初中数学知识点归纳总结（含七八九年级）七年年级数学（上）知识点................................................................................................1
第⼀一章有理理数........................................................................................................1第⼆二章整式的加减...............................................................................................3第三章⼀一元⼀一次⽅方程..............................................................................................4第四章图形的认识初步..........................................................................................5七年年级数学（下）知识点................................................................................................6
第五章相交线与平⾏行行线.......................................................................................6第六章平⾯面直⻆角坐标系........................................................................................8第七章三⻆角形......................................................................................................9第⼋八章⼆二元⼀一次⽅方程组.......................................................................................12第九章不不等式与不不等式组...................................................................................13第⼗十章数据的收集、整理理与描述.........................................................................13⼋八年年级数学（上）知识点..............................................................................................14
第⼗十⼀一章全等三⻆角形..........................................................................................14第⼗十⼆二章轴对称.................................................................................................15第⼗十三章实数.....................................................................................................16第⼗十四章⼀一次函数..............................................................................................17第⼗十五章整式的乘除与分解因式.........................................................................18⼋八年年级数学（下）知识点..............................................................................................19
第⼗十六章分式.....................................................................................................19第⼗十七章反⽐比例例函数..........................................................................................20第⼗十⼋八章勾股定理理................................................................................................21第⼗十九章四边形....................................................................................................22第⼆二⼗十章数据的分析..........................................................................................23九年年级数学（上）知识点..............................................................................................24
第⼆二⼗十⼀一章⼆二次根式..........................................................................................24第⼆二⼗十⼆二章⼀一元⼆二次根式...................................................................................25第⼆二⼗十三章旋转.................................................................................................26第⼆二⼗十四章圆.....................................................................................................27第⼆二⼗十五章概率.................................................................................................28九年年级数学（下）知识点..............................................................................................30
第⼆二⼗十六章⼆二次函数..........................................................................................30第⼆二⼗十七章相似.................................................................................................32第⼆二⼗十⼋八章锐⻆角三⻆角函数...................................................................................33第⼆二⼗十九章投影与视图.......................................................................................34
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中考数学重点知识点归纳总结分析
七年年级数学（上）知识点
⼈人教版七年年级数学上册主要包含了了有理理数、整式的加减、⼀一元⼀一次⽅方程、图形的认识初步四个章节的内容.
第⼀一章有理理数
⼀一．知识框架
⼆二．知识概念1.有理理数：(1)凡能写成
形式的数，都是有理理数.正整数、0、负整数统称整数；正
分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理理数.注意：0即不不是正数，也不不是负数；-a不不
⼀一定是负数，+a也不不⼀一定是正数；π不不是有理理数；
(2)有理理数的分类:①②
2．数轴：数轴是规定了了原点、正⽅方向、单位⻓长度的⼀一条直线.3．相反数：
(1)只有符号不不同的两个数，我们说其中⼀一个是另⼀一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0⇔a+b=0⇔a、b互为相反数.4.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：
或
；绝对值的问题经常分类讨
论；
（1）正数的绝对值越⼤大，这个数越⼤大；（2）正数永远⽐比0⼤大，负数永远⽐比5.有理理数⽐比⼤大⼩小：
（3）正数⼤大于⼀一切负数；（4）两个负数⽐比⼤大⼩小，绝对值⼤大的反⽽而⼩小；（5）数轴上的两0⼩小；
个数，右边的数总⽐比左边的数⼤大；（6）⼤大数-⼩小数＞0，⼩小数-⼤大数＜0.
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若a≠0，那么的倒数是；6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；
若ab=1⇔a、b互为倒数；若ab=-1⇔a、b互为负倒数.
7.有理理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较⼤大的符号，并⽤用较⼤大的绝对值减去较⼩小的绝对值；（3）⼀一个数与0相加，仍得这个数.8．有理理数加法的运算律律：
（1）加法的交换律律：a+b=b+a；（2）加法的结合律律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理理数减法法则：减去⼀一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10有理理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；
（3）⼏几个数相乘，有⼀一个因式为零，积为零；各个因式都不不为零，积的符号由负因式的个数决定.
11有理理数乘法的运算律律：（1）乘法的交换律律：ab=ba；（2）乘法的结合律律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律律：a（b+c）=ab+ac.
12．有理理数除法法则：除以⼀一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不不能做除数，
.
13．有理理数乘⽅方的法则：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.14．乘⽅方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘⽅方；
（2）乘⽅方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘⽅方的结果叫做幂；
15．科学记数法：把⼀一个⼤大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有⼀一位的数，这种记数法叫科学记数法.
16.近似数的精确位：⼀一个近似数，四舍五⼊入到那⼀一位，就说这个近似数的精确到那⼀一位.17.有效数字：从左边第⼀一个不不为零的数字起，到精确的位数⽌止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
请判断下列列题的对错,并解释.
1.近似数25.0的精确度与近似数25⼀一样.
2.近似数4千万与近似数4000万的精确度⼀一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.⽤用四舍五⼊入法得近似数6.40和6.4是相等的.
5.近似数3.7x10的⼆二次与近似数370的精确度⼀一样.
1、错。前者精确到⼗十分位（⼩小数点后⾯面⼀一位），后者精确到个位数。2、错。4千万精确到千万位，4000万精确到万位。
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3、对。
4、错。值虽然相等，但是取之范围和精确度不不同5、错。3.7x10^2精确到⼗十位,370精确到个位
相关概念：有效数字：是指从该数字左边第⼀一个⾮非0的数字到该数字末尾的数字个数（有点绕⼝口）。
举⼏几个例例⼦子：3⼀一共有1个有效数字，0.0003有⼀一个有效数字，0.1500有4个有效数字，1.9*10^3有两个有效数字（不不要被10^3迷惑，只需要看1.9的有效数字就可以了了，10^n看作是⼀一个单位）。
精确度：即数字末尾数字的单位。⽐比如说：9800.8精确到⼗十分位（⼜又叫做⼩小数点后⾯面⼀一位），80万精确到万位。9*10^5精确到10万位（总共就9⼀一个数字，10^n看作是⼀一个单位，就和多少万是⼀一个概念）。
18.混合运算法则：先乘⽅方，后乘除，最后加减.
本章内容要求学⽣生正确认识有理理数的概念，在实际⽣生活和学习数轴的基础上，理理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利利⽤用有理理数的运算法则解决实际问题.
教师培养学⽣生体验数学发展的⼀一个重要原因是⽣生活实际的需要.激发学⽣生学习数学的兴趣，
的观察、归纳与概括的能⼒力力，使学⽣生建⽴立正确的数感和解决实际问题的能⼒力力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学⽣生学习的主体性地位。
第⼆二章整式的加减
⼀一．知识框架
⼆二.知识概念
1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘⽅方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不不含字⺟母的⼀一类代数式叫单项式.
2．单项式的系数与次数：单项式中不不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不不为零时，单项式中所有字⺟母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：⼏几个单项式的和叫多项式.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多4．
项式的项；多项式⾥里里，次数最⾼高项的次数叫多项式的次数。通过本章学习，应使学⽣生达到以下学习⽬目标：
1.理理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄弄清它们之间的区别与联系。
2.理理解同类项概念，掌握合并同类项的⽅方法，掌握去括号时符号的变化规律律，能正确地进
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⾏行行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进⾏行行整式的加减运算。3.理理解整式中的字⺟母表示数，整式的加减运算建⽴立在数的运算基础上；理理解合并同类项、去括号的依据是分配律律；理理解数的运算律律和运算性质在整式的加减运算中仍然成⽴立。4．能够分析实际问题中的数量量关系，并⽤用还有字⺟母的式⼦子表示出来。
在本章学习中，教师可以通过让学⽣生⼩小组讨论、合作学习等⽅方式，经历概念的形成过程，初步培养学⽣生观察、分析、抽象、概括等思维能⼒力力和应⽤用意识。
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第三章⼀一元⼀一次⽅方程
⼀一．知识框架
⼆二．知识概念
1．⼀一元⼀一次⽅方程：只含有⼀一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不不是零的整式⽅方程是⼀一元⼀一次⽅方程.
