例谈排列组合中的分组分配问题

1.编号分组：

（1）相同元素 编号分组

“编号分组”的意思是：即使分出来两个或多个组中元素的个数相同，仍然看成不同的组 例题1：10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。问有几种放法？

方法（隔板法）：10个相同小球排成一行，中间有9个空，将4块隔板，插入从这9个空中任意选取的4个空，就得到5组小球，再放入5个不同的盒子，有. 种分组方法。 （2） 不同元素 编号分组 分成两种情况：

(i)非均匀编号分组（每组元素个数不同）

例题2：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？

方法：分步选人，分别选各组人数，然后要乘以组数的全排列。有 .种 (ii)均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）

例题3：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动，问有几种安排方法？ 方法：分步选人，分别选各组人数。但是，由于有两个组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。要除以元素相同的2个组的组数的全排列 . ，选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列. ，即有 . 种。 2.不编号分组：

与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数的元素，它们就被视为相同的组。在这里，由于组已经没有编号了，如果要放进组里面的元素再不可区分，那问题就变得没什么意义，而且很简单了。比如：三个相同的球，放入两个相同的盒子里面，只有一种放法，那就是其中一个盒子放一个球，另外那个盒子放剩下的那两个球。所以用列举法就可以了。在这里主要讨论不同元素的情况。

（1）不同元素，不编号不均匀分组。

例题4：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加相同（在这里体现“不编号分组”）劳动，问有几种安排方法？

方法：和“不同元素，编号不均匀分组”相比，不必乘以组数的全排列，因为三个组参加的是相同的劳动（这里“相同”的言下之意是：劳动内容相同，又是同时去的，如果不同时，还要当作编号分组）有 . 种

（2）不同元素 不编号均匀分组（部分均匀、全部均匀）

例题5：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加相同劳动，问有几种安排方法？

方法：要除以相同元素个数的那几个组的组数的全排列.，但是不必乘以总组数的全排列。有 .

三 分配问题常见形式及处理方法： １定向分配问题

例6 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分步计数原理，第一步分给甲，第二步分给乙，第三步分给丙，则有： .

２、不定向分配问题

例7 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 每人两本

(2) 一人一本、一人两本、一人三本 (3) 一人四本、一人一本、一人一本

分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，相同的书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此将分组方法数再乘以 .＝６ ，即 .

结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。 变式训练2：

六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？

分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？

有三类分法：(1)每组两本；(2)分别为一本、二本、三本；(3)两组各一本，另一组四本。由以上变式训练1的求解可知这三类分组方法数，根据加法原理，分组法共是15 + 60+15 =90(种)。再考虑排列，即再乘以 .。所以一共有540种不同的分法。