一、 教材分析
《立方根》是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级〔上〕第二章《实数》第三节．本节内容安排了1个学时完成．主要是通过对立方根与平方根的比拟与归类，探索立方根的概念、计算和简单性质．因此，除了具体的知识技能〔如知道一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根运算，掌握求一个数的立方根的方法和技巧〕外，还需要昂学生感受类比的思想方法，为今后的学习打下根底．
二、学情分析
在学习了平方根概念的根底上学习立方根的概念，学生比拟容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性〔实数范围内〕的讨论上．在学生对数的立方根概念及个数的唯一性有了一定理解的根底上，再提出数的立方根与数的平方根有什么区别，学生就容易解决问题．
三、目标分析 教学目标
知识与技能目标
1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算． 3．了解立方根的性质．
4．区分立方根与平方根的不同． 过程与方法目标
1．经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些根本方法和策略． 2．在学习了平方根的根底上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想．
3．通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识． 情感与态度目标：
1．在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．
2． 学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值． 教学重点
立方根的概念及计算． 教学难点
立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别．
四、教法学法
1．教学方法：类比法． 2．课前准备：
教具：教材，软件Microsoft PowerPoint 2021年，电脑． 学具：教材，练习本．
五、教学过程
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反应，稳固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究．
第一环节：创设问题情境： 内容：
某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
〔球的体积公式为v＝R，R为球的半径〕
提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的
答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．
意图：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望． 效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，有很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于4，从而顺利引入新课．
第二环节：复习引入、类比学习
内容：
提问：〔1〕什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a〔a≥0〕的平方根?
〔2〕正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根
是什么？
〔3〕平方和开平方运算有何关系？
〔4〕算术平方根和平方根有何区别和联系？
强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.
〔5〕为了前面场景的问题中，需要引出一个新的运算，你将如何定义这个新运算？
2
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根
〔也叫做二次 方根〕.
3
2．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a,那么这个数x就叫做a的立方根
〔cube root, 也 叫做三次方根〕．如：2是8的立方根，－3是－27的立方根，0是0的立方根．
意图：学生通过回忆上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时
突出平方根与立方根的比照，以利于弄清两者的区别和联系．
效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生类比学习法学习立方根知识.
第三环节：初步探究 内容：
1做一做：怎样求以下括号内的数？各题中什么数？求什么数？
3433（ ）＝0.001 ； 〔2〕〔1〕（ ）＝－3273（ ）＝0. ； 〔3〕
64 意图：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法． 2议一议：
〔1〕正数有几个立方根？ 〔2〕0有几个立方根 〔3〕负数呢？
意图：提问，是为了指出平方根与立方根的比照，以利于弄清两者的区别和联系．
3在上面的根底上明晰以下内容，对知识进行梳理
〔1〕每个数a都只有一个立方根，记为“3a〞，读作“三次根号a〞．例如x=7时，x是
3
7的立方根，即37=x；与数的平方根的表示比拟，数的立方根中根号前没有“±〞符号，但根指数3不能省略．
〔2〕正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
〔3〕求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．
效果：通过亲自运算、探究学习立方运算的逆运算，培养了学生的探究能力，初步掌握立方根的概念．
第四环节：尝试反应，稳固练习
内容：
例1求以下各数的立方根： 〔1〕－27； 〔2〕
83 ； 〔3〕3 ； 〔4〕0.216 ； 〔5〕－5. 12583（－3）＝－27，所以－27的立方根是－3，即3－27＝－3； 解：〔1〕因为
828282＝； 〔2〕因为，所以的立方根是，即3125512551255 〔3〕因为（）＝33233327333＝3，所以3的立方根是，即33＝；
828882
3（0.6）＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即30.216＝0.6； 〔4〕因为
〔5〕－5的立方根是3－5. 例2 求以下各式的值：
〔1〕38; 〔2〕30.064; 〔3〕338； 〔4〕1259．
333解：〔1〕38=322； 〔2〕30.064=30.40.4；
8 〔3〕3=312522； 〔4〕
5539=9．
33 随堂练习
1．求以下各数的立方根：
30.125；364； －364；353； 16.