2．⼀一元⼀一次⽅方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.
⼀一元⼀一次⽅方程解法的⼀一般步骤：整理理⽅方程……去分⺟母……去括号……移项……3．
合并同类项……系数化为1……（检验⽅方程的解）.4．列列⼀一元⼀一次⽅方程解应⽤用题：
（1）读题分析法:…………多⽤用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例例如：“⼤大，⼩小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利利⽤用这些关键字列列出⽂文字等式，并且据题意设出未知数，最后利利⽤用题⽬目中的量量与量量的关系填⼊入代数式，得到⽅方程.（2）画图分析法:…………多⽤用于“⾏行行程问题”
利利⽤用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从⽽而取得布列列⽅方程的依据，最后利利⽤用量量与量量之间的关系（可把未知数看做已知量量），填⼊入有关的代数式是获得⽅方程的基础.
11．列列⽅方程解应⽤用题的常⽤用公式：（1）⾏行行程问题：距离=速度·时间
；
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（2）⼯工程问题：⼯工作量量=⼯工效·⼯工时（3）⽐比率问题：部分=全体·⽐比率
；
；
（4）顺逆流问题：顺流速度=静⽔水速度+⽔水流速度，逆流速度=静⽔水速度-⽔水流速度；（5）商品价格问题：售价=定价·折·
，利利润=售价-成本，
；
（6）周⻓长、⾯面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C⻓长⽅方形=2(a+b)，S⻓长⽅方形=ab，C正⽅方形=4a，S正⽅方形=a2，S环形=π(R2-r2),V⻓长⽅方体=abc，V正⽅方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥=πR2h.
本章内容是代数学的核⼼心，也是所有代数⽅方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易易激起学⽣生对数学的乐趣，所以要注意引导学⽣生从身边的问题研究起，进⾏行行有效的数学活动和合作交流，让学⽣生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能⼒力力，体会数学思想⽅方法。
第四章图形的认识初步
知识框架
本章的主要内容是图形的初步认识，从⽣生活周围熟悉的物体⼊入⼿手，对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的⼏几何图形.通过从不不同⽅方向看⽴立体图形和展开⽴立体图形，初步认识⽴立体图形与平⾯面图形的联系.在此基础上，认识⼀一些简单的平⾯面图形——直线、射线、线段和⻆角.本章书涉及的数学思想：
1.分类讨论思想。在过平⾯面上若⼲干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论；在画图形时，应注意图形的各种可能性。
2.⽅方程思想。在处理理有关⻆角的⼤大⼩小，线段⼤大⼩小的计算时，常需要通过列列⽅方程来解决。
3.图形变换思想。在研究⻆角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。在处理理图形时应注意转化思想的应⽤用，如⽴立体图形与平⾯面图形的互相转化。
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4.化归思想。在进⾏行行直线、线段、⻆角以及相关图形的计数时，总要划归到公式n(n-1)/2的具体运⽤用上来。
七年年级数学（下）知识点
⼈人教版七年年级数学下册主要包括相交线与平⾏行行线、平⾯面直⻆角坐标系、三⻆角形、⼆二元⼀一次⽅方程组、不不等式与不不等式组和数据的收集、整理理与表述六章内容。
第五章
⼀一、知识框架
相交线与平⾏行行线
⼆二、知识概念
1.邻补⻆角：两条直线相交所构成的四个⻆角中，有公共顶点且有⼀一条公共边的两个⻆角是邻补⻆角。
2.对顶⻆角：⼀一个⻆角的两边分别是另⼀一个⻆角的两边的反向延⻓长线，像这样的两个⻆角互为对顶⻆角。
3.垂线：两条直线相交成直⻆角时，叫做互相垂直，其中⼀一条叫做另⼀一条的垂线。4.平⾏行行线：在同⼀一平⾯面内，不不相交的两条直线叫做平⾏行行线。5.同位⻆角、内错⻆角、同旁内⻆角：
两条直线被第三条直线所截所形成的⼋八个⻆角中，有四对同位⻆角，两对内错⻆角，两对同旁内⻆角。
同位⻆角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的⼀一对⻆角叫做同位⻆角。内错⻆角：∠4与∠6像这样的⼀一对⻆角叫做内错⻆角。同旁内⻆角：∠4与∠5像这样的⼀一对⻆角叫做同旁内⻆角。
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6.命题：判断⼀一件事情的语句句叫命题。
7.平移：在平⾯面内，将⼀一个图形沿某个⽅方向移动⼀一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每⼀一点，都是由原图形中的某⼀一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。9.定理理与性质
对顶⻆角的性质：对顶⻆角相等。10垂线的性质：
性质1：过⼀一点有且只有⼀一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外⼀一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。11.平⾏行行公理理：经过直线外⼀一点有且只有⼀一条直线与已知直线平⾏行行。
平⾏行行公理理的推论：如果两条直线都与第三条直线平⾏行行，那么这两条直线也互相平⾏行行。12.平⾏行行线的性质：
性质1：两直线平⾏行行，同位⻆角相等。性质2：两直线平⾏行行，内错⻆角相等。性质3：两直线平⾏行行，同旁内⻆角互补。13.平⾏行行线的判定：
判定1：同位⻆角相等，两直线平⾏行行。判定2：内错⻆角相等，两直线平⾏行行。判定3：同旁内⻆角互补，两直线平⾏行行。
本章使学⽣生了了解在平⾯面内不不重合的两条直线相交与平⾏行行的两种位置关系,研究了了两条直线相交时的形成的⻆角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平⾏行行的⻓长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利利⽤用平移设计⼀一些优美的图案.重点:垂线和它的性质,平⾏行行线的判定⽅方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运⽤用.难点:探索平⾏行行线的条件和特征,平⾏行行线条件与特征的区别,运⽤用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进⾏行行图案设计。
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第六章平⾯面直⻆角坐标系
中考数学重点知识点归纳总结分析
⼀一．知识框架
⼆二．知识概念
1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）
2.平⾯面直⻆角坐标系：在平⾯面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平⾯面直⻆角坐标系。3.横轴、纵轴、原点：⽔水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平⾯面直⻆角坐标系的原点。
4.坐标：对于平⾯面内任⼀一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂⾜足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平⾯面分成四个部分，右上部分叫第⼀一象限，按逆时针⽅方向依次叫第⼆二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不不在任何⼀一个象限内。
平⾯面直⻆角坐标系是数轴由⼀一维到⼆二维的过渡，同时它⼜又是学习函数的基础，起到承上启下的作⽤用。另外，平⾯面直⻆角坐标系将平⾯面内的点与数结合起来，体现了了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和⽣生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平⾯面上的点的位置确定发展学⽣生创新能⼒力力和应⽤用意识。
第七章三⻆角形
⼀一．知识框架
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⼆二．知识概念
1.三⻆角形：由不不在同⼀一直线上的三条线段⾸首尾顺次相接所组成的图形叫做三⻆角形。2.三边关系：三⻆角形任意两边的和⼤大于第三边，任意两边的差⼩小于第三边。
3.⾼高：从三⻆角形的⼀一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂⾜足间的线段叫做三⻆角形的⾼高。
4.中线：在三⻆角形中，连接⼀一个顶点和它的对边中点的线段叫做三⻆角形的中线。
5.⻆角平分线：三⻆角形的⼀一个内⻆角的平分线与这个⻆角的对边相交，这个⻆角的顶点和交点之间的线段叫做三⻆角形的⻆角平分线。
6.三⻆角形的稳定性：三⻆角形的形状是固定的，三⻆角形的这个性质叫三⻆角形的稳定性。6.多边形：在平⾯面内，由⼀一些线段⾸首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。7.多边形的内⻆角：多边形相邻两边组成的⻆角叫做它的内⻆角。
多边形内⻆角和定理理:n边形的内⻆角的和等于：（n－2）×180°，则正多边形各内⻆角度数为：（n－2）×180°÷n
中考数学重点知识点归纳总结分析
已知正多边形内⻆角度数则其边数为：360÷（180－内⻆角度数）
8.多边形的外⻆角：多边形的⼀一边与它的邻边的延⻓长线组成的⻆角叫做多边形的外⻆角。
多边形内⻆角和定理理证明
证法⼀一：在n边形内任取⼀一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三⻆角形.
