电大高等数学基础考试答案完整版

一、单项选择题

1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A.

f(x)(x)2，g(x)x B. f(x)x23，g(x)x

x21 C.f(x)lnx，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)

x11-⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. yx

设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（D ）对称．

A. yx B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 exex.函数y2的图形关于（ A ）对称．

(A) 坐标原点 (B) x轴 (C)

1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．

y轴 (D) yx

D.

axaxA. yln(1x) B. yxcosx C. y22yln(1x)

下列函数中为奇函数是（A ）． A.

yx3x B. yexex C. yln(x1) D. yxsinx

A

下列函数中为偶函数的是（ D ）．

y(1x)sinx B yx2x C yxcosx D yln(1x2)

2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．

x21 B. limln(1x)0 A. lim2xx2x0sinx10 D. limxsin0 C. limxxxx2-2当x0时，变量（ C ）是无穷小量．

sinx11A. B. C. xsin D. ln(x2)

xxx1sinxxx当x0时，变量（ C ）是无穷小量．A B C e1 D 2

xxxsinx1x.当x0时，变量（D ）是无穷小量．A B C 2 D ln(x1)

xx下列变量中，是无穷小量的为（ B ）

11x2 Asinx0 B lnx1x0 Cexx D.2x2

xx4f(12h)f(1)（ D ）． 3-1设f(x)在点x=1处可导，则limh0hA. f(1) B. f(1) C. 2f(1) D. 2f(1)

f(x02h)f(x0)（ D ）． 设f(x)在x0可导，则limh0hA f(x0) B 2f(x0) C f(x0) D 2f(x0)

设

f(x)在x0可导，则limf(x02h)f(x0)（ D ）．

h02hA. 2f(x0) B. f(x0) C. 2f(x0) D. f(x0)

x0设

f(x)ex，则limf(1x)f(1)11（ A ） A e B. 2e C. e D. e

x2413-2. 下列等式不成立的是（D ）．

1dxdx D.lnxdxd()

x2x11dx下列等式中正确的是（B ）．A.d( B. )arctanxdxd()x1x2x2xx C.d(2ln2)2dx D.d(tanx)cotxdx

A.exdxdex B sinxdxd(cosx) C.

f(x)x24x1的单调增加区间是（ D ）．

A. (,2) B. (1,1) C. (2,) D. (2,)

4-1函数函数.函数

yx24x5在区间(6,6)内满足（A ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升

yx2x6在区间（－5，5）内满足（ A ）

A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升

. 函数

yx22x6在区间(2,5)内满足（D ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升

5-1若

f(x)的一个原函数是

1，则f(x)（D ）． A. lnxx B. 1x2 C.

12 D. 3xx

.若F(x)是 AC5-2若

f(x) 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

xaf(x)dxF(x)F(a) B

babF(x)dxf(b)f(a)

f(x)F(x) Df(x)dxF(b)F(a)

af(x)cosx，则f(x)dx（ B ）．

A. sinxc B. cosxc C. sinxc D. cosxc 下列等式成立的是（D ）．

f(x)dxf(x) B. df(x)f(x)

df(x)dxf(x) C. df(x)dxf(x) D. dx A.

d11233323f(x)xf(x)xf(x)dxf(x)f(x) （ B ）． A. B. C. D. dx33d1122xf(x)xf(x)dxf(x)dxf(x) D xf(x2)dx （ D ） A B C dx221f(x)dx（ B ）． ⒌-3若f(x)dxF(x)c，则x1F(x)c A. F(x)c B. 2F(x)c C. F(2x)c D. x1xxxdx 补充： ef(e)dx F(e)c, 无穷积分收敛的是 21xxx 函数f(x)1010的图形关于 y 轴 对称。

二、填空题

⒈函数f(x)函数

x29ln(1x)的定义域是 （3，+∞） ．

x3x4x的定义域是 （2，3） ∪ （3，4 ]