332．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？
意图：例1着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言表达和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法．例2那么稳固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质．
效果：学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，假设学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，如：
338＝－2＝－2； 3＝27＝3； 8＝（2）＝8.引导学生观察被开方数、根指数及运算
3333333结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；假设学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．
第五环节：深入探究 想一想：
〔1〕3a表示a的立方根，那么
a等于什么？
333a3呢？
〔2〕3－a与－3a有何关系？
意图：明晰
a =a，333a3=a。 说明：假设学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；假设没有
33得出结果，可以引导学生分析，如果x=a,那么x就是a的立方根，即x=3a,所以x=
a=a,
3333同样，根据定义，a是的a三次方，所以a的立方根就是a, 即3a3a，3－a=－3a．
第六环节 课时小结：
内容1：提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的答复，得出以下内容： 1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方
根．
2．在学习中应注意以下5点：
〔1〕符号3a中根指数“3〞不能省略；
〔2〕对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根； 〔3〕平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根； 负数没有平方根，但却有一个立方根；
3
〔4〕灵活运用公式：(3a)=a, 3a3a，3－a=－3a；
〔5〕立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一
个数是不是另一个数的立方根． 意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．
效果：通过小结，学生进一步加深了对类比学习方法的感受，对所学的知识进行了梳理，学习更有条理性．
内容2：回忆引例
某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？ 如有时间，学生学力许可，还可以安排学生探究以下问题：
1．回忆上节课的内容：2x18＝0，求x的值．
2．求以下各式中的x．
3345
(1)8x+27=0；(2)(x－1)－0.343=0；(3)81(x+1)=16；(4)32x－1=0．
意图：回忆引例，使得教学环节更完整，同时表达了数学的实用价值．安排有层次的探究问题，可更好地调动不同学生的学习热情，让学生通过练习解决有关问题，培养学生综合解决问题的能力．
第七环节 作业布置 习题2.5
六、教学设计说明
〔1〕关注类比思想的渗透，关注学习方法的指导
类比是在两类不同的事物之间进行的比照，在找出假设干相同或相似点之后，推测在这两类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式．当然，类比的结果是猜想的，不一定可靠，但它作为一种思考问题的方法，可以发现数学结论，可以沟通数学知识，可以解决生活中的一些实际问题，具有发现的功能，有助于开展学生的创新精神．因此，学习中要注意渗透这样的思维方式，实际上，类比学习法让学生省时省力，在学习新知的同时稳固已学的知识，通过新旧比照更好地掌握知识．为此，本节课让学生应用类比法顺理成章的学习立方根的概念、性质、运算．同样在学生以后的数学学习中，可以通过三角形类比四面体、通过圆类比球…… 〔2〕关注学生个体差异，关注学生探究过程
根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化．在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平，关注的是学生对“议一议〞、“想一想〞、“比一比〞的探究情况和学生反应练习的完成情况，教师要关注学生是否理解立方和开立方是互为逆运算的，是否会用根号正确的表示一个数的立方根。教学过程中，教师应给足学生思考和计算的时间使学生用原有知识自我建构的过程，这是一个学生自主学习、探究学习的过程，充分开展这样的活动，可以使学生的个性得到张扬，探究能力得到培养。课堂上，教师对于学生的回容许给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信，充分发挥评价的教育功能． 〔3〕需要说明的几个问题：
在第四教学环节中的例题1中补充了带分数的立方根求法,在教学中只要讲明将带分数转化为假分数,再求立方根的方法,学生就容易掌握；例题2那么为第五环节补充立方根性质的3个公
3
式( (3a)=a, 3a3a，3－a=－3a)打下了根底,假设学生根底较差,教师也可删去这３个
2公式；第六环节中的探究与思考,将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习，教师在教学过程中可根据学生的学习情况确定是否补充这局部内容，也可留给学生课后思考，分层要求，调动不同学生的学习热情．
第五章 反比例函数
一、学生知识状况分析
通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会
作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法.
教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.
二、教学任务分析
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此根底上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。
教学目标 (一)知识与能力
1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念. 2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.
3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.
(二)过程与方法
1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.
2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.
3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中开展学生的合作意识和交流能力.
4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题. (三)情感与价值观
通过本章内容的回忆与思考，开展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，开展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点
本章知识的网络结构体系. 反比例函数的概念.
会作反比例函数的图象，并掌握其性质. 反比例函数的相关应用.
教学难点
利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质. 反比例函数的相关应用.
教学方法
自主探究、合作交流.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，稳固新知；第四环节：交流探讨 、收获小结；第五环节：课后作业
第一环节：复习提问，引人入胜
活动目的 给学生设置疑问，激发学生的思考和回忆，明确本节课的学习任务。 活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容? 学生答复预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。 . 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。 .
第二环节：知识串联，形成体系
活动目的：引导学生对本章的所学的根底知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系， 将根底知识网络化，形本钱章知识的框架结构体系。
活动过程： 〔一〕本章知识结构
引导学生构造本章知识结构图。 (可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流)
本章内容框架
活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.
考前须知：1. 应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导； 2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。 （二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念. 学生答复预设：
例：当三角形的面积是16 cm时，它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数. 解：a＝
2
32. hk(k是常数，k≠0)的形式,那么称y是 x的反x 在上式中，任意给定h一个值，相应地就确定了一个a的值.因此a是h的函数。所以一般地，如果两变量x，y之间的关系可以表示成y=比例函数.