因为这n个三⻆角形的内⻆角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个⻆角的和是360°
所以n边形的内⻆角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.即n边形的内⻆角和等于（n-2）×180°.
证法⼆二：连结多边形的任⼀一顶点A1与其他各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三⻆角形.
因为这（n-2）个三⻆角形的内⻆角和都等于（n-2）·180°所以n边形的内⻆角和是（n-2）×180°.
证法三：在n边形的任意⼀一边上任取⼀一点P，连结P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三⻆角形，
这（n-1）个三⻆角形的内⻆角和等于（n-1）·180°以P为公共顶点的（n-1）个⻆角的和是180°
所以n边形的内⻆角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.
外⻆角和=N*180-（N-2）*180=360度。
注：在不不考虑⻆角度⽅方向的情况下，以上所述的N边形，仅为任意‘凸’多边形。当考虑⻆角度⽅方向的时候，上⾯面的论述也适合凹多边形。
9.多边形的对⻆角线：连接多边形不不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对⻆角线。10.正多边形：在平⾯面内，各个⻆角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.平⾯面镶嵌：⽤用⼀一些不不重叠摆放的多边形把平⾯面的⼀一部分完全覆盖，叫做⽤用多边形覆盖平⾯面。
镶嵌的⼀一个关键点是：在每个公共顶点处，各⻆角的和是360°．1．全等的任意三⻆角形能镶嵌平⾯面把⼀一些纸整⻬齐地叠放好，⽤用剪⼑刀⼀一次即可剪出多个全等的三⻆角形．⽤用这些全等的三
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⻆角形可镶嵌平⾯面．这是因为三⻆角形的内⻆角和是180°，⽤用6个全等的三⻆角形即可镶嵌出⼀一个平⾯面．如图1．⽤用全等的三⻆角形镶嵌平⾯面，镶嵌的⽅方法不不⽌止⼀一种，如图2．中考数学重点知识点归纳总结分析2．全等的任意四边形能镶嵌平⾯面。仿上⾯面的⽅方法可剪出多个全等的四边形，⽤用它们可镶嵌平⾯面．这是因为四边形的内⻆角和是360°，⽤用4个全等的四边形即可镶嵌出⼀一个平⾯面．如图3．其实四边形的平⾯面镶嵌可看成是⽤用两类全等的三⻆角形进⾏行行镶嵌．如图4．3．全等的特殊五边形可镶嵌平⾯面圣地亚歌⼀一位家庭妇⼥女女，五个孩⼦子的⺟母亲玛乔⾥里里·赖斯，对平⾯面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了了很多前所未有的结论．1968年年克什什纳断⾔言只有8类五边形能镶嵌平⾯面，可是玛乔⾥里里·赖斯后来⼜又找到了了5类五边形能镶嵌平⾯面，在图5的五边形∠B=∠E=90°，图6是她于1977ABCDE中，2∠A＋∠D=2∠C＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．年年12⽉月找到的⼀一种⽤用此五边形镶嵌的⽅方法．⽤用五边形镶嵌平⾯面，是否只有13类，还有待研究．4．全等的特殊六边形可镶嵌平⾯面1918年年，莱因哈特证明了了只有3类六边形能镶嵌平⾯面．图7是其中之⼀一．在图7的六边形ABCDEF中，∠A＋∠B＋∠C=360°，a=d．5．七边形或多于七边的凸多边形，不不能镶嵌平⾯面．只有正三⻆角形、正⽅方形和正六边形可镶嵌平⾯面，⽤用其它正多边形不不能镶嵌平⾯面．例例如：⽤用正三⻆角形和正六形的组合进⾏行行镶嵌．设在⼀一个顶点周围有m个正三⻆角形的⻆角，有n个正六边形的⻆角．由于正三⻆角形的每个⻆角是60°，正六边形的每个⻆角是120°．所以有m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．这个⽅方程的正整数解或可⻅见⽤用正三⻆角形和正六边形镶嵌，有两种类型，⼀一种是在⼀一个顶点的周围有4个正三⻆角形和1个正六边形，另⼀一种是在⼀一个顶点的周围有2个正三⻆角形和2个正六边形．埃舍尔_百度百科12.公式与性质
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三⻆角形的内⻆角和：三⻆角形的内⻆角和为180°三⻆角形外⻆角的性质：
性质1：三⻆角形的⼀一个外⻆角等于和它不不相邻的两个内⻆角的和。性质2：三⻆角形的⼀一个外⻆角⼤大于任何⼀一个和它不不相邻的内⻆角。多边形内⻆角和公式：n边形的内⻆角和等于（n-2）·180°多边形的外⻆角和：多边形的内⻆角和为360°。多边形对⻆角线的条数：（1）从n边形的⼀一个顶点出发可以引（n-3）条对⻆角线，把多边形分词（n-2）个三⻆角形。（2）n边形共有
条对⻆角线。
中考数学重点知识点归纳总结分析
三⻆角形是初中数学中⼏几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多⿎鼓励学⽣生动脑动⼿手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学⽣生正确的数学情操和⼏几何思维能⼒力力。
第⼋八章⼆二元⼀一次⽅方程组
⼀一．知识结构图
⼆二、知识概念
含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的⽅方程叫做⼆二元⼀一次。1.⼆二元⼀一次⽅方程：
⽅方程，⼀一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.⼆二元⼀一次⽅方程组：把两个⼆二元⼀一次⽅方程合在⼀一起，就组成了了⼀一个⼆二元⼀一次⽅方程组。
3.⼆二元⼀一次⽅方程的解：⼀一般地，使⼆二元⼀一次⽅方程两边的值相等的未知数的值叫做⼆二元⼀一次⽅方程组的解。
4.⼆二元⼀一次⽅方程组的解：⼀一般地，⼆二元⼀一次⽅方程组的两个⽅方程的公共解叫做⼆二元⼀一次⽅方程组。
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐⼀一解决的想法，叫做消元思想。
6.代⼊入消元：将⼀一个未知数⽤用含有另⼀一个未知数的式⼦子表示出来，再代⼊入另⼀一个⽅方程，实现消元，进⽽而求得这个⼆二元⼀一次⽅方程组的解，这种⽅方法叫做代⼊入消元法，简称代⼊入法。7.加减消元法：当两个⽅方程中同⼀一未知数的系数相反或相等时，将两个⽅方程的两边分别相
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加或相减，就能消去这个未知数，这种⽅方法叫做加减消元法，简称加减法。
本章通过实例例引⼊入⼆二元⼀一次⽅方程,⼆二元⼀一次⽅方程组以及⼆二元⼀一次⽅方程组的概念,培养学⽣生对概念的理理解和完整性和深刻性,使学⽣生掌握好⼆二元⼀一次⽅方程组的两种解法.重点:⼆二元⼀一次⽅方程组的解法,列列⼆二元⼀一次⽅方程组解决实际问题.难点:⼆二元⼀一次⽅方程组解决实际问题
中考数学重点知识点归纳总结分析
第九章不不等式与不不等式组
⼀一．知识框架
⼆二、知识概念
1.⽤用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示⼤大⼩小关系的式⼦子叫做不不等式。2.不不等式的解：使不不等式成⽴立的未知数的值，叫做不不等式的解。
3.不不等式的解集：⼀一个含有未知数的不不等式的所有解，组成这个不不等式的解集。
4.⼀一元⼀一次不不等式：不不等式的左、右两边都是整式，只有⼀一个未知数，并且未知数的最⾼高次数是1，像这样的不不等式，叫做⼀一元⼀一次不不等式。
⼀一般地，关于同⼀一未知数的⼏几个⼀一元⼀一次不不等式合在⼀一起，就组成6.5.⼀一元⼀一次不不等式组：
了了⼀一个⼀一元⼀一次不不等式组。7.定理理与性质不不等式的性质：
不不等式的基本性质1：不不等式的两边都加上（或减去）同⼀一个数（或式⼦子），不不等号的⽅方向不不变。
不不等式的基本性质2：不不等式的两边都乘以（或除以）同⼀一个正数，不不等号的⽅方向不不变。不不等式的基本性质3：不不等式的两边都乘以（或除以）同⼀一个负数，不不等号的⽅方向改变。本章内容要求学⽣生经历建⽴立⼀一元⼀一次不不等式（组）这样的数学模型并应⽤用它解决实际问题的过程，体会不不等式（组）的特点和作⽤用，掌握运⽤用它们解决问题的⼀一般⽅方法，提⾼高分析问题、解决问题的能⼒力力，增强创新精神和应⽤用数学的意识。
第⼗十章数据的收集、整理理与描述
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⼀一．知识框架
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中考数学重点知识点归纳总结分析
全⾯面调查
抽样调查
收集数据整理理数据描述数据分析数据得出结论
⼆二．知识概念
1.全⾯面调查：考察全体对象的调查⽅方式叫做全⾯面调查。
2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查⽅方式称为抽样调查。3.总体：要考察的全体对象称为总体。
