计入重力弦向分量影响的斜拉索非线性自由振动分析

振第３４卷第１２期　动与冲击　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　计人重力弦向分量影响的斜拉索非线性自由振动分析　袁从森，沈锐利，周凌远，李伟东，官（西南交通大学土木工程学院桥梁系，成都快　６１００３１）　摘　要：为了进一步准确计算斜拉索的自振频率，考虑斜拉索的重力在弦向的分量对斜拉索非线性振动的影响，　分别建立了斜拉索的垂度微分方程和非线性自由振动方程，采用幂级数法求解垂度微分方程，采用伽辽金法把偏微分方　程转化为常微分方程，运用摄动法求得该方程的近似解，并制定了相应的数值计算方法，与理论解进行了比较。研究了考　虑索力变化影响后拉索的振动特性，采用了更精确的函数来逼近垂度悬链线，解决了考虑重力在弦向的分量时，用抛物线　来逼近垂度悬链线时的精度不足的问题。随着索的长度增加，索的总质量也越来越大，因此要考虑斜拉索的重力弦向的　分量对斜拉索的振动的影响。　关键词：斜拉桥；斜拉索；非线性振动；弦向分量　中图分类号：ＴＵ３１７　文献标志码：Ａ　ＤＯＩ：１０．１３４６５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊＶＳ．２０１５．１２．０３４　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒｅｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　ｔａｋｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ａｃｃｏｕｎｔ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｃｈｏｒｄ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｏｆ　ｇｒａｖｉｔｙ　ＹＵＡＮ　Ｃｏｎｇ—ｓｅｎ，ＳＨＥＮ　Ｒｕｉ—ｌｉ，ＺＨＯＵ　Ｌｉｎｇ—ｙｕａｎ，ＬＩ　Ｗｅｉ—ｄｏｎｇ，ＧＵＡＮ　Ｋｕａｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００３１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔａｋｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ａｃｃｏｕｎｔ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｃｈｏｒｄ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｏｆ　ｇｒａｖｉｔｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒｅｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ，ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｍｏｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅ　ｗｅｒｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｔｈｅ　ｓａｇ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒｅｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓａｇ　ｗｅｒｅ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅ　ｓａｇ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｓｏｌｖｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ．