三角函数的图象和性质与反三角函数

三角函數： 正弦, 餘弦, 正切, 正割, 餘割, 餘切

正弦（英文：Sine）是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]。它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為(4n+1)π/2〔n為整數〕時，該函數有極大值1；在自變數為(4n+3)π/2時，該函數有極小值-1。正弦函數是奇函數，其圖像關於原點對稱。

正弦函數(藍色)被對中心為原點的全圓的它的 5 次泰勒級數(粉紅色)緊密逼近

兩個角的和及差的正弦

二倍角公式

三倍角公式

半形公式

和差化積公式

萬能公式

餘弦是三角函數的一種。它的定義域是整個實數集，值域是[-1,1]。它是周期函數，其最小正周期為2π。在自變數為2π（n為整數）時，該函數有極大值1；在自變數為(2n+1)π時，該函數有極小值-1。餘弦函數是偶函數，其圖像關於y軸對稱。

兩個角的和及差的餘弦

二倍角公式

三倍角公式

半形公式

冪簡約公式

和差化積公式

萬能公式

例題1: (a) (b) (a)

描繪 y = cos (x + ) 在區間 0  x  2 的圖像。 由此，解 cos (x + ) = 0， 其中 0  x  2。

(b)

從上圖所得，

當x =

π 或 5cos (x +π) = 0 44,4

例題2: (a)

在同一圖中描繪 y = 2 cos x + 1 及 y = 2 sin 的圖像，

其中 0  x  360

(b) 由此，用圖像法解方程

2 cos x – 2 sin + 1 = 0， 其中 0  x  360。 答案準確至最接近

(a)

(b) 從圖像可得，x = 81 或 279 (準確至最接近)

習題:

1. 下圖所示為 y = sin 3x + 1 的圖像，其中 0°  x  360°。

(a) 求 y 的極大值和極小值。 解: y=

(b) y = sin 3x + 1 是一個周期函數嗎? 若是的話，求它的周期。

2. 下圖所示為 y = sin x 的圖像。

試在圖中加上適當的直線，從而解下列各方程，其中 0°  x  360°。 (a) sin x = –1 (b) sin x = –0.5

3. 利用圖解法解 tan 3x = –1，其中 0°  x  360°。

4. 利用圖解法解 sin x = cos 2x，其中 0°  x  360°。

5考慮下圖中的

△ABC。

求 。

由此，證明 △ABC 是一個等腰三角形。

6. 下圖所示為 y = cos 3x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程 cos 3x – 1 =

0，其中 0  x  360。

7. 下圖所示為 y = sin 3x – cos 2x 的圖像。試在圖中加上適當的直線，從而解方程

2 sin 3x = 1 + 2 cos 2x，其中 0  x  360。

8. 下圖所示為 y = cos 3x 及 y = cos x的圖像。解方程 cos 3x = cos x，其中 0  x  360。

線的方程。

(a) 2 sin x + 3 cos x + 2 = 0 (b) 2 sin x = – 3 cos x (c) 4 sin x + 6 cos x = –1

9. 假設已知 y = 2 sin x + 3 cos x – 2的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直

10. 假設已知 y3 sin xcos x4 的圖像。求在解下列各方程時，應在圖像中加上的直線的方程。

(a)

3 sin xcos x2

(b) cos x3 sin x

(c)

3 sin x 3 cos x53

11. 對於函數 y = 3 cos 2x，

(a) 繪畫它的圖像，其中 0  x  360；

(b) 求它的極大值和極小值；

(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期。

12. 對於函數 y = cos 3x + 1，

(a) 繪畫它的圖像，其中 0  x  360；

(b) 求它的極大值和極小值；

(c) 判斷它是否周期函數； 若是的話，求它的周期

13. 利用圖解法解方程 sin (x30)1，其中 0  x  360。 2

14. 利用圖解法解方程 cos 2x

1，其中 0  x  360。 2 15. (a)

利用圖解法解方程cos x + sin x = 1，其中 0  x  360

(b) 由此，解 cos (x + 30) + sin (x + 30) = 1，其中 0  x  360。

選擇題: 16.