4.个体：组成总体的每⼀一个考察对象称为个体。5.样本：被抽取的所有个体组成⼀一个样本。6.样本容量量：样本中个体的数⽬目称为样本容量量。
7.频数：⼀一般地，我们称落在不不同⼩小组中的数据个数为该组的频数。8.频率：频数与数据总数的⽐比为频率。
9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照⼀一定的范围分成若⼲干各组，分成组的个数称为组数，每⼀一组两个端点的差叫做组距。
本章要求通过实际参与收集、整理理、描述和分析数据的活动，经历统计的⼀一般过程，感受统计在⽣生活和⽣生产中的作⽤用，增强学习统计的兴趣，初步建⽴立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
⼋八年年级数学（上）知识点
⼈人教版⼋八年年级上册主要包括全等三⻆角形、轴对称、实数、⼀一次函数和整式的乘除与分解因式五个章节的内容。
第⼗十⼀一章
⼀一．知识框架
全等三⻆角形
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中考数学重点知识点归纳总结分析
⼆二．知识概念
1.全等三⻆角形：两个三⻆角形的形状、⼤大⼩小、都⼀一样时，其中⼀一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另⼀一个重合，这两个三⻆角形称为全等三⻆角形。2．全等三⻆角形的性质：全等三⻆角形的对应⻆角相等、对应边相等。3.三⻆角形全等的判定公理理及推论有：（1）“边⻆角边”简称“SAS”（2）“⻆角边⻆角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“⻆角⻆角边”简称“AAS”
（5）斜边和直⻆角边相等的两直⻆角三⻆角形（HL）。除了了边边⻆角和⻆角⻆角⻆角。
4.⻆角平分线推论：⻆角的内部到⻆角的两边的距离相等的点在⻆角的平分线上。
①、确定已知条件（包5.证明两三⻆角形全等或利利⽤用它证明线段或⻆角的相等的基本⽅方法步骤：
括隐含条件，如公共边、公共⻆角、对顶⻆角、⻆角平分线、中线、⾼高、等腰三⻆角形、等所隐含的边⻆角关系），②、回顾三⻆角形判定，搞清我们还需要什什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).
在学习三⻆角形的全等时，教师应该从实际⽣生活中的图形出发，引出全等图形进⽽而引出全等三⻆角形。通过直观的理理解和⽐比较发现全等三⻆角形的奥妙之处。在经历三⻆角形的⻆角平分线、中线等探索中激发学⽣生的集合思维，启发他们的灵感，使学⽣生体会到集合的真正魅⼒力力。
第⼗十⼆二章
⼀一．知识框架
轴对称
⼆二．知识概念
1.对称轴：如果⼀一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图
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形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何⼀一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）⻆角平分线上的点到⻆角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意⼀一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与⼀一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（5）轴对称图形上对应线段相等、对应⻆角相等。
（等边对等⻆角）3.等腰三⻆角形的性质：等腰三⻆角形的两个底⻆角相等，
4.等腰三⻆角形的顶⻆角平分线、底边上的⾼高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合⼀一”。5.等腰三⻆角形的判定：等⻆角对等边。6.等边三⻆角形⻆角的特点：三个内⻆角相等，等于60°，
7.等边三⻆角形的判定：三个⻆角都相等的三⻆角形是等腰三⻆角形。
有⼀一个⻆角是60°的等腰三⻆角形是等边三⻆角形有两个⻆角是60°的三⻆角形是等边三⻆角形。
8.直⻆角三⻆角形中，30°⻆角所对的直⻆角边等于斜边的⼀一半。9．直⻆角三⻆角形斜边上的中线等于斜边的⼀一半。
本章内容要求学⽣生在建⽴立在轴对称概念的基础上，能够对⽣生活中的图形进⾏行行分析鉴赏，亲身经历数学美，正确理理解等腰三⻆角形、等边三⻆角形等的性质和判定，并利利⽤用这些性质来解决⼀一些数学问题。
中考数学重点知识点归纳总结分析
第⼗十三章
平⽅方根，记作
实数
。0的算术平⽅方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平⽅方根。
1.算术平⽅方根：⼀一般地，如果⼀一个正数x的平⽅方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术
2.平⽅方根：⼀一般地，如果⼀一个数x的平⽅方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平⽅方根。3.正数有两个平⽅方根（⼀一正⼀一负）它们互为相反数；0只有⼀一个平⽅方根，就是它本身；负数没有平⽅方根。
4.正数的⽴立⽅方根是正数；0的⽴立⽅方根是0；负数的⽴立⽅方根是负数。
对数，
5.数a的相反数是-a，⼀一个正实数的绝值是它本身，⼀一个负数的绝对值是它的相反0的绝对值是0
实数部分主要要求学⽣生了了解⽆无理理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点⼀一⼀一对应，能估算⽆无理理数的⼤大⼩小；了了解实数的运算法则及运算律律，会进⾏行行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律律。
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中考数学重点知识点归纳总结分析
第⼗十四章
⼀一.知识框架
⼀一次函数
⼆二．知识概念
若两个变量量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的⼀一次1.⼀一次函数：
函数(x为⾃自变量量,y为因变量量)。特别地,当b=0时,称y是x的正⽐比例例函数。
(1)(2)(3)(1)(2)(3)，其图象是经过原点(0,0)的⼀一条直线。2.正⽐比例例函数⼀一般式：y=kx（k≠0）
的图象是⼀一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx经过第⼀一、3.正⽐比例例函数y=kx（k≠0）
三象限,y随x的增⼤大⽽而增⼤大，当k<0时，直线y=kx经过第⼆二、四象限,y随x的增⼤大⽽而减⼩小，在⼀一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增⼤大⽽而增⼤大;当k<0时,y随x的增⼤大⽽而减⼩小。4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法
⼀一次函数是初中学⽣生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基⽯石。在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量量，从具体到抽象的认识事物。培养学⽣生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。在教学过程中，应更更加侧重于理理解和运⽤用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的实⽤用价值和乐趣。
第⼗十五章整式的乘除与分解因式
(m,n都是正数)(m,n都是正数)
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1.同底数幂的乘法法则:2..幂的乘⽅方法则：
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中考数学重点知识点归纳总结分析
3.整式的乘法
（1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字⺟母分别相乘，对于只在⼀一个单项式⾥里里含有的字⺟母，连同它的指数作为积的⼀一个因式。
（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是⽤用单项式去乘多项式的每⼀一项，再把所得的积相加。（3）．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先⽤用⼀一个多项式中的每⼀一项乘以另⼀一个多项式的每⼀一项，再把所得的积相加。4．平⽅方差公式:5．完全平⽅方公式:
6.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不不变,指数相减,即
都是正数,且m>n).