Ｇａｌｅｒｋｉｎ’Ｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗａｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｃｏｎｖｅｒｔ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｎｔｏ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ａ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗａｓ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｗｅｒｅ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　ｗｅｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｖａｒｉａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｂｌｅ　ｆｏｒｃｅｓ．Ａ　ｎｅｗ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｃｈｏｓｅｎ　ｔｏ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｔｈｅ　ｃａｔｅｎａｒｙ　ｓａｇ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｐｒｅｃｉｓｅ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｐａｒａｂｏｌａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｔｏｔａｌ　ｍａｓｓ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅ　ｉｎｃｒｅａｓｅｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｅｎｇｔｈ，ＳＯ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｃｈｏｒｄ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｏｆ　ｇｒａｖｉｔｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃａｂｌｅ　ｓｔａｙｅｄ　ｂｒｉｄｇｅｓ；ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ｃｈｏｒｄ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　Ｍａｘ　Ｉｒｉｎｅ…对索结构的动力理论做了较为详尽的　讨论。Ｄｅ　Ｓａ　Ｃａｅｔａｎｏ＿２　对拉索振动理论方法做了较为　全面的总结。吴晓　建立了斜拉桥拉索大幅振动的非　线性动力方程，采用傅里叶级数法研究求解了斜拉索　非线性固有振动方程。刘志军　研究了斜拉索在平面　内的非线性固有振动特性，从考虑抗弯刚度和垂度影　影响，利用哈密顿原理建立了斜拉索的非线性振动微　分方程。李金海－ｏ　在考虑斜拉索非线性静平衡曲线、　抗弯刚度、黏滞阻尼影响的斜拉索平面内非线性振动　的基础上，建立了斜拉索非线性运动方程。付英　在　考虑拉索垂度的情况下建立了深圳湾公路大桥的动力　学模型。李寿英　推导了覆冰拉索的一阶模态驰振的　运动微分方程，并采用龙格一库塔法进行求解，得到了　拉索的驰振响应规律。以上学者在研究过程中用二次　响的斜拉索在平面内发生横向振动的非线性自由振动　方程出发，对斜拉索发生单模态振动进行了分析。赵　跃宇　计人斜拉索的抗弯刚度、垂度和几何非线性的　基金项目：国家自然科学基金资助项目（５１１７８３９６）　收稿日期：２０１３—１１—０１修改稿收到日期：２０１４—０６—２４　第一作者袁从森男，博士生，１９８３年生　抛物线代替垂度悬链线，在建立动力微分方程时，没有　考虑重力在弦向的分量对斜拉索的振动的影响。