〔三〕说说函数y＝
22和y＝-的图象的联系和区别. xx 联系：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交；
(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形. (4)虽然y＝
22和y=-的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作xxx22的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-的两支曲线xx轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2. 区别：(1)它们所在的象限不同，y=在第二象限和第四象限. (2)y＝
22的图象在每个象限内，y随x的增大而减小；y=-的图象在每个象限内，y随xxx的增大而增大.
〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质
画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.
反比例函数图象的性质有〔课件演示〕： 1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.
2.位置：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限. 3.增减性：当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大. 4.因为在y=
k (k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴x相交，也不可能与y轴相交.
5.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2那么S1＝S2
6.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.
第三环节：例题精练，稳固新知
活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。 活动过程：课件展示
例一
1.以下函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些 ( )
170.210 (3)y= (2)y= (4)y=-
100x3xxx32.在函数y＝的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩
x(1)y=形面积是多少?
分析：根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y＝
1中，形式虽然和反比例函数的形式不相3x1同，但可以化成y=3的形式。
x答案：1.图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有(3)(4).
2. S=｜k｜=3. 例二
1，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa，倒过来放，对桌面的压强是多少? 42
，当体积v＝5米ρ＝1.98千克／米，求(1)ρ与v的函数关系式；(2)当v=9米时，CO2
333
的密度.
分析：压强p、受力面积S、压力F三者之间的关系为p=定的，由于受力面积不同，因此压强也不同. 质量m、密度ρ、体积v三者之间的关系为：ρ=
F，因为是同一物体，所以F是一Sm33
，由v=5米，ρ=1.98千克／米,可知v质量m，实际代表反比例函数中的k，求出m，就确定了反比例函数的关系式. 答案：
解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p1＝强p2＝
F＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压SF4F＝800Pa. 1SS43
3
2
的质量为m千克，将v=5米，ρ=1.98千克／米代入公式ρ＝
m中，得m=9.9千克. v 故所求ρ与v间的函数关系式为ρ＝
(2)当v＝9米时，ρ=
3
9.9. v9.93
＝1.1(千克／米)。 v课堂练习 课件演示： 1.对于函数y=
22，当x>0时，y_______0，这局部图象在第______象限；对于y＝-，当xxx<0时，y____0，这局部图象在第_____象限.
10的图象在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______. xk3.根据以下条件，分别确定函数y＝的表达式
x2.函数y=
(1)当x=2时，y＝-3； (2)点(-,12k1)在双曲线y＝上.
x3 答案：1.> 一、三 < 二、四 2.一、三 减小 3.(1)y=
16 (2)y=；
6xx考前须知：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，防止替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。
第四环节：交流探讨 收获小结
活动内容： 教师引导学生进行回忆和整理，然后通过师生交流和生生交流，答复以下问题：本节课我们都一起回忆和复习了哪些内容？
交流预设： 1.反比例函数概念
2.反比例函数图像的做法及性质 3.反比例函数在生活中的应用 4.做题时要注意数形结合 5.具体题目的解题思路
活动目的：使学生通过再次的回忆和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。
第五环节：课后作业 〔一〕复习题 〔二〕活动与探究
反比例函数图象与矩形的面积 假设点A是反比例函数y=
k (k≠0)图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，ACxk (k≠O)图象上的一点，由P点分别向x轴，y轴引垂线，x垂直于y轴，垂足为C,那么矩形面积SABOC=｜k｜.如图(1).
1.如图(2)，P是反比例函数)y=
得阴影局部(矩形)的面积为3，那么 这个反比例函数的表达式______.
2. 如图〔3〕过双曲线y=
2上两点A、B分别作x轴，y轴的垂线，假设矩形ADDC与矩形xBFOE的面积分别为S1,S2,那么S1与S2的关系是_____.
答案：
1.解：由题意得｜k｜=3.
又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k＝-3. ∴k=
3. x 2.解：由题意得 S1=S2=｜k｜=2.
〔三〕补充练习(课件展示〕
〔四〕反比例函数与正比例函数图象性质比拟分析
关系式 正比例函数y=kx(k≠0) K＞0 y yk (k为常数，且k≠0) xK＜0 K＜0 y K＞0 图象 0 x 0 x 图象经过点 ，图象经过点 ，双曲线的两个分支分别双曲线的两个分支分别性与第 象限。y与第 象限。y位于第 象限；位于第 象限；质 随着x的增大随着x的增大而 。 在 ，y随着x的增在 ，y随着x而 。 大而 。 的增大而 。
四、板书设计
回忆与思考
一、本章知识结构 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业
五、教学反思
本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。
函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。
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