在应⽤用时需要注意以下⼏几点:
①法则使⽤用的前提条件是“同底数幂相除”⽽而且0不不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不不等于0的数的0次幂等于1,即
,如
,(-2.50=1),则00⽆无意义.
(a≠0,m、n
③任何不不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即(a
≠0,p是正整数),⽽而0-1,0-3都是⽆无意义的;当a>0时,a-p的值⼀一定是正的;当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如
,
④运算要注意运算顺序.7．整式的除法
单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式⾥里里含有的字⺟母，则连同它的指数作为商的⼀一个因式；
多项式除以单项式:多项式除以单项式，先把这个多项式的每⼀一项除以单项式，再把所得的商相加.
把⼀一个多项式化成⼏几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.8.分解因式：
分解因式的⼀一般⽅方法：1.提公共因式法2.运⽤用公式法3.⼗十字相乘法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使⽤用公式法;
(3)⽤用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运⽤用公式法来达到分解的⽬目的;(4)因式分解的最后结果必须是⼏几个整式的乘积,否则不不是因式分解;
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中考数学重点知识点归纳总结分析
(5)因式分解的结果必须进⾏行行到每个因式在有理理数范围内不不能再分解为⽌止.
整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多，表⾯面看来零碎的概念和性质也较多，但实际上是密不不可分的整体。在学习本章内容时，应多准备些⼩小组合作与交流活动，培养学⽣生推理理能⼒力力、计算能⼒力力。在做题中体验数学法则、公式的简洁美、和谐美，提⾼高做题效率。
⼋八年年级数学（下）知识点
⼈人教版⼋八年年级下册主要包括了了分式、反⽐比例例函数、勾股定理理、四边形、数据的分析五章内容。
第⼗十六章
⼀一．知识框架
分式
⼆二．知识概念
1.分式：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不不等于0的整式叫做分式(fraction)。其中A叫做分式的分⼦子，B叫做分式的分⺟母。2.分式有意义的条件：分⺟母不不等于0
3.约分：把⼀一个分式的分⼦子和分⺟母的公因式(不不为1的数）约去，这种变形称为约分。4.通分：异分⺟母的分式可以化成同分⺟母的分式，这⼀一过程叫做通分。
分式的基本性质:分式的分⼦子和分⺟母同时乘以（或除以）同⼀一个不不为0的整式，分式的值不不变。⽤用式⼦子表示为：A/B=A*C/B*CA/B=A÷C/B÷C（A,B,C为整式，且C≠0）
5.最简分式:⼀一个分式的分⼦子和分⺟母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,⼀一般将⼀一个分式化为最简分式.
6.分式的四则运算：1.同分⺟母分式加减法则:同分⺟母的分式相加减,分⺟母不不变，把分⼦子相加减.⽤用字⺟母表示为：a/c±b/c=a±b/c
2.异分⺟母分式加减法则:异分⺟母的分式相加减,先通分,化为同分⺟母的分式,然后再按同分⺟母分式的加减法法则进⾏行行计算.⽤用字⺟母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分⼦子相乘的积作为积的分⼦子,把分⺟母相
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乘的积作为积的分⺟母中考数学重点知识点归纳总结分析
.⽤用字⺟母表示为：a/b*c/d=ac/bd
4.分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分⼦子和分⺟母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以⼀一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c7.分式⽅方程的意义:分⺟母中含有未知数的⽅方程叫做分式⽅方程.
8.分式⽅方程的解法:①去分⺟母(⽅方程两边同时乘以最简公分⺟母,将分式⽅方程化为整式⽅方程的值后必须验根);②按解整式⽅方程的步骤求出未知数的值的取值范围,;③验根(求出未知数分式和分数有着许多相似点。教师在讲授本章内容时，可以对⽐比分数的特点及,可能产⽣生因为在把分式⽅方程化为整式⽅方程的过程中增根).
,扩⼤大了了未知数性质，让学⽣生⾃自主学习。重点在于分式⽅方程解实际应⽤用问题。
第⼗十七章
反⽐比例例函数
⼀一.知识框架
⼆二．知识概念
1.反⽐比例例函数：形如y＝
（k为常数，k≠0）的函数称为反⽐比例例函数。其他形式xy=k
2.图像：反⽐比例例函数的图像属于双曲线。反⽐比例例函数的图象既是轴对称图形⼜又是中⼼心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中⼼心是：原点
3.性质:当k＞0时双曲线的两⽀支分别位于第⼀一、
第三象限，在每个象限内y值随x值的增⼤大⽽而减⼩小；
当k＜0时双曲线的两⽀支分别位于第⼆二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增⼤大⽽而增⼤大。
4.|k|的⼏几何意义：表示反⽐比例例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的⾯面积。
在学习反⽐比例例函数时，教师可让学⽣生对⽐比之前所学习的⼀一次函数启发学⽣生进⾏行行对⽐比性
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学习。在做题时，培养和养成数形结合的思想。
中考数学重点知识点归纳总结分析
第⼗十⼋八章勾股定理理
⼀一.知识框架
2⼆二
1.勾股定理理：如果直⻆角三⻆角形的两直⻆角边⻓长分别为a，b，斜边⻓长为c，那么a2＋b2=c2。勾股定理理逆定理理：如果三⻆角形三边⻓长a,b,c满⾜足a2＋b2=c2。，那么这个三⻆角形是直⻆角三⻆角形。2.定理理：经过证明被确认正确的命题叫做定理理。
3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中⼀一个叫做原命题，那么另⼀一个叫做它的逆命题。（例例：勾股定理理与勾股定理理逆定理理）
勾股定理理是直⻆角三⻆角形具备的重要性质。本章要求学⽣生在理理解勾股定理理的前提下，学会利利⽤用这个定理理解决实际问题。可以通过⾃自主学习的发展体验获取数学知识的感受。
第⼗十九章四边形
⼀一．知识框架
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中考数学重点知识点归纳总结分析
⼆二．知识概念
1.平⾏行行四边形定义：有两组对边分别平⾏行行的四边形叫做平⾏行行四边形。
2.平⾏行行四边形的性质：平⾏行行四边形的对边相等；平⾏行行四边形的对⻆角相等。平⾏行行四边形的对⻆角线互相平分。
3.平⾏行行四边形的判定○
1.两组对边分别相等的四边形是平⾏行行四边形○
2.对⻆角线互相平分的四边形是平⾏行行四边形；○
3.两组对⻆角分别相等的四边形是平⾏行行四边形；○
4.⼀一组对边平⾏行行且相等的四边形是平⾏行行四边形。4.三⻆角形的中位线平⾏行行于三⻆角形的第三边，且等于第三边的⼀一半。5.直⻆角三⻆角形斜边上的中线等于斜边的⼀一半。6.矩形的定义：有⼀一个⻆角是直⻆角的平⾏行行四边形。
7.矩形的性质：矩形的四个⻆角都是直⻆角；矩形的对⻆角线平分且相等。AC=BD
8.矩形判定定理理：○
1.有⼀一个⻆角是直⻆角的平⾏行行四边形叫做矩形。○
2.对⻆角线相等的平⾏行行四边形是矩形。○
3.有三个⻆角是直⻆角的四边形是矩形。9.菱形的定义：邻边相等的平⾏行行四边形。
10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对⻆角线互相垂直，并且每⼀一条对⻆角线平分⼀一组对⻆角。
11.菱形的判定定理理：○
1.⼀一组邻边相等的平⾏行行四边形是菱形。○
2.对⻆角线互相垂直的平⾏行行四边形是菱形。○
3.四条边相等的四边形是菱形。第20⻚页共34⻚页
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中考数学重点知识点归纳总结分析
12.S菱形=1/2×ab（a、b为两条对⻆角线）
13.正⽅方形定义：⼀一个⻆角是直⻆角的菱形或邻边相等的矩形。
14.正⽅方形的性质：四条边都相等，四个⻆角都是直⻆角。正⽅方形既是矩形，⼜又是菱形。15.正⽅方形判定定理理：1.邻边相等的矩形是正⽅方形。2.有⼀一个⻆角是直⻆角的菱形是正⽅方形。