周晓　东　研究了弹性斜拉索内共振非线性特性，在求斜拉　索的垂度曲线时，考虑了斜拉索重力在平行于弦向方　向上分量的作用；由于该分量的作用，拉索的初始形态　不再是关于弦的中垂线对称的、近似抛物线的形状，而　通信作者沈锐利男，博士，教授，博士生导师，１９６３年生　振动与冲击　２０１５年第３４卷　是非对称的形态；但是其在建立动力平衡方程时没有　考虑斜拉索重力在平行于弦向方向上分量的作用。　一向振动时，有动力平衡方程：　（ｓ。一ｍｇｘｓｉｎ０＋ｓ）　ｄｘ　＋ｓ　般斜拉桥的拉索在发生大幅横向振动时，应该　ｄｘ　一ｍ　ｄｆ　　０（３）考虑斜拉索在振动过程中索力的变化，并且考虑非线　性项。随着索的长度增加，索的总质量也越来越大，受　、、　重力影响，拉索的张力沿弦向变化较大，有必要计人重　警：　＼　如果考虑抗弯刚度，得到：　一Ｅ１　ｄｘ　＋（ｓ０一ｍｇｘｓｉｎＯ＋ｓ）　ｄ　＋　量弦向分量的影响，更加精确地研究长大斜拉索的非　线性振动。　本文假定：只考虑拉索　平面内的振动，且拉索在　方向的振动ｑｔＬ，ｂ，可以忽略不计；斜拉索受到的重力　沿弦长均匀分布。图ｌ所示为研究对象的坐标体系和　＼　结构模型。　＿，图１斜拉索示意图　Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅ　ｓｋｅｔｃｈ　ｏｆ　ａｎ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅ　由于考虑了重力在弦向的分量，用抛物线来逼近　垂度悬链线，精度不够，采用幂级数法求解垂度微分方　程，得到更精确的函数来逼近垂度悬链线。　１斜拉索非线性自由振动微分方程的导出　图１所示的斜拉索，坐标系取弦向ｏｐ方向为　轴，　以垂直于弦向为Ｙ轴且以朝下方为正，坐标原点取支　撑点０。图中０和ｆ分别表示斜拉索的倾角和弦长。　斜拉索的质量是均匀分布的，单位长度的质量为ｍ，Ｙ　（　）为拉索静态的垂度函数。在拉索作横向振动时，其　弦向拉力增值为．Ｓ；　（　，ｔ）为拉索横向振动位移函数，　其方向沿Ｙ轴方向，索的弯曲刚度为　。　考虑重力在弦向（即为　轴方向）的分量，则拉索　的静态弦向拉力将不再是常数，设静态弦向拉力为｜ｓ　，　其表达式为　Ｓ　＝Ｓ０一ｍｇｘｓｉｎＯ　（１）　式中：ｓ　为原点０处拉索的静态弦向拉力。　在自重作用下，首先不考虑斜拉索的抗弯刚度，取　斜拉索的微段来研究，该微段弧长微分为　，忽略高阶　项，拉索的竖向静力平衡方程为：　ｒｌ２　，　（Ｓｏ—ｍｇｘｓｉｎＯ）　＋ｍｇｃｏｓＯ＝０　（２）　Ｕ　式（２）即为垂度微分方程，在此考虑了重力弦向分量的　影响。　参照静力平衡方程的推导，斜拉索在平面内作横　．ｓ　一ｍ　＝０ｏｘ　ｏｔ　（４）　式（４）即为索的动力平衡微分方程。与以前的研　究相比，此微分方程考虑了重力在弦向的分量对斜拉　索的振动的影响。一～　　变形协调方程为：　Ｓ＝竽｛ｆ［÷（　）　ｄ…Ｙ　ｄｒ，／］ｄ　）　（５）　或者也可以采用文献［１０］的变形协调方程，其本　质是一样的。　２微分方程的近似解析解　２．１垂度微分方程的求解　我们得到的垂度微分方程式（２）可以采用幂级数　法求得近似解：　所求的解可以展开成ｘ的幂级数　Ｙ＝ａ０＋ａｌ　＋ａ２ｘ　＋ａ３ｘ　＋…＋ａｎＸ“　利用边界条件　Ｙ（０）＝０，Ｙ（Ｚ）＝０　得到：ａ　＝０和　０１　Ｚ十口２Ｚ　＋口３ｆ　＋…＋ａｎ　＝０　对级数逐项求导，得　＋２　＋３　＋．一　ｎ－１　１等＝２ａ２＋３×２ａ３　＋．．・＋ｎ（ｎ—ｌ　ａ　ｓ。　＝２｜ｓ００２＋３×２Ｓ００３　＋…　ｍｇｓｉｎＯｘ　＝２ｍｇｓｉｎＯａ２　＋　３×２ｍｇｓｉｎＯａ３　＋…　把以上两式代入微分方程，并按Ｘ的升幂集项，得　２Ｓｏａ２＋（３×２Ｓ０ａ３—２ｍｇｓｉｎＯａ２）　＋　（４×３Ｓ０ａ４—３　ｘ　２ｍｇｓｉｎＯａ３）　＋…＋　ｍｇｃｏｓＯ＝０　上式是恒等式，因此方程左端各项的系数全部为　零，于是有　２Ｓｏａ２＋ｍｇｃｏｓＯ＝０　（６）　３×２Ｓ００３—２ｍｇｓｉｎＯａ２＝０　（７）　截断级数，得　ａ１　Ｚ＋口２ｆ　＋０３　Ｚ　＝０　（８）　　第１２期　袁从森等：计入重力弦向分量影响的斜拉索非线性自由振动分析　２０３　联７ｒ式（６）、式（７）、式（８），得　…　＋　一　一　故垂度为　，，＝　２Ｓ　ｎ　１Ｉ１）＋　ｓｉｎＯｃｏｓＯ（　＋手）（・一手）（９）　２．