图形计算器加速传统教学方式的改变

一　占　数学教学　２００２年第２期　图形计算器加速传统教学方式的改变　华东师大数学系硕士研究生岳云峰　如果说是因为素质教育和创新的观念逐渐　深入人心，才最终促使教学方式由传统的传授　量．显然跳板越宽、越厚、越短，承受的重量就　越大；而跳板越窄、越薄、越长，则承受的重量　式、变相的灌输式向新型的互动式、探究式转　就会越小．那么如何才能发现承受重量Ｐ与跳　变　那么图形计算器无疑为这一转变过程提供　了良好的载体和有力的工具．因为图形计算器　可以帮助学生把问题形象化，立即检查答案的　有效性　验证他们的假设以及探索解决问题的　不同方式　所以它为积极主动地进行学习提供　了便利，把课堂这个学生们坐在后面、被动地　听老师讲课的场所，演变成一个同班学生之间　共同交流，建立自己的想法和解决方案的地方．　更为重要的是，图形计算器在课堂上的使　用．促进了一种很重要的学习理论—一多重连环　表示法的运用在现代技术条件下，数学概念　可以用数字的、图形的和符号的方式来表示；　数学问题也可以用以上方式来加以解决，这就　是所谓的多重连环表示法．学生通过运用图形　计算器，可以对这些表示法进行自由转换．通　过多重连环表示法的运用，可以提高学生问题　解决的能力和数学理解力，而从认知的角度来　讲，当学生对某个问题有多种方案可供选择时，　他们就更容易记住问题是怎样被解决的．　一、函数概念的学习变得更加全面　在以往的教学中，虽然明确了函数就是自　变量与因变量之间的变化关系　但更多是从已　有的函数关系出发，去加以研究；如果已知变　量之间存在某种确定性的函数关系，让学生在　已有实验数据的基础上，自己总结出函数关系，　那么学生就更能深刻理解函数的实质．　下面我们来观察和分析一个例子：　建筑工地上常常要在脚手架之间搭上跳　板．此时，就需要考虑跳板所能承受的最大重　板的长ｄ、宽＂和厚ｔ之间的函数关系呢７．　为了方便处理，我们先固定两个变量　观　察另一个变量与承受重量Ｐ之间的关系　１）固定ｄ＝ｉ０，　＝２，经测试，得到以下　的数据资料：　Ｉ最大承受重量Ｐ　ｌ　２７　Ｉ　５３　Ｊ　８０　ｌ　ｌＯ７　１３３　１６０　Ｉ　Ｉ　ｌ　通过图形计算器我们可以作出其散点图　（如图１），可以看出散点几乎处在一条直线上．　图１　运用计算器的统计回归功能　马上可以得　到与散点相拟合的直线方程（如图２），即Ｐ＝　２７ｗ　并且可以作出此直线的图象加以验证（如　图３）．这样我们就已经发现了Ｐ和　之间正比　例函数的关系．　图２　图３　我们继续来发现Ｐ和ｔ的关系：　２）固定ｄ＝ｉ０，ｗ＝３　我们有以下的数据　资料：　ｌ跳板的厚度　ｌ　１　Ｉ　２　ｌ　３　ｌ　４　ｌ　５　Ｊ　６　ｌ　相应地作出其散点图（如图４）　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００２年第２期　数学教学　２　３９　用图形计算器在同一直角坐标系中画出这两　个函数的图象，两个图象的交点个数即为方程　解的个数．直线Ｙ：ｇ的位置随０的取值不同　而不同，两个图象的交点个数也随之变化．　图４　我们再运用计算器求交点的功能，可得到　根据学生已有的经验　猜测其变量之间的　直线Ｙ＝４与曲线Ｙ：『　一８ｘ＋１０『相切　于　关系可能为二次函数，故采用二次回归（如图　是我们就简洁地解决了问题．　５），也就是Ｐ：２０ｔ　，我们如果作出Ｐ：２０ｔ　（１）当时０＜０，方程无解；　的图象（如图６），就可以说明前面猜测的正确　（２）当０：０或０＞４时，方程有两个实数　性．　解；　（３）当０＝４时，方程有三个实数解；　（４）当０＜０＜４时，方程有四个实数解．　本题实际上是直线与二次函数的位置关系　问题，方程解的个数问题可以转化为直线与二　图５　图６　次函数的交点问题．图形计算器的出现，不仅　通过类似的方法，我们还可以得出最大承　为解题提供了直观的界面，更为重要的是　它　受重量Ｐ与长度ｄ成反比而且在固定　：３，　还使这种解题思想的具体操作成为可能．　２　ｕ￣，Ｐ：　事实上，我们还可以运用计算器中求函数　ａ　．　由此我们就发现跳板的承受重量Ｐ与跳板　极大值的功能求得曲线的顶点，就可以知道直　的长ｄ，宽　和厚ｔ之间的函数关系应该是Ｐ：　线Ｙ：４与曲线相切．　我们知道，数学中某些方程，倒如超越方　ｋ　｝，这与我们已有的经验相吻合．至于最后　程的解，并不容易通过笔算来获得．这种情况　系数ｋ的确定，可以在前面的资料中任取一组　下，利用求函数图象的交点来解方程是—个重　数据代入，就可求得它的近似值．　