16.梯形的定义：⼀一组对边平⾏行行，另⼀一组对边不不平⾏行行的四边形叫做梯形。17.直⻆角梯形的定义：有⼀一个⻆角是直⻆角的梯形18.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
19.等腰梯形的性质：等腰梯形同⼀一底边上的两个⻆角相等；等腰梯形的两条对⻆角线相等。20.等腰梯形判定定理理：同⼀一底上两个⻆角相等的梯形是等腰梯形。
本章内容是对平⾯面上四边形的分类及性质上的研究，要求学⽣生在学习过程中多动⼿手多动脑，把⾃自⼰己的发现和知识带⼊入做题中。因此教师在教学时可以多⿎鼓励学⽣生⾃自⼰己总结四边形的特点，这样有利利于学⽣生对知识的把握。
第⼆二⼗十章
⼀一．知识框架
数据的分析
⼆二．知识概念
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。权的理理解:反映了了某个数据在整个数据中的重要程度。
2.中位数：将⼀一组数据按照由⼩小到⼤大（或由⼤大到⼩小）的顺序排列列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
。3.众数：⼀一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）
4.极差：组数据中的最⼤大数据与最⼩小数据的差叫做这组数据的极差(range)。5.⽅方差越⼤大，数据的波动越⼤大；⽅方差越⼩小，数据的波动越⼩小，就越稳定。本章内容要求学⽣生在经历数据的收集、整理理、分析过程中发展学⽣生的统计意识和数据处理理的⽅方法与能⼒力力。在教学过程中，以⽣生活实例例为主，让学⽣生体会到数据在⽣生活中的重要
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性。
中考数学重点知识点归纳总结分析
九年年级数学（上）知识点
⼈人教版九年年级数学上册主要包括了了⼆二次根式、⼆二元⼀一次⽅方程、旋转、圆和概率五个章节的内容。
第⼆二⼗十⼀一章⼆二次根式
⼀一．知识框架
⼆二．知识概念
⼆二次根式：⼀一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做⼆二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平⽅方根,其中√0=0
对于本章内容，教学中应达到以下⼏几⽅方⾯面要求：
1.理理解⼆二次根式的概念，了了解被开⽅方数必须是⾮非负数的理理由；2.了了解最简⼆二次根式的概念；3.理理解并掌握下列列结论：1）
是⾮非负数；（2）
；（3）
；
4.掌握⼆二次根式的加、减、乘、除运算法则，会⽤用它们进⾏行行有关实数的简单四则运算；5.了了解代数式的概念，进⼀一步体会代数式在表示数量量关系⽅方⾯面的作⽤用。
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第⼆二⼗十⼆二章⼀一元⼆二次根式
⼀一．知识框架
中考数学重点知识点归纳总结分析
⼆二.知识概念
⼀一元⼆二次⽅方程：⽅方程两边都是整式，只含有⼀一个未知数（⼀一元），并且未知数的最⾼高次数是2（⼆二次）的⽅方程，叫做⼀一元⼆二次⽅方程．
⼀一般地，任何⼀一个关于x的⼀一元⼆二次⽅方程，经过整理理，都能化成如下形式
．这种形式叫做⼀一元⼆二次⽅方程的⼀一般形式．ax2+bx+c=0（a≠0）
⼀一个⼀一元⼆二次⽅方程经过整理理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是⼆二次项，a是⼆二次项系数；bx是⼀一次项，b是⼀一次项系数；c是常数项．
本章内容主要要求学⽣生在理理解⼀一元⼆二次⽅方程的前提下，通过解⽅方程来解决⼀一些实际问题。（1）运⽤用开平⽅方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的⽅方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配⽅方法解⼀一元⼆二次⽅方程的⼀一般步骤：现将已知⽅方程化为⼀一般形式；化⼆二次项系数为1；常数项移到右边；⽅方程两边都加上⼀一次项系数的⼀一半的平⽅方，使左边配成⼀一个完全平⽅方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，⽅方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,⽅方程⽆无实根．介绍配⽅方法时，⾸首先通过实际问题引出形如单的形如
的⽅方程。这样的⽅方程可以化为更更为简
的⽅方程，由平⽅方根的概念，可以得到这个⽅方程的解。进⽽而举例例说明如何解
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形如
的⽅方程。然后举例例说明⼀一元⼆二次⽅方程可以化为形如
的
⽅方程，引出配⽅方法。最后安排运⽤用配⽅方法解⼀一元⼆二次⽅方程的例例题。在例例题中，涉及⼆二次项系数不不是1的⼀一元⼆二次⽅方程，也涉及没有实数根的⼀一元⼆二次⽅方程。对于没有实数根的⼀一元⼆二次⽅方程，学了了“公式法”以后，学⽣生对这个内容会有进⼀一步的理理解。
（3）⼀一元⼆二次⽅方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由⽅方程的系数a、b、c⽽而定，因此：
解⼀一元⼆二次⽅方程时，可以先将⽅方程化为⼀一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代⼊入式⼦子x=
就得到⽅方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了了所学
过的六中运算，加、减、乘、除、乘⽅方、开⽅方，这体现了了公式的统⼀一性与和谐性。)这个式⼦子叫做⼀一元⼆二次⽅方程的求根公式．利利⽤用求根公式解⼀一元⼆二次⽅方程的⽅方法叫公式法．
第⼆二⼗十三章旋转
⼀一.知识框架
⼆二．知识概念
1.旋转：在平⾯面内，将⼀一个图形绕⼀一个图形按某个⽅方向转动⼀一个⻆角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中⼼心，转动的⻆角度叫做旋转⻆角。（图形的旋转是图形上的每⼀一点在平⾯面上绕着某个固定点旋转固定⻆角度的位置移动，其中对应点到旋转中⼼心的距离相等，对应线段的⻓长度、对应⻆角的⼤大⼩小相等，旋转前后图形的⼤大⼩小和形状没有改变。）
2.旋转对称中⼼心：把⼀一个图形绕着⼀一个定点旋转⼀一个⻆角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中⼼心，旋转的⻆角度叫做旋转⻆角（旋转⻆角⼩小于0°，⼤大于360°）。
3．中⼼心对称图形与中⼼心对称：
中⼼心对称图形：如果把⼀一个图形绕着某⼀一点旋转180度后能与⾃自身重合，那么我们就说，这个图形成中⼼心对称图形。中⼼心对称：如果把⼀一个图形绕着某⼀一点旋转180度后能与另⼀一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中⼼心对称。4.中⼼心对称的性质：
关于中⼼心对称的两个图形是全等形。
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关于中⼼心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中⼼心，并且被对称中⼼心平分。关于中⼼心对称的两个图形，对应线段平⾏行行（或者在同⼀一直线上）且相等。
本章内容通过让学⽣生经历观察、操作等过程了了解旋转的概念，探索旋转的性质，进⼀一步发展空间观察，培养⼏几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
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第⼆二⼗十四章圆
⼀一．知识框架
⼆二．知识概念
1.圆：平⾯面上到定点的距离等于定⻓长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆⼼心，定⻓长称为半径。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。⼤大于半圆的弧称为优弧，⼩小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆⼼心的弦叫做直径。3.圆⼼心⻆角和圆周⻆角：顶点在圆⼼心上的⻆角叫做圆⼼心⻆角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另⼀一个交点的⻆角叫做圆周⻆角。4.内⼼心和外⼼心：过三⻆角形的三个顶点的圆叫做三⻆角形的外接圆，其圆⼼心叫做三⻆角形的外⼼心。和三⻆角形三边都相切的圆叫做这个三⻆角形的内切圆，其圆⼼心称为内⼼心。5.扇形：在圆上，由两条半径和⼀一段弧围成的图形叫做扇形。
6.圆锥侧⾯面展开图是⼀一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的⺟母线。
7.圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例例（设P是⼀一点，则PO是点到圆⼼心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