２　索的动力平衡微分方程的摄动解　假设拉索横向振动位移　叼（　，ｔ）＝ｑ　（ｔ）　（　）　（１０）　一般取　（　）＝ｓｉｎ　把式（５）、式（９）和式（１０）代入式（４）中，再利用伽　辽金原理，则式（４）就从关于空间的四阶和关于时间的　二阶偏微分方程转化为关于时间的二阶常微分方程：　）　ｇ３ｏ（ｔ）＝。…）　式中：　Ｏｌ１＝ｔｏｏ　＾　＝　舾　一ｍｇｘｓｉｎＯ　上＂ｍ　，。２（　）　竽　ｄＺ　Ｊ０　ｘ　ｄｘ　一　Ｊｏ　ｄ　２　“　～州　　上ｍ…２（　）　ａ　为线性影响因素，包括抗弯刚度的影响因素、初　拉力（即初始的拉索静态弦向拉力）的影响因素、重力　弦向分力影响因素、索力变化和垂度的线性影响因素。　其中抗弯刚度的影响因素为：　Ｊｆｏ　　肼　ｄ　ｘ’　‘’　（　）　上ｍ　２（　）　初拉力的影响因素为：　Ｉ＝ｆ．ｓ。　上￣ｍ　２（　）　重力弦向分力影响因素为：　ｓｉｎ　圳　ｍ　（　）　索力变化和垂度的线性影响因素为：　Ｚ　Ｊ０　ｄｘ　ｄ　…　３ｏ　ｄ　２　、　州…　　１４　———————■　—————————————一　【ｍ　（　）ｄｘ　式中：　１　ｌ１＋　１２＋　１３＋　１４　：和　，为索力变化和垂度的非线性影响因素：　ＥＡＪ２ｆｒ０ｔｌＩ　＆ｐ．（ｘ）』＼ｚｄ　）　０／２　一　（圳　竽　ｄ　圳　ｌｍ　２（　）　一　０／３　（　）　ｄ　圳　（　Ｌ．Ｐ法是一种一致有效的摄动法，我们利用Ｌ—Ｐ　法…　来解式（１１）。引进一个无量纲的小参数占和　一个新的自变量７－＝ｔｏｔ，其中　为非线性自振频率，是　在开始时尚未确定的　的函数。　假定式（１　１）的解可以表示成形式为　ｇ　（　，８）＝占ｇ　ｌ（丁）＋　ｇｎ２（　）＋　ｇ　（　）＋…　（１２）　假定一个　的展开式：　（８）　＝∞０＋８∞ｌ＋　０３２＋…　（１３）　式（１１）变为：　（　。＋占　１＋２ｃＥＪ２＋…）　｛　（８ｇ　１＋　２占ｇ砣＋　３ｑ柏＋…）＋∑Ｏｔｋ（占ｇ　１＋　２８ｇ　＋　３ｑ以＋…）　＝０　（１４）　根据占的各幂次的系数都等于零，可把非线性微　分方程化为线性的微分方程组，就得到如下微分方　程组：　十ｇｎｌ：０　（１５）　（　）＝－２ｍｏｍ￣挚　，　（　＋ｑｎ３）＝－２ｍＯｍｌ　一　（∞　２＋２０００２）　一　３　３　（１７）　对于初始条件，为简化并且不失一般性，假设初速　度为零，只有初位移。　ｑ　（０，　）＝８ｇ　ｌ（０）＋　２ｇ砣（０）＋ｓ。ｑ　（０）＋…＝　ｏｏａ＋　０＋８　０＋…＝占　＋…　（１８）　振动与冲击　甲：ｑ　ｌ（０）＝ａ，ｇ　（ｏ）＝０，ｇ，ｔ３（０）＝０　２０１５年第３４卷　式（１５）的解为：　ｑ　１＝ａｃｏｓｒ　（１９）　３微分方程的数值解　对于式（１１），我们可以把二阶微分方程的初值问　题转化为一阶方程组来进行数值求解。利用四阶　式中：ａ为常数　将式（１９）代人式（１６）得　Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ—Ｇｉｌｌ法　，可以编写ｃ＋＋控制台程序，进　（　）　晰一　（２ｏ）　行求解。　丢０／２ａ２　Ｅ１＋ｃ。ｓ（２丁）］　４算例　取武汉白沙洲长江大桥Ｃ２４号斜拉索作为算例，　为消去长期项，必须令ＯＪ　＝０。式（２０）的特解为　ｑｑ　　一　【＝～　ｃｔ２ａ［１一÷…（卜寺∞ｓ（２．ｒ）］Ｊ　通解为　ｇ以一　【　一　ｃｏｓ　）］＋　晰＋Ｎ１　ｓ　考虑到初始条件ｑ　：（０）＝０　＝÷　＇Ⅳ１＝ｏ　２ｇ　＝一　【・一＿ｃ１　ｓ０（２训＋　ｃｏｓ　２ｇ　＝一　【　一了２…ｒ一　１　ｃｏｓ　）］　将ｑ　和ｑ　代入式（１６），又因∞。＝０，故得到　（　）＝　２（　口一吾　＋　＋．．。　为消去长期项，必须令　（９ｏｌ３（ｃＪｏ　一ｌＯａ２　）０　——　一　故　ｑ　（ｔ）＝￣ａｃｏｓ（ｔｏｔ）一　１一＿ｃ２。ｓ（　一　１…（２　）＋０（ｓ　）　∞＝　。［１＋　２口　］＋。（　）　设初始位移ｑ　（０）＝Ａ。，即为振幅。　由式（１８），Ｂａ＝Ａ。，所以　￡）：　ｏｓ（　一訾（１一　亏ｃｃ０。ｓ（　一了　）一了ｃ１　ｃ。