上圖為下列哪個函數的圖像? A. B. C. D. 17.y

y2sinx ysinx1 y2sin2x ysin2x1

2sin3x (03x360) 的圖像的最高點是 32A. 90,。

3B. C.

230,。

320,。 32D. 180,。

3 18. .

上圖為下列哪個函數的圖像?

A. B. C. D.

y2cos(x45) ycos(2x45) y2cos(x45) ycos(2x45)

19.下圖所示為周期函數 yf(x)。

20. 下圖所示為周期函數 yg(x)。

yf(x) 的周期是 A. 30。 B.

60。 C. 90。 D. 120。

yg(x) 的周期是 A. 30。 B.

60。 C. 90。 D. 120。

21. 假設已知 y2cos3sin3 的圖像。 以下哪一項是不正確的?

A. 在該圖像中加上 y3 的圖像，可解2cos3sin0。

B. 在該圖像中加上 y3 的圖像，可解 2cos3sin6。

3C. 在該圖像中加上 ysin 的圖像，可解 cossin。

2D. 在該圖像中加上 ycos 的圖像，可解 cossin1。

反三角函數

預備知識

(正弦函數、余弦函數、正切函數的定義、圖象及性質 (已知三角函數值，求角 (誘導公式 重點 (反正弦函數

(已知三角函數值，在指定範圍內求角 難點

(反正弦函數的概念

(已知三角函數值，在指定範圍內求角 學習要求

(了解反三角函數的概念和圖象，掌握反三角函數的記號 (掌握已知三角函數值利用電算機求角的方法，並應用誘導公式將 角轉化為指定範圍內的角 (會解任意三角形

1. 反正弦函數 (1)反正弦函數的定義 先來探討正弦函數

y=sinx, x((-(, +() (1)

的反函數問題．你已經在§6.1中學習了y=f(x) 存在反函數的條件，是x, y之間必須一一對應，反映在圖象上，那就是任一平行於x軸的直線與函數圖象的交點不能多於一個．正弦函數在其定義域(-(, +()中顯然不滿足這些條件．如 sin

6=

11，sin(2k+)=sin((2k-1)-)=, k Z，

6622因此对应关系不是一一对应的；从图象上看就更明显了，如图6-19所示，直线y=1与正弦

2曲线有无限多个交点．因此正弦函數(1)的反函數是不存在的﹗ y 但是若把x限制在 sinx的局部區間內，例

1 x -2 -3/2 - -/2 O /2  3/2 2 如在[-,]内，考虑

-1 22图6-19

函数 y=sinx, x[-

22,] (2)

因為它在定義域上單調增加，反函數是存在的(圖6-19)．把值域是[-1, 1]的函數(2)(注意它不是正弦函數)的反函數稱為反正弦函數．

我们已经知道，“sin”本来就是一个函数记号，你一看见函数sinx，尽管没有具体

的x的数学式，但立即能知道函数值是表示什么；函数(2)的反函数的含义也十分明确：与[-1,1]中的任一y对应的是[-

,]内唯一使sinx=y成立的那个x．但x無法表示為一個y的數學

22式．因此我們用一個特殊的函數記號 “arcsin” 來標記．即函數(2)的直接反函數是 x=arcsiny, y([-1, 1]，

而常規反函數則是

y=arcsinx, x([-1,1] (6-4-1)

按照通用函數記號表示，y=f(x)的常用反函數用y=f 1(x)表示，因此，在很多場合，我們又把函數(2)的反函數，即反正弦函數表示為

y=sin 1x, x([-1,1] (6-4-2) (注意不要把sin 1x與正弦函數值sinx的-1次冪混淆，後者表示為 (sinx) 1．) 反正弦函数(6-4-1)的值域是[-

