 39。7 39。0 38。1 1623.5 本息 46。6 46。6 46。6 46.6 46.6 46.6 46。6 46.6 46。6 2046.6 三．基于八年庆祝的最佳投资模型
因基金会要在基金到位后的第八年举行庆祝，所以此年资助金应是在其它年的1.2倍。
方案一：直存款步购买国库券
在通本方案实现问题三时，需要对十年计划做整体布局： ✓ M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10=M ✓ M1(1+1。584％)=X ✓ M2（1+1.8％*2)=X ✓ M3（1+2。016&*3）=X
✓ M4(1+2。016％*3）（1+1.584％）=X ✓ M5(1+2。232％＊5）=X
✓ M6（1+1。584%）(1+2。232%*5)=X ✓ M7（1+1.8%*2)（1+2。232%＊5)=X ✓ M8(1+2.016＆*3）（1+2.232%*5)=X
✓ M9（1+2。016%＊3)（1+1.584%）（1+2.232％＊5）=X ✓ M10（1+2.232%*5)（1+2。232％＊5)=M+X
利用matlab软件求解n=10年，M=2000万元是基金使用结果：(单位：万元) ✓ M1+M2+M3+M4+M5+M6+M7+M8+M9+M10+0X=M ✓ M1(1+1。584%）—X=0 ✓ M2（1+1.8％＊2）-X=0 ✓ M3(1+2.016&＊3)-X=0
✓ M4（1+2。016％＊3)（1+1.584%)—X=0
✓ M5（1+2.232%＊5)—X=0
✓ M6（1+1。584%)（1+2。232%*5)-X=0 ✓ M7(1+1。8％＊2）(1+2.232％*5）—X=0 ✓ M8(1+2。016&＊3）（1+2。232%*5)-1.2X=0 ✓ M9(1+2。016%*3)（1+1.584%)（1+2。232%*5)-X=0 ✓ M10（1+2.232％*5)（1+2。232％*5)—X=M
MATLAB计算程序及结果见附录三 每年发放资助金：X=42.4
M1=41。7 ；M2=40。9 ;M3=40。0 ;M4=36.2 ;M5=38。2 ; M6=37.6 ；M7=36.8 ；M8=43.2 ；M9=32。5 ；M10=1652。9 .
M=2000万元，n=10年基金使用总体方案（单位:万元）
Mn 一年 二年 三年 四年 五年 六年 七年 八年 九年 第十年 投资 41.7 40。9 40.0 36。2 38.2 37.6 36。8 43.2 32。5 1652。9 本息 42.4 42.4 42。4 42。4 42。4 42.4 42.4 50。88 42。4 2042.4
方案二：即可存款也可购买国库券
将公式八中：M8（1+2。79%＊5)（1+0。576%＊0.25）(1+1。368％*0.25）
(1+1.512%*0.5）（1+1。584％*2）=X 改为 M8（1+2。79%*5)（1+0。576％＊0。25）（1+1。368%*0.25)（1+1.512％*0。5）(1+1.584%*2）=1.2X。
利用matlab软件求解n=10年,M=2000万元是基金使用结果:(单位：万元） MATLAB计算程序及结果见附录三 每年发放资助金：X=45.7
M1=45.0 ；M2=44。1 ;M3=43。1 ；M4=42.0 ；M5=41.1 ; M6=39.6 ；M7=39.0 ;M8=45.9 ;M9=37。4 ;M10=1622.8 .
M=2000万元，n=10年基金使用总体方案（单位：万元)
Mn 一年 二年 三年 四年 五年 六年 七年 八年 九年 第十年 投资 45.0 44.1 43。1 42.0 41。1 39。6 39.0 45。9 37.4 1622。8 本息 45。7 45.7 45。7 45。7 45。7 45.7 45.7 54。84 45.7 2045。7
七、结果分析
1） 模型在建立过程中充分考虑到基金会基金的特殊性，得出最佳的分配方案。 2） 利用Matlab软件编程进行求解,所得结果误差小，数据准确合理。 3) 利用优化组合法，分组比较，得出一段年限内最大的平均利率。 4) 该模型实用性强，对现实有很强的指导意义.
5) 购买国库券时,证明了发行日期对利率的影响很小,可以忽略不计，使问题简
化。
八、参考文献
1. 朱道元。数学建模案例精选。科学出版社。2003年3月第一版 2. 李桂成.计算方法。电子工业出版社。2009年2月第一版
九、附录部分
Matlan方程求解程序[注：该段参考文献2]：
附录一:运行程序及结果：
附录二:
运行程序及结果：
附录三:
方案一运行程序及结果：
方案二运行程序及结果：
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