ｓ　￡（２ｔｏ￡））Ｊ　（２　１）　∞～［　＋　。　】　（２２）　可见斜拉索的非线性自振频率与振幅有关，当振　幅辖大时兽考虑非线件　进行分析。该斜拉索的主要参数为　：索长为　３３１．０１３　６　ｍ，弹性模量Ｅ＝１．９５×ｌ０　ＭＰａ，横截面积Ａ　＝６．２７３×１０　１ＴＩ　，单位长度质量ｍ＝５１．８　ｋｇ／ｍ，拉索　的倾斜角度０＝２４．３９７　６。，初始张力为２　００２　ｋＮ，截面　惯性矩为３．５×１０Ｉ６　ｍ　。假设：对于一阶振型，跨中的　初始振幅是０．９５　ｍ；对于二阶振型，１／４跨的初始振幅　是０．９５　ｍ；对于三阶振型，１／６跨的初始振幅是０．９５　ｉｎ；对于四阶振型，八分之一跨的初始振幅是０．９５　１ＴＩ；　初始速度为零。　通过计算得知，对于一阶自振，抗弯刚度的影响因　素、初拉力的影响因素、重力弦向分力影响因素、索力　变化和垂度的线性影响因素分别为　。　、　：、　，见表１。　可见初拉力的影响最大，其次是索力变化和垂度　的线性影响，再次是重力弦向分力影响，远大于抗弯刚　度的影响因素。　各阶自振的影响因素系数见表１。　表１影响因素　Ｔａｂ．１　Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｆａｃｔｏｒ　阶数　１ｌ　ｌ２　ｌ３　１４　由表１可知，重力弦向分力影响因素一直都大于　抗弯刚度的影响因素，并且从第二阶自振开始，重力弦　向分力影响因素已经大于索力变化和垂度的线性影　响，因此为了提高斜拉索自振分析的精度，应该要考虑　斜拉索的重力弦向分力影响因素。　利用不考虑垂度、索力变化和抗弯刚度影响的标　准弦的线性振动理论和本文非线性理论以及数值方　法，得到跨中位置一阶自振位移图见图２。　从图２可知，对于一阶自振，非线性近似解析解和　非线性数值解基本一致，可见非线性近似解析解是比　较精确的。线性解与非线性解有一定的差别，并且由　第１２期　袁从森等：计入重力弦向分量影响的斜拉索非线性自由振动分析　图２拉索的一阶自振位移图　Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｏｒｄｅｒ　ｎａｔｕｒａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　于重力和非线性的影响，非线性解正振幅值为０．９５０　ｍ，负振幅值为一０．９９４　９　ｍ，上下不对称，波峰明显小　于波谷；而线性解正振幅值为０．９５０　ｍ，负振幅值为　一０．９５０　ｍ，波峰等于波谷。　本文的非线性为几何非线性，细长杆件（细长梁和　索）的几何非线性效应主要包括曲率变化引起的非线　性，杆件伸长造成轴力变化引起的非线性和惯性力造　成的非线性。本文只考虑一个方向的振动，故没有惯　性非线性。曲率变化引起的非线性对应于非线性有限　元中的切线刚度矩阵中的大转角矩阵，杆件伸长造成　轴力变化引起的非线性对应于几何刚度矩阵。对于两　端固定的非线性细长杆件，杆件伸长造成轴力变化引　起的非线性占主导地位。索做大幅自由振动时，索必　然会伸长，引起非线性。此外索的非线性振动公式考　虑了垂度的影响，在重力引起的垂度基础上做振动，从　能量的角度来说，索非线性振动考虑了重力势能的影　响。线性解没有考虑索的伸张造成的索力变化，也没　有考虑垂度，忽略了重力势能的影响。故线性解与非　线性解有一定的差别。　用同样的方法得到二阶到五阶自振位移图，见图３　～图６。对于二阶振型，图３中的振幅对应于拉索的　１／４跨的位置；对于三阶振型，图４中的振幅对应于拉　索的１／６跨的位置；对于四阶振型，图５中的振幅对应　于拉索的１／８跨的位置。　图３拉索的二阶自振位移图　Ｆｉｇ．３　Ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｎａｔｕｒａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　图４拉索的三阶自振位移图　Ｆｉｇ．４　Ｔｈｅ　ｔｈｉｒｄ　ｏｒｄｅｒ　ｎａｔｕｒａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　图５拉索的四阶自振位移图　Ｆｉｇ．