8.直线与圆有3种位置关系：⽆无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯⼀一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯⼀一的
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公共点叫做切点。
9.两圆之间有5种位置关系：⽆无公共点的，⼀一圆在另⼀一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯⼀一公共点的，⼀一圆在另⼀一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆⼼心之间的距离叫做圆⼼心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆⼼心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。10.切线的判定⽅方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。11.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆⼼心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
12.垂径定理理：平分弦（不不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。13.有关定理理：
平分弦（不不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．在同圆或等圆中，相等的圆⼼心⻆角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周⻆角相等，都等于这条弧所对的圆⼼心⻆角的⼀一半．半圆（或直径）所对的圆周⻆角是直⻆角，90°的圆周⻆角所对的弦是直径．14.圆的计算公式1.圆的周⻓长C=2πr=πd2.圆的⾯面积S=πr^2;3.扇形弧⻓长l=nπr/18015.扇形⾯面积S=π（R^2-r^2）5.圆锥侧⾯面积S=πrl
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第⼆二⼗十五章概率
知识框架
本章内容要求学⽣生了了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在⽣生活中的乐趣和实⽤用性，学会计算概率。【概率，⼜又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念，是⼀一个在0到1之间的实数，是对随机事件发⽣生的可能性的度量量。表示⼀一个事件发⽣生的可能性⼤大⼩小的数，叫做该事件的概率。它是随机事件出现的可能性的量量度，同时也是概率论最基本的概念之⼀一。⼈人们常说某⼈人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发⽣生的可能性是多少，这都是概率的实例例。但如果⼀一件事情发⽣生的概率是1/n，不不是指n次事件⾥里里必有⼀一次发⽣生该事件，⽽而是指此事件发⽣生的频率接近于1/n这个数值。普遍认为，⼈人们对将要发⽣生的机率总有⼀一种不不好的感觉，或者说不不安全感，俗称「点背」，下⾯面列列出的⼏几个例例⼦子可以形象描述⼈人们有时对机率存在的错误的认识：■1.六合彩：在六合彩（49选6）中，⼀一共有13983816种可能性（参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买⼀一个不不相同的号，最晚可以在13983816/52（周）=268919年年后获得头等奖。事实上这种理理解是错误的，因为每次中奖的机率是相等的，中奖的可能性并不不会因为时间的推移⽽而变⼤大。■2.⽣生⽇日悖论：在⼀一个⾜足球场上有23个⼈人（2×11个运动员和1个裁判员），不不可思议的是，在这23⼈人当中⾄至少有两个⼈人的⽣生⽇日是在同⼀一天的机率要⼤大于50％。■3.轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红⾊色后，出现⿊黑⾊色的机率会越来越⼤大。这种判断也是错误的，即出现⿊黑⾊色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不不会意识到以前都发⽣生了了什什么，其机率始终是18/37。第26⻚页共34⻚页
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■4.三⻔门问题：在电视台举办的猜隐藏在⻔门后⾯面的汽⻋车的游戏节⽬目中，在参赛者的对⾯面有三扇关闭的⻔门，其中只有⼀一扇⻔门的后⾯面有⼀一辆汽⻋车，其它两扇⻔门后是⼭山⽺羊。游戏规则是，参赛者先选择⼀一扇他认为其後⾯面有汽⻋车的⻔门，但是这扇⻔门仍保持关闭状态，紧接著主持⼈人打开没有被参赛者选择的另外两扇⻔门中後⾯面有⼭山⽺羊的⼀一扇⻔门，这时主持⼈人问参赛者，要不不要改变主意，选择另⼀一扇⻔门，以使得赢得汽⻋车的机率更更⼤大⼀一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意⽽而选择另⼀一扇关闭著的⻔门，他赢得汽⻋车的机率会增加⼀一倍。
Williamwang:2009-01-20:对于M4.三⻔门问题我有个愚⻅见：
参与者的赢得汽⻋车的机率是50%。
因为主持⼈人⽆无论参与者第⼀一次从三扇⻔门挑⼀一扇的时候有没有中都会开⼀一扇后⾯面是⼭山⽺羊的。并且开了了之后还可以让参赛者挑选。这样看来，参赛者实际只需要从两扇⻔门挑⼀一扇。⼏几率是1/2。这个中奖⼏几率不不需考虑三扇⻔门的时候的⼏几率。
n43e120修订：概率三选⼀一游戏，2009-01-12同样逻辑的事例例：
⼀一个监狱看守从三个罪犯中随机选择⼀一个予以释放，其他两个将被处死。警卫知道哪个⼈人是否会被释放，但是不不允许给罪犯任何关于其状态的信息。让我们分别称为罪犯为X,Y,Z.罪犯X私下问警卫Y或Z哪个会被处死，因为他已经知道他们中⾄至少⼀一个⼈人会死，警卫不不能透露露任何关于他本⼈人状态的信息。警卫告诉X,Y将被处死。X感到很⾼高兴，因为他认为他或者Z将被释放，这意味着他被释放的概率是1/2。他正确吗？或者他的机会仍然是1/3?
解：
对当事⼈人关键的项的概率公式是：2/3*1/2=1/3说明：
2/3是开始时，选任意⼀一项出错的概率都是2/3；则选对的概率是1/3；
接下来，去除了了⼀一项；1/2此时对当事⼈人进⼊入⼦子事件组，他做的任意选择，对错对开。这⾥里里容易易让⼈人误以为接下来，去除任意⼀一项；接下来，有意识的去除某⼀一项；不不同接下来，有意识的去除某⼀一项；接下来，去除⼀一个错项；这些都是相互独⽴立的事件，
类似的和在时间上选择停⽌止⽣生育孩⼦子的点，与⽣生出来的性别的概率，不不存在关联。TANKTANK98修正：这⾥里里的⼏几率是指什什么⼏几率？
我认为，这个问题使得很多⼈人迷糊了了，其实这⾥里里存在2个⼏几率：
1.整个开⻔门事件来说，包括从⼀一开始来说，参赛者的⼏几率由1/3提⾼高到了了2/3，因为有3张⻔门，分别是参赛者选中的（有1/3）
另外2张（各1/3），后来主持⼈人确定⼀一个⻔门没有⻋车，这样使得剩下的2张⻔门有⻋车的总⼏几率提升到了了100%，⽽而原来这2张⻔门的总⼏几率是66%，多出的33%分到了了谁头上？
2.就参赛者从剩下的2张⻔门⾥里里⾯面选⼀一个的时候，他得到⻋车⼦子的⼏几率是50%。
⼏几率的对象必须分清楚！是2张⻔门选1张时候的⼏几率还是从头⾄至尾的⼏几率，的确会迷糊⼈人。毅U味尽:
...\"如果此时参赛者改变主意⽽而选择另⼀一扇关闭著的⻔门，他赢得汽⻋车的机率会增加⼀一倍。\"这种说法。⼏几率永远都是50%。
......，后验概率会使得下⼀一次反⾯面的⼏几率⼤大的多。
哈尔威：正如《决胜21点》的男主⻆角所说的“我⼀一定换，因为那是主持⼈人送给我的概率”事实原因就在这⾥里里选⼿手选择是随机的（33%的机会为⻋车，66%的机会为⽺羊），但是主持⼈人确要在他选到⽺羊的时候（66%）
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不不同
--与----与--
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⼀一定要选择剩余的那只⽺羊！当然这种情况下换的结果只能是“⻋车”。那么玩家有在始终选择换的情况下他只在⾃自⼰己选中⻋车的时候（33%）才会选到⽺羊。此时你在游戏获得⻋车的机会提⾼高了了⼀一倍（33%到66%）所以聪明的你如果去参加这个游戏你会选择换还是不不换呢？我想现在你⼼心⾥里里已经有答案了了。
后退思维者，关于三⻔门问题：这是个有前提条件的问题，⼤大家被严重的思维混淆了了1、结果：换⻔门，赢取汽⻋车的概率为2/3，不不换⻔门，赢取汽⻋车的概念为1/3（成⽴立）前提：同⼀一个⼈人玩同⼀一个游戏3次以上，那么每次选择换⻔门的话，赢取汽⻋车的概率为2/32、结果：换⻔门与不不换⻔门赢取汽⻋车的概率均为1/2（成⽴立）
前提：同⼀一个⼈人只有⼀一次机会玩同⼀一个游戏，那么在主持⼈人确定⼀一扇⻔门后，他换与不不换的概率就是1/2.