ln(x2)1函数f(x)ln(x5)的定义域是 （－5，2）

2xx21,x0若函数f(x)，则f(0) 1 ．

xx02,1x2若函数f(x)(1x),x0，在x0处连续，则k e

x0xk,sin2xx0.函数f(x)x在x0处连续，则k 2

x0kx1,x0函数y的间断点是 x=0 ．

sinx,x0x22x3函数y的间断点是 x=3 。

x31函数y的间断点是 x=0

1ex3-⒈曲线f(x)x1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 ．

y曲线曲线

．

f(x)x2在(2,2)处的切线斜率是 1/4 ．

f(x)ex1在（0，2）处的切线斜率是 1 ．

f(x)x31在(1,2)处的切线斜率是 3 ．

π

3-2 曲线f(x)sinx在(,1)处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0

2

.曲线

曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1

24.函数yln(1x)的单调减少区间是 （－∞，0 ） ．

2f(x)ex的单调增加区间是 （0，+∞） ．

2.函数y(x1)1的单调减少区间是 （－∞，－1 ） ．

2.函数f(x)x1的单调增加区间是 （0，+∞） ．

函数 函数5-1dyex22的单调减少区间是 （0，+∞） ．

xedx

exdx

2 ． .

d22sinxsinxdx ． dx(tanx)dx tan x +C ．

若f(x)dxsin3xc，则f(x) －9 sin 3x ．

1x31dedxln(x1)dx 0 5-2 (sinx)dx 3 ．  0 ．

1x2132dx135下列积分计算正确的是（ B ）．

A

11(ee)dx0 B(ee)dx0 Cxdx0 D |x|dx0

111xx1xx121三、计算题

（一）、计算极限（1小题，11分）

（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。 （2）利用连续函数性质：

f(x0)有定义，则极限limf(x)f(x0)

xx0类型1： 利用重要极限 limsinxsinkxtankx1 ， limk， limk 计算

x0x0x0xxxsin6xsin6x6 x1-1求lim． 解： limsin6xlimx0sin5xx0sin5xx0sin5x5xtanxtanx1tanx11 解： limlim1

x03xx03x3x0x33tan3xtan3xtan3x1-3 求lim 解：lim=lim.3133

x0x0x0xx3xsin(xa)xa1， lim1 化简计算。 类型2： 因式分解并利用重要极限 limxa(xa)xasin(xa)1-2 求 limx21x21(x1).(x1)1(11)2 2-1求lim． 解： lim=limx1sin(x1)x1sin(x1)x1sin(x1)sinx1sin(x1)sin(x1)111limlim.12-2lim 解：

x1x1x1(x1)(x1)112x21x21x24x3(x3)(x1)x24x3limlim(x1)2 2-3lim 解： limx3sin(x3)x3x3x3sin(x3)sin(x3)类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限

x26x8x26x8x22(x4)(x2)lim 3-1 lim2 解： lim2=limx4x5x4x4x5x4x4(x4)(x1)x4x13x3x2x2x6x2x6x25lim3-2 limlimlim x3x2x12x3x2x12x3x3x4x3x47x23x2x23x2(x2)(x1)x113-3 lim 解 limlimlim 22x2x2x2x2x4(x2)(x2)x24x412xsinxsin1x21其他： limlim2 lim20， limx0x0x0x01sinxsinxx11x2222x6x5x2x6x2x22lim2lim21， lim2lim2 xx4x5xxx3x4x5x3x3tan8xtan8xx.82 （0807考题）计算lim． 解： lim=limx0sin4xx0sin4xx0sin4x4xtan8xsinxsinx1sinx1lim ． 解 limx02xx02xx02x2x22x3(x1).(x3)1(13)4 （0707考题.）lim=limx1sin(x1)x1sin(x1)（0801考题. ）计算lim（二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）

（1）利用导数的四则运算法则 (uv)uv (uv)uvuv

（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式 类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。

1-1

y(xx3)ex

13133x333xxxx 解：y＝x23ex23ex2ex23ex2x23e

2221-2 ycotxxlnx

22222 解：y(cotx)(xlnx)cscx(x)lnxx(lnx)cscx2xlnxx

x1-3 设yetanxlnx，求y．

11xxxxx2解： y(etanx)(lnx)(e)tanxe(tanx)etanxesecx

xx类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1

ysinx2lnx，求y 解：y(sinx2)(lnx)2xcosx21 xcosexsinx2，求

x2xx22xx2解：y(cose)(sinx)sine.(e)cosx.(x)esine2xcosx

555x55x)ln4x5e5x 2-3 ylnxe，求， 解：y(lnx).(ex2-2 y类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 y 。 解：y(ex)cosxex(cosx)2xexcosxexsinx yecosxx其他：y2，求y。

xcosx(cosx).xcosx.(x)xsinxcosxxx)2xln22ln2 解：y(2)( 22xxxsinx2sinx2sinxsinx，求y 解：y(e)(sinx)ecosx2xcosx2 0807.设yex2cosx，求