５　Ｔｈｅ　ｆｏｕｒｔｈ　ｏｒｄｅｒ　ｎａｔｕｒａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　图６拉索的五阶自振位移图　Ｆｉｇ．６　Ｔｈｅ　ｓｉｘｔｈ　ｏｒｄｅｒ　ｎａｔｕｒａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　从图３～图６可知，对于二阶及其以上阶自振，非　线性近似解析解和非线性数值解几乎完全重合，非线　性近似解析解是足够精确的；此外，非线性解和线性解　差别已经不大了，位移波峰基本等于波谷。　表２频率对比（Ｈｚ）　Ｔａｂ．２　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　振动与冲击　２０１５年第３４卷　利用标准弦的线性理论和本文的非线性理论以及　数值方法，振幅采用上文给出的振幅数值，得到的自振　频率见表２。　由表２可以看出，一阶频率的线性解与非线性解　差别较大，二阶及以上频率的线性解与非线性解差别　较小。该差别原因与图２的线性解和非线性解的差别　原因是一样的。　５　结论　本文通过解析方法和数值方法研究了拉索的大幅　横向振动，得出如下结论：　当斜拉索自振振幅较大时要考虑几何非线性对斜　拉索自振频率的影响，自振振幅较小时可以不考虑几　何非线性。　重力弦向分力影响因素一般都大于抗弯刚度的影　响因素，因此为了提高斜拉索自振分析的精度，应该要　考虑斜拉索的重力弦向分力的影响。　由于考虑了拉索重力在弦向的分量对斜拉索的振　动的影响，采用抛物线来表示垂度悬链线，精度显然不　够，故利用幂级数法求解了更精确的垂度微分方程的　近似解。　非线性近似解析解和非线性数值解基本一致，所　以非线性近似解析解是比较精确的。线性解与非线性　解有一定的差别，并且由于重力和非线性的影响，非线　性解的位移波峰不等于波谷，这与线性的结果是不一　样的。　参考文献　［１］Ｍａｘ　Ｉｒｉｎｅ　Ｈ．Ｃａｂｌｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｔｈｅ　ＭＩＴ　Ｐｒｅｓｓ，１９８１．　［２］Ｄｅ　ｓｄ　Ｃａｅｔａｎｏ　Ｅ．Ｃａｂｌｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｃａｂｌｅ—ｓｔａｙｅｄ　ｂｒｉｄｇｅｓ　［Ｍ］．Ｚｕｒｉｃｈ：ＩＡＢＳＥ，２００７．　［３］吴晓，黎大志，罗佑新．斜拉索非线性固有振动特性分　［Ｊ］．振动与冲击，２００３，２２（３）：３７—３９．　ＷＵ　Ｘｉａｏ，ＬＩ　Ｄａ－ｚｈｉ，ＬＵＯ　Ｙｏｕ—ｘｉｎ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｌｙ　ｎａｔｕｒａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｈｏｃｋ，２００３，２２（３）：３７—３９．　［４］刘志军，陈国平．斜拉索在平面内的非线性固有振动特性　分析［Ｊ］．南京航空航天大学学报，２００７，３９（１）：６５—７０．　ＬＩＵ　Ｚｈｉ－ｊｕｎ，ＣＨＥＮ　Ｇｕｏ—ｐｉｎｇ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｌｙ　ｎａｔｕｒａｌ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｃｈａｒａｃｔｅｉｒｓｔｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅ　ｉｎ　ｐｌａｎｅ『Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２００７，　３９（１）：６５—７０．　［５］赵跃宇，周海兵，金波．弯曲刚度对斜拉索非线性固有频　率的影响［Ｊ］．工程力学，２００８，２５（１）：１９６—２０１．　ＺＨＡＯ　Ｙｕｅ—ｙｕ，ＺＨＯＵ　Ｈａ１．ｂｉｎｇ，ＪＩＮ　Ｂｏ．