隐函数图像的叠加原理

隐函数图像的叠加原理

作者：吴金鹏

来源：《神州·下旬刊》2019年第06期

摘要：通过对部分隐函数方程及其图像的研究，对简单的二元隐函数进行分解，得到了一些在隐函数局部互不干涉的隐函数方程。并由这些方程得到了局部为n边形的方程，以及扇形方程。最后利用求偏导的思想将部分二次、三次、四次隐函数方程的分解局部化，以便更直观的展现隐函数图像。

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关键词：隐函数;互不干涉;分解局部化;隐函数图像 故事是从一个隐函数方程偶然得来的。 3x2+4xy+y2=0

配方、开方后可得y=3x或y=x。所得结果竟然是两条不同的直线。其实在此之前，我们也遇到过类似的情形。如由双曲线方程求其渐近线方程，若双曲线方程为，求其渐近线方程，只需将等式右端变为零即可得到其渐近线方程。当然继续对双曲线渐近线方程分解。 （bx-ay）·（bx+ay）=0①

①式等价于bx-ay=0与bx+ay=0，分别为双曲线的两条渐近线方程。从①中可以看出，bx-ay=0与bx+ay=0是互不影响的两个方程。若在①左端的基础上再乘一个x-y，若a≠b，则该方程会形成一个三角形部分。

例：（2x-y）（x+y）（2x+y+1）=0，试画出该方程的图像。

继续在方程左端乘上任意的f（x，y）=ax+by+c，且任意一项的斜率均不等。只要加以限定范围，方程就可以表示出任意的n边形。由此引出以下定理。

定理：若f1（x，y）=0，f2（x，y）=0，…fn（x，y）=0均为线性方程，且斜率不同，则F（x，y）=f1（x，y）·f2（x，y）…fn（x，y）=0，在定义域内为封闭图形即为二维任意n边形的方程。

当然我们也不必局限于线性方程，也可以非线性。例如我想把这个图形用方程表示出来： 定义：若f1（x，y）=0，f2（x，y）=0，…fn（x，y）=0为任意隐函数方程，则F（x，y）=f1（x，y）·f2（x，y）·…fn（x，y）=0称为二维分立方程。

由于分立方程的图像是每个组成项的图形直接组合，如果隐函数方程按乘积的形式在叠加，则称所得的隐函数方程符合隐函数图像的叠加。例如：图中的方程为（x-a）2+（y-a）2=½a2，（x+a）2+（y-a）2=½a2，b2（x-a）2+a2y2-a2b2=0，|x|+|y|=a）求其整体的方程。 由隐函数图像的叠加原理可知，整体的方程为

[2（x-a）2+2（|y|+a）2-a2]·[b2（x-a）2+a2y2-a2b2]·（|x|+|y|-a）=0

不过分立方程不仅仅是局限于二维的，是可以随自变量的个数进行变化的，但同样遵循隐函数图像的叠加原理。例如x（x-1）=0，x=0，x=1。此时，方程的解为点，而x（y-1）=0，x=0，y=1，均表示为直线。（x-z）（y-1）=0，x=z，y=1均表示为面。

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对于二元二次，三次，四次方程而言，可以固定x不变或y不变利用一元二次，三次，四次方程的求根公式将部分隐函数进行求解，整理成分立方程的形式。不过到五次方程时，由于没有统一的求解公式，所以五次及以上的分立方程展开式会越发的复杂。每一项可能呈几倍的速度进行增长，在此称之为分立大爆炸。如（xy-sinx）·（x-lny）=0展開为x2-xylny-xsinx+sinx·lny=0，继续在等式左端乘以一个f（x，y）=cosy-x，展开式变为x2ycosy-xcosy·sinx-x3y+x2sinx-xycosy·lny+cosy·sinx·lny+x2ylny-xsinx·lny=0方程变得十分复杂，而分立方程却仍然很简单。 参考文献：

[1]吴坚，王小椿，姜虹，郑康平，李润方.多边形的隐函数表示法.《计算机工程与应用》，2003，39 （32）：87-89

[2]陈艾.三角形的方程.《四川师范大学学报：自然科学版》，1993 （1）：107-110 [3]吴汉华.吴汉华.关于两个隐函数的讨论及图象.《机械职业教育》，1994 （11）：26-27