要的方法．　这样一种学习函数的方法最大的好处在　例求方程３　＋ｌｇ　＝４的近似解．　于，它给学生提供了由实验数据自已寻找变量　我们在同一坐标中作出Ｙ：ｌｇｘ和Ｙ：　之间的函数关系的途径，并在探索中掌握函数　４—３　的图象，为了方便观察，我们利用计算　关系的实质．当然，这－－１３题中变量之间的变　器的分屏功能，将函数和图象在同一屏幕内显　化关系比较直观，如果遇到比较复杂的函数时，　示．然后直接求得两曲线的交点坐标为　：　这种方法就更能体现其优势．　ｌ－２９５８２，Ｙ：０．１１２５４４（如图７）．所以原方程　二、方程的求解更加直观　的近似解为　＝１．２９５８２，事实上，此解与方程　倒讨论关于　的方程『　一８　＋１０『＝０　的精确解已相差无几．而在过去，这仅仅是停　的实数解的个数．　如果采用讨论　一妇＋１０≥０和　一　留在理论上的一种解题方法　焉　品。ｅＩＲ。　。　靳ｂ　，Ｔ　’　妇＋１０＜０两种情况，将方程化简，再利用判　别式讨论实根的个数，方法是可行的，但过程　复杂．而如果利用构造函数的方法，讨论两个　ｌ　Ａ　囊落　　函数图象的交点个数，从而得到方程解的个数，　则较为简捷．　构造函数Ｙ＝ｆ　一８ｘ＋ｌ０ｆ和Ｙ：ｎ，利　图７　维普资讯 http://www.cqvip.com

２—４ｏ　数学教学　２００２年第２期　三、对曲线的圉象和性质的研究成为可能　然后作出其图象．我们也类似地可以得到，当　在传统的教学手段下　我们对曲线图象的　ｅ＝ｌ时，极坐标方程Ｐ＝　—：　—　变成了　研究，由于不能精确地作出它们的图象，因此　抛物线．而ｅ在的值超过ｌ以后，其图象就变成　只能对其作定性的研究，得出大概的结论．比　了双曲线，并且ｅ越大　双曲线的开口就越大．　如我们在研究圆锥曲线的统一极坐标方程　＝　以上我们就通过几个简单的作图，说明了　ｒ　时，只是确定了在０＜ｅ＜ｌ　ｅ＝　圆锥曲线统一极坐标方程在ｅ的不同取值下的　ｌ，ｅ＞１时分别代表椭圆、抛物线和双曲线，至　变化规律，用同样的方法也可以说明Ｐ的取值　于ｅ和Ｐ的取值不同对曲线形状的影响并不很　对曲线形状的影响．　清楚．而有了图形计算器之后，我们可以对曲　以上列出了用图形计算器解决一些数学问　线进行更为细致的研究　并可　让学生自己动　题的例子，作为一个新生事物，其在数学教与　手，推导出一些结论．下面我们就以ｅ的变化　学中的作用还有待于开发和研究．图形计算器　为例，做初步讨论．　的产生，使我们有了眼前一亮的感觉，它带给　我们先分别取ｅ＝０　４，ｅ＝０．６，ｅ＝０．８，　我们的，不仅是技术上的支持，更多的是思想　在同一屏幕内先后作出其图象　由此我们不难　上的转变．　前一些我们想过，但无法实施的　得到，当ｅ的值在０和１之间变化时，极坐标方　数学思想，甚至于从来没有设想过的方法，都　程Ｐ＝＿　！—　表示的是椭圆，而且ｅ越接　将随着图形计算器的出现而成为了现实．对于　近于０，曲线的形状就越接近于圆；ｅ逐渐由０　学生来讲，他们手中多了一种验证的工具，一　趋近于１时，椭圆越来越扁．　种探索的手段这就意味着传统的教学模式已　我们再分别取ｅ＝１，ｅ＝２，ｅ＝３，ｅ＝４　到急需改变的时刻！　。？。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。　数学问题与解答　２００２年第ｌ期问题解答　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。１　０　５５１．如图１，圆内接四边形ＡＢＣＤ中，　日Ｇ．易知△ＢＨＣ　△ＤＦＣ，．’．ＨＣ＝ＦＣ，　ＢＣ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＤ上的点，线　／ＢＣＨ＝／ＦＣＤ．　段ＥＦ交ＡＣ：Ｔ－Ｇ．若ＥＦｆｆＢＤ，求证：／ＧＢＤ　又由ＢＣ＝ＣＤ知　Ｂ　Ｃ：／ＤＡＣ，．．．　＝ＺＦＣＯ．／ＧＤＢ＝／ＥＣＢ．　器＝丝　．・ＥＧ．’ＥＦｆＢＤ，　＝嚣＝　一‘“　－ＢＨ　　丽　：．…．等　ＢＧｆｆ／／１ＦＨ．－１　‘　记ＦＨ与ＢＤ的交点为Ｍ，则／ＧＢＤ＝　／ＦＭＤ．　由　ＢＧＨ＝　ＦＣＤ知／ＢＣＤ＝／ＦＣＨ，　进而得ＺＢＤＣ＝　ＣＦ日，因此　Ｄ、Ｆ’　Ｍ四点共圆．于是有／ＦＭＤ＝／ＦＣＤ，从而　／ＧＢＤ＝＝／ＦＣＤ．　一　图１　同理可证　ＧＤＢ＝／ＥＣＢ．　证：延长ＡＢ到日，使ＢＨ＝ＦＤ．连Ｆ日　５５２．已知ｎ＞１，ｂ＞１，　∈Ｒ＋，求证：