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｒｉｇｉｄｉｔｙ　ｏｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｎａｔｕｒａｌ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｏｆ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅ［Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００８，２５（１）：１９６—２０２．　［６］李金海，李世兵，张松林．考虑斜拉索刚度、垂度、阻尼的　非线性运动方程研究［Ｊ］．防灾减灾工程学报，２０１０，３０：　２２２—２２５．　ＬＩ　Ｊｉｎ—ｈａｉ，ＬＩ　Ｓｈｉ—ｂｉｎｇ，ＺＨＡＮＧ　Ｓｏｎｇ—ｌｉｎ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍｏｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｔａｋｉｎｇ　ｉｎｔｏ　ａｃｃｏｕｎｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ，ｓａｇ，ｄａｍｐ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｄｉｓａｓｔｅｒ　Ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｍｉｔｉｇａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒ，２０１０，３０：２２２　—２２５．　［７］付英．基础激励下桥梁斜拉索的非线性振动［Ｊ］．动力学　与控制学报，２０１０，８（１）：５７—６１．　ＦＵ　Ｙｉｎｇ．Ｔｈｅ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｓｔｉｍｕｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，　２０１０．８（１）：５７—６１．　［８］李寿英，黄韬．覆冰斜拉索驰振稳定性的理论研究［Ｊ］．　振动与冲击，２０１３，３２（１）：１２２—１２７．　ＬＩ　Ｓｈｏｕ—ｙｉｎｇ，ＨＵＡＮＧ　Ｔａｏ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｇａｌｌｏｐｉｎｇ　ｓｔｂａｉｌｉｔｙ　ｆｏｒ　ｓｔａｙ　ｃａｂｌｅｓ　ｗｉｔｈ　ｉｃｅｄ　ａｃｃｒｅｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｈｏｃｋ，２０１３，３２（１）：１２２—１２７．　［９］周晓东，阎绍泽，诸福磊．斜拉索ｌ：２内共振非线性特性　分析［Ｊ］．清华大学学报，２０１１，５１（５）：６０７—６１１．　ＺＨＯＵ　Ｘｉａｏ—ｄｏｎｇ，ＹＡＮ　Ｓｈａｏ—ｚｅ，ＺＨＵ　Ｆｕ—ｌｅｉ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｏｎｅ・・ｔｏ－・ｔｗｏ　ｉｎｔｅｒｎａｌ　ｒｅｓｏｎａｎｃｅ　ｉｎ　ｔａｕｔ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｉｎｃｌｉｎｅｄ　ｃａｂｌｅｓ［Ｊ］．Ｔｓｉｎｇｈｕａ　Ｕｎｉｖ．２０１１，５１（５）：　６０７—６１１．　［１０］Ｗａｇｇ　Ｄ，Ｎｅｉｌｄ　Ｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０１０．　『１１１　Ｎａｙｆｅｈ　Ａ　Ｈ，Ｍｏｏｋ　Ｄ　Ｔ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ　Ｉｎｔｅｒｓｅｉｅｎｅｅ，１９７９．　［１２］黄安基．非线性振动［Ｍ］．成都：西南交通大学出版　社，１９９３，　［１３］高希．数值方法［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００８．　［１４］吉姆辛Ｎ　Ｊ．缆索支承桥梁概念与设计［Ｍ］．２版．金增　洪，译．北京：人民交通出版社，２００２．