22,

]，只要把函数(2)的图象，关于直线y=x作对称，就

是反正弦函数(6-4-1)的图象(见图6-20)． -/2

y /21-1 y=arcsinx y=sinx x 1 y P x O M O -1 -/2 图6-20

x A 1 /2 图6-21

注意，根據弧長公式s= r(x (r為半徑，x為弧所對中心角的弧度)，在單位圓上(見圖6-21)，x既是角度，又反映對應弧AP的長度，而sinx是正弦線MP．AP的長度>MP的長度，即 (sinx(<(x(，

表現下圖象上，在x>0部分(即y軸的右側)，y=sinx的圖象總是在直線y=x之下；在x<0部分(即y軸的左側)，y=sinx的圖象則總是在直線y=x之上．而反函數y=arcsinx的圖象與直線y=x的相對關係則相反．你在作圖時務必注意這一特點． (2)求反正弦函數函數值

既然 “arcsin”僅是一個函數記號，y=arcsinx沒有表示為一個x的具體數學式，那麼怎么求它的函數值呢？其实这个问题就是在第四章的 “已知三角函数函数值求角”问题，因此对[-1,1]中的任一x，你可以用计算器求得在[-,]的y．我們先複習一下．

22 例1 求下列反三角函數的函數值(保留4個有效數字)︰ (1)arcsin(-0.866)； (2)arcsin

35； (3)arcsin； (4)arcsin223． 5解 用MODE鍵，把角度調成RAD (弧度製)狀態，然後用電算機求角． (1)按鍵順序 0.866 +/- 2ndF sin 1 顯示-1.047 146 746，所以 arcsin(-0.866)(-1.047

(2)按鍵順序 3 ( ( 2 = 2ndF sin-1 ，顯示1.047 197 551，所以 arcsin

3=1.047 ▍ 2 (事实上，因为sin (3)因为

33=, 所以 arcsin=，这两种结果是一致的．)

232355>1，所以不在arcsinx的定义域[-1,1]内，本题题目错误(你可以强行在22计算器上操作一下，看看得到什么结果？)

(4)按鍵順序 3 ( 5 = ( 2ndF sin 1 ，顯示0.886 077 123，所以 arcsin課內練習1

1. 求下列反正弦函數的函數值(保留4個有效數字)︰ (1)arcsin0.766； (2)arcsin

22； (3)arcsin2； (4)arcsin36． 32830.8861 ▍

5 (3)已知正弦函數值，求指定範圍內的角 你可以用计算器算一下，sin

5=0.5．现在提一个相反的问题：求x使 sinx=0.5．你至6少立即会用两种不同办法得到x．能记住一批特殊角三角函数值的，可以不假思索地回答

x=

6；记不住的，也会用计算器得到相同的结果．但是你的答案并不是我所希望的，我现

在要你得到的答案就是x=

5，而不是其它任何值．对这种解答要求，你的计算器就无用武6之地了，因为计算器总是求反正弦函数的函数值，因此所得到的x总是在反正弦函数的值域[-

,]里面． 22這種解答要求是不是有點過分？一點也不，實際問題中有時就會有這種要求．例如在△ABC

中，已知AB=4,

AC=3, sin=

3，且AB是最大边，求 8(見圖6-22)． 應用正弦定理，得到

sinsin1  sin = 0.5． 438图6-22中可见 显然是钝角，(

2, )，所以不应该是=

6，而是=

5！ 6 把上面的問題一般化︰已知sinx=a(a是已知值且a([-1,1])，在指定區間內求x．如果指定区间恰好是反正弦函数的值域，也就是在[-

,]范围内，那就是求反正弦函数的函数值问22题，用计算器完全可以解决问题；如果指定区间不是反正弦函数的值域，那有没有办法求呢？ 回到最初提出的問題上來．其實使sinx=0.5的x是有規律的︰我們畫出y=sinx的圖象，作直線y=0.5．由圖6-23可見直線與正弦曲線有無限個交點，使sinx=0.5的x值，就是這些交點的橫座標．你可以找到一个靠近圆点处交点的横坐标是x=由電算機直接求得的 aercsin0.5的值；有了這個 值，只要根據正弦曲線的