2/3和1/2的结果问题就是根本不不是同⼀一类别，是概率两⼤大类别，所谓的2/3概率是相对⼀一个空间，在100次的机会中，你将会有2/3的机会赢取。1/2概率是在限定的情况下，发⽣生的概率，所以是不不同的。】
九年年级数学（下）知识点
⼈人教版九年年级数学下册主要包括了了⼆二次函数、相似、锐⻆角三⻆角形、投影与视图四个章节的内容。
第⼆二⼗十六章⼆二次函数
⼀一．知识框架
⼆二．.知识概念
⼀一般式：⼀一般地，⾃自变量量x和因变量量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a≠0，1.⼆二次函数：
a、b、c为常数)，则称y为x的⼆二次函数。2.⼆二次函数的解析式三种形式。⼀一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式
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交点式
3.⼆二次函数图像与性质
y对
称
O顶点坐
x轴：标：
与y轴交点坐标（0，c）
4.增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增⼤大⽽而减⼩小；对称轴右边，y随x增⼤大⽽而增⼤大
当a<0时，对称轴左边，y随x增⼤大⽽而增⼤大；对称轴右边，y随x增⼤大⽽而减⼩小
5.⼆二次函数图像画法：
勾画草图关键点：○1开⼝口⽅方向○2对称轴○3顶点○4与x轴交点○5与y轴交点6.图像平移步骤（1）配⽅方
，确定顶点（h,k）
（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减7.⼆二次函数的对称性
⼆二次函数是轴对称图形，有这样⼀一个结论：当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等那么对称轴
8.根据图像判断a,b,c的符号（1）a——开⼝口⽅方向
（2）b——对称轴与a左同右异9.⼆二次函数与⼀一元⼆二次⽅方程的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是⼀一元⼆二次⽅方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便便转化为⼀一元⼆二次⽅方程ax2+bx+c=0
>0时，⼀一元⼆二次⽅方程有两个不不相等的实根，⼆二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，⼀一元⼆二次⽅方程有两个相等的实根，⼆二次函数图像与x轴有⼀一个交点；<0时，⼀一元⼆二次⽅方程有不不等的实根，⼆二次函数图像与x轴没有交点
⼆二次函数知识很容易易与其它知识综合应⽤用，⽽而形成较为复杂的综合题⽬目。因此，以⼆二次函数知识为主的综合性题⽬目是中考的热点考题，往往以⼤大题形式出现．教师在讲解本章内容时应注重培养学⽣生数形结合的思想和独⽴立思考问题的能⼒力力。
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第⼆二⼗十七章相似
⼀一．知识框架
中考数学重点知识点归纳总结分析
⼆二.知识概念：
1.相似三⻆角形：对应⻆角相等，对应边成⽐比例例的两个三⻆角形叫做相似三⻆角形。互为相似形的三⻆角形叫做相似三⻆角形2.相似三⻆角形的判定⽅方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成⽐比例例，对应⻆角相等）
○1.平⾏行行于三⻆角形⼀一边的直线(或两边的延⻓长线)和其他两边相交,所构成的三⻆角形与原三⻆角形相似；
○2.如果⼀一个三⻆角形的两个⻆角与另⼀一个三⻆角形的两个⻆角对应相等,那么这两个三⻆角形相似；
○3.如果两个三⻆角形的两组对应边的⽐比相等,并且相应的夹⻆角相等,那么这两个三⻆角形相似；
○4.如果两个三⻆角形的三组对应边的⽐比相等,那么这两个三⻆角形相似；3.直⻆角三⻆角形相似判定定理理:
1.斜边与⼀一条直⻆角边对应成⽐比例例的两直⻆角三⻆角形相似。○
2.直⻆角三⻆角形被斜边上的⾼高分成的两个直⻆角三⻆角形与原直⻆角三⻆角形相似，并且分成○
的两个直⻆角三⻆角形也相似。4.相似三⻆角形的性质:
1.相似三⻆角形的⼀一切对应线段(对应⾼高、○对应中线、对应⻆角平分线、外接圆半径、
内切圆半径等）的⽐比等于相似⽐比。
2.相似三⻆角形周⻓长的⽐比等于相似⽐比。○
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3.相似三⻆角形⾯面积的⽐比等于相似⽐比的平⽅方。○
本章内容通过对相似三⻆角形的学习，培养学⽣生认识和观察事物的能⼒力力和利利⽤用所学知识解决实际问题的能⼒力力。
第⼆二⼗十⼋八章锐⻆角三⻆角函数
⼀一．知识框架
⼆二．知识概念
1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的⽐比值是∠A的正弦，记作sinA＝
∠A的对边斜边∠A的邻边斜边∠A的对边∠A的邻边∠A的邻边∠A的对边
(2)∠A的邻边与斜边的⽐比值是∠A的余弦，记作cosA＝
(3)∠A的对边与邻边的⽐比值是∠A的正切，记作tanA＝
(4)∠A的邻边与对边的⽐比值是∠A的余切，记作cota＝
2.特殊值的三⻆角函数：
sinacosatanacota13330°3223
221145°
22
13360°3223
本章内容使学⽣生了了解在直⻆角三⻆角形中，锐⻆角的对边与斜边、邻边与斜边、第31⻚页共34⻚页
a
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对边与邻边、邻边与对边的⽐比值是固定的；通过实例例认识正弦、余弦、正切、余切四个三⻆角函数的定义。并能应⽤用这些概念解决⼀一些实际问题。
【三⻆角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的⼀一类函数。它们的本质是任何⻆角的集合与⼀一个⽐比值的集合的变量量之间的映射。通常的三⻆角函数是在平⾯面直⻆角坐标系中定义的。其定义城为整个实数域。另⼀一种定义是在直⻆角三⻆角形中，但并不不完全。现代数学把它们描述成⽆无穷数列列的极限和微分⽅方程的解，将其定义扩展到复数系。
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第⼆二⼗十九章投影与视图
知识框架
本章内容要求学⽣生经历实践探索，了了解投影、投影⾯面、平⾏行行投影和中⼼心投影的概念；会画事物的三视图，学会关注⽣生活中有关投影的数学问题，提⾼高数学的应⽤用意识。教学难点：在投影⾯面上画出平⾯面图形的平⾏行行投影或中⼼心投影。
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