2222y 解：y(x)exx(ex)ex2x2ex sinxx2，求 解：yesinx.(sinx)(x2)cosxesinx2x 0707.设ye1xxxxx0701.设ylnxcose，求 解：y(lnx)sine.(e)esine

x0801.设

，求

（三）积分计算：（2小题，共22分） yxex2222211dxd() 2xx11coscosxdx 解：xdxcos1d(1)sin1c

计算x2xxxx211sinsinxdxsin1d(1)cos1c xdx． 解： 0707.计算x2xxx2x凑微分类型1：ee10701计算2dx． 解： 2dxexd()exc

xxx1dx2dx 凑微分类型2：x.计算

1x1x11cosx0807.计算

xsinxxdx． 解： dx． 解：cosxxsinxxdx2cosxdx2sinxc

dx2sinxdx2cosxc

0801.计算

exxdx 解：exxdx2exdx2exc 11， dxdlnxxxdxd(alnx) 11dlnx1计算dx 解：dxduln|lnx|c

xlnxxlnxlnxuee2lnxe2lnxe15.计算dx 解： dx(2lnx)d(2lnx)(2lnx)2

111xx221凑微分类型3：5 定积分计算题，分部积分法 a11a11xa11a1aa1类型1：xlnxdxlnxdxxlnxxdxlnxxc 2a1a1a1a1(a1)e112122计算 解： a1， xlnxdxlnxdxxlnxxc xlnxdx1224elnxlnx111计算 解： ， dxdxlnxd()lnxc a2x21x2xxxelnx1lnxdx 解：a，dx2lnxdx2xlnx4xc 计算12xxelnxee1xdx=21lnxdx(2xlnx4x)12e4

0807

e1e3333e2e242xlnxdxlnxd x2(x2lnxx2)e24

19313991313e2311e3lnxdx(xlnxx)e 1311939911ax1axaxax 类型2 xedxxd(e)xe2ec aaa11xxx1x（0801考题） xde(xee)1 0xedx001111类型3： xsinaxdxxcosaxcosaxdxxcosax2sinaxc aaaa0707

x2lnxdx 四、应用题（1题，16分） 类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 hr2l2

222圆柱体的体积公式为 Vrhπ(lh)h

22求导并令 Vπ(l3h)0

得h2l 36l，并由此解出rl． 3363l，高hl时，圆柱体的体积最大． 即当底半径r33类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。

2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V表面积为S.r2.h,h2Vr

V.r2

2πr22πrh2πr2S4πr2Vr2， 由S0得r3V2π，此时h2r34Vπ。

由实际问题可知，当底半径r3V2π与高h2r 时可使用料最省。

一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为

r，高为

h，则无盖圆柱形容器表面积为 Sπr22πrhπr22Vr，令

S2πr2VV3， 得 0r,hr， πr2由实际问题可知，当底半径r3Vπ与高hr 时可使用料最省。

Vx22-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题） 解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为

表面积 令

y，由已知x2hV32，h，

yx24xhx24Vx，

4VV3x2V640h，得， 此时=2 x4,22xx由实际问题可知，x4是函数的极小值点，所以当x4，h2时用料最省。 y2x欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。 类型3 求求曲线曲线

y2kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短． y2kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L(xa)2y2(xa)2kx

L2(xa)k0， 2x2ak

3-1在抛物线

y24x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短．

解：设所求点P（x，y），则满足

y24x，点P 到点A 的距离之平方为

令L2(x3)40，解得x1是唯一驻点，易知x1是函数的极小值点， 当x1时，y2或y2，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2） y22x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． 3-2求曲线解：曲线

y22x上的点到点A（2，0） 的距离之平方为L(x2)2y2(x2)22x

令L即曲线

2(x2)20，得x1， 由此y22x2， y2 yx2上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。

yx2上的点到点A（0，2）的距离公式为 dx2(y2)22

y22x上的点（1，2）和（1，2）到点A（2，0）的距离最短。

08074 求曲线

解： 曲线

2

y(y2)2

d与d在同一点取到最大值，为计算方便求d的最大值点，

63

，并由此解出x，

22

63632,）和点（,）到点A（0，2）的距离最短 即曲线yx上的点（

2222令 (d2)0得y