对称性，你不难在(0, )内写出另一个交点的x值是-

6，这是

6=

5． 6 在指定區間[(,(]內求x，使sinx=a，也可以類似地分兩步︰ 第一步 求出arcsin a；

第二步 作出正弦曲線和直線y=a，觀察在區間[(,(]內的交點，寫出這些交點的橫座標，便是所求全部x了．

例2 求下列各題中指定區間範圍的x︰ (1)sinx=

13, 求x[,]； (2)sinx=0.9511, 求x[-2,2]；

2223]；(4) sinx=-0.788, 求x[2,4]． 2 (3)sinx=-0.788, 求x[,

解 (1) 第一步 arcsin1=；

263 第二步 作出正弦曲线及y=1的图象(见图6-23)，在[,]内只有一个交点，它对

222应的x=-

6=

55．所以x= ▍ 662； 5 (2)第一步 arcsin(-0.9511)=-1.2566576-0.4= -

第二步 作出正弦曲線及y= -0.9511的圖象(見圖6-24)，在[-2(,2(]內另外還有三個交點，依次寫出它們的橫座標為

--(-

232728)= -， - (-)=，2+( -)=．

555555所以所求的解集為 {-

3278, -,,} ▍

55553]内只有一个交点，对2 (3)第一步 arcsin(-0.788)= -0.9076；

第二步 作出正弦曲线及y=-0.788的图象(见图6-25)，在[,应的横坐标x=+0.9076．所以所求解为x=+0.9076 ▍

(4)第一步及作圖同(3)；

第二步，從圖6-26中可見，在區間[2(,4(]內有兩個交點，這兩點的橫座標為3(+0.9076和4(-0.90763．

所以所求解集為{3(+0.9076, 4(-0.9076} 課內練習2

1. 求下列各題中指定範圍內的x︰ (1)sinx=

y 1 - -0.9076  +0.9076 O y= - 0.788   3/2 x -1 图6-25

33, x[,]； (2)sinx=0.5878, x[2,4]； 222 (3)sinx= -, x[-2,2]； (4)sinx= -0.9877, x[

2. 反余弦函數

比照反正弦函數來討論反余弦函數．

(1)反余弦函數定義 余弦函數 y=cosx, x((-(, +() 不存在反函數(見 圖6-27，想一想，

1257,]． 22為什麼？)．

考慮值域為[-1,1]的函數

y=cosx, x([0, (] (3)

它在定義域內單調減小，因此反函數存在．函數(3)的反函數稱為反余弦函數，用記號 “arccos”表示，

y=arccosx, x([- 1,1] (6-4-4) 或 y=cos 1x, x([-1,1] (6-4-5) 它的值域是[0, (]，它的圖象是函數 (3)的圖象關於直線y=x的對稱(見 圖6-28)．

(2)求反余弦函數的函數值 求反余弦函數的函數值，也是 第四章中已知三角函數值求角問題， 因此也可用電算機來求． 1. 求下列反余弦函數的函數值︰ (1)arccos(-0.8090)；(2)arccos0.8480． (3)已知cosx值，在指定範圍內求x

設cosx=a, a([-1,1]，若x([0, (]，則x=arccos a；若在某指定區間[(,(]內求x，使cosx=a，與反正弦函數相仿，只要配輔助圖，便可以準確地找到答案． 例4 求下列各題中指定區間範圍內的x︰

(1)cosx=-0.5376，求x([0, 2(]； (2)cosx=-0.8090，求x([-2(, -(]． 解 (1)在例3中已求得 arccos(-0.5376)=

