考试试题D

一、判断题。在每小题后面的小括号内打“√”号或“×”号，并简要说明理由. （每

小题5分，共20分）

1．若A20,则A0. （ × ）

2. 设A是mn矩阵，且r(A)r，则在A中不存在等于零的r阶子式.

（ × ）

3．若1,2,,r为线性方程组AX0的基础解系，则与1,2,,r等价的向量组

也为此方程组的基础解系。 （ × ）

4． 设a,b,c是互不相等的数，则向量组

(1,a,a2,a3)，(1,b,b2,b3)，(1,c,c2,c3)

是线性无关的。 （ √ ）

二、单项选择题（每小题4分，共20分）

1. |A|2,且A为五阶方阵，则|2A|等于（C ）

A．4 B．4 C．64 D．64

2. 设A,B都是n阶矩阵，则(AB)2A22ABB2的充分必要条件是（ C ） A．AE B． B0 C．BAAB D． AB

3．设非齐次线性方程组AXb的两个不同解为1,2，它的导出组的一个基础解系为1,2，则线性方程组AXb的通解X=（ B ）(其中k1,k2为任意常数)。

11A.k11k2(12)(12)； B. k11k2(12)(12)； 2211C.k11k2(12)(12)； D.k11k2(12)(12).

22 4. 设A,B均为n(n2)阶方阵，则必有（C ）

A. |AB||A||B|； B. ABBA；

C. |AB||BA|； D. (AB)1B1A1 5. 设A为四阶方阵，且A的行列式|A|0，则A中（C ）

A．必有以列元素全为零；

B．必有两列元素对应成比列；

C．必有一列向量是其余列向量的线性组合; D．任一列向量是其余列向量的线性组合.

三．(10分)求矩阵X满足

12解：

14X071121122401011

111114211三.X022274011101161286606

1214742111212214016222

四. (15分)设

(1,3,3)T,1(1,2,0)T,2(1,a2,3a)T,3(1,b2,a2b)T 试讨论a,b为何值时

（1）不能用1,2,3线性表示；

（2）可由1,2,3唯一地表示，并求出表示式；

（3）可由1,2,3表示，但表示式不惟一，并求出表示式.

解：问题转化为方程组求解问题

x1x2x312x1(a2)x2(b2)x33 3ax(a2b)x323增广矩阵

11111111A2a2b230ab103aa2b300ab0 （1）a0时,(若b=0则R(A)1,R(A)2,若b0则R(A)2,R(A)3) 方程组无解，即不能用1,2,3线性表示

（2）a0,ab0时，R(A)R(A)3，方程组有唯一解，即可由1,2,3唯一地表示，求表示式：

1111110110011a1A0ab10a01010a00ab000100010 1(11)1aa2

（3）a0,ab0时，R(A)R(A)2，可由1,2,3表示，但表示式不惟一，求表示式：

111110011aA0aa10111a

000000001(11)(1aak)2k3其中k为任意常数。

五．(10分)设a,b,c是互异的实数，证明：

11bb31c0的充要条件是abc0. c3 aa3

六．证明题(10分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax2by3c0,l2: bx2cy3a0, l3: cx2ay3b0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为abc=0. 证明:必要性

由l1,l2,l3交于一点得方程组

ax2by3c0bx2cy3a0 有解 cx2ay3b0a故 R(A)R(A)b2b3c1bcc1b由于12c3a0(abc)1ca0 2a3b1abc222ca12[(ba)(cb)(ac)]0 1ab所以abc0

充分性：abc0b(ac)

所以

a2b2(acb2)2[ac(ac)2][a2c2(ac)2]0 b2cR(A)R(A)2,因此方程组

ax2by3c0bx2cy3a0 有唯一解，即l1,l2,l3交于一点 cx2ay3b0

七． (15分)设向量1,2,3,4线性无关,且

11234,21234,31234,41234 证明向量组1,2,3,4线性无关.

11111111七.1,2,3,41,2,3,41111111111111111设PP0,P可逆111111111,2,3,41,2,3,4P1即1,2,3,4可由1,2,3,4线性表示,向量组1,2,3,4与1,2,3,4等价.由等价的向量组秩相等,所以1,2,3,4线性无关