25． 36 作出余弦曲線y=cosx和直 線y=-0.5376(見圖6-29)，可見在 [0, 2]内有两个交点，其横坐标一个是{

252547，另一个是2-=．所以所求解集为

3636362547,} ▍ 3636 (2)先使用電算機求arccos(-0.8090) ．按鍵順序為 0.8090 +/- 2ndF cos-1

显示144，表示arccos(-0.8090)=144，即arccos(-0.8090)=144

4=． 1805 作出余弦曲线y=cosx和直线y=-0.8090(见图6-30)，可见在[-2, -]内仅有一个交点，其横坐标是-2+

64= -． 55 y 1 因此，所求解為

- O -1 图6-30

-2 y=-0.8090   x x= -

6 ▍ 5課內練習4

1. 在指定區間內求x:

(1)cosx=0.7431，求x([2(, 4(]； (2)cosx=-0.8829，求x([-3(, -(]．

3. 反正切函數

有了反正弦函數、反余弦函數的基礎，對反正切函數的處理，你不應該有什麼困難了． (1)反正切函數定義 正切函数 y=tan x, xk+

2, (kZ)， y 在其定義域上，不存在反函數(見圖6-31)． 考慮值域為(-(,+()的函數

-/2 -3/2 - /2 x  3/2 y=tan x, x(-

,) (4)

22O 它在定義域內單調增加，因此存在反 函數．稱(4)的反函數為反正切函數， 記作

y=arctan x, x((-(,+() (6-4-7) 或 y=tan 1x, x((-(,+() (6-4-8) 反正切函数的值域是(-

图6-31

,)；图象

22是函數(4)的圖象關於直線y=x的對稱 (見圖6-32)． 注意，当x(-

22,

)，tanx表示

單位圓上正切線AT，而 (x( 表示圓弧段AP長，從圖6-33可以看出正切線AT長>圓弧段AP長，所以 (x(<(tan x(

在圖象上，在y軸的右側，y=tanx的圖象在直線y=x之上；在y軸的左側，y=tanx的圖象在直線y=x之下；反函數

y=arctan x 的圖象與y=x的相對關係與此 相反．在作圖時務必注意這一特點． (2)求反正切函數的函數值

求反正切函數的函數值，也是第四章 中已知三角函數值求角問題，因此也可用 電算機來求．

例5 求下列各反正切函數的函數值︰

(1)arctan3； (2)arctan(-0.2679)． 解 (1)因为tan

=3，所以 arctan3= ▍ 33–1

(2)電算機上用MODE鍵，把角度製調到DEG ，然後按鍵 0.2679 +/- 2ndF tan 顯示–15， 即 arctan(-0.2679)= –15= -15課內練習5

1. 求下列反正切函數的函數值︰ (1)arctan(-

180= -

 ▍ 123)； (2)arctan(-1.6)． 322,

)，则x=arctan a；若在某指定区间 [,]内求x，使tanx=a，

(3)已知tanx值，在指定區間範圍內求x 已知tanx=a，若x(-

画如同反正弦、反余弦时那样的辅助图，便可获得结果. 例6 求下列各題指定區間內的x︰

(1)tan x=3，求x[-,]； (2)tan x=-0.2679，求x[,3]． 解 (1)在例5中已求得arctan3=

3．

画出y=tanx和y=3的图象(见图6-34)，在[-,]内有两个交点，它们的横坐标是y -+

3和

3= -

2． 3y=tanx  /2 2所以所求解集为{-,} ▍ 33 (2)在例5中已求得arctan(-0.2679)= -

畫出y=tanx和y=-0.2679的圖象(見圖6-35)， 在[,3]内有两个交点，它们的横坐标是2+(-所以所求解为{課內練習6

1. 求下列各題中指定區間範圍內 的x︰ (1)arctan(--/12 - ． 12O /2 /3 x 图6-34

)=23, 3+(-)=35．

121212122335,} ▍ 1212y /2 O  2 3 x 3)，求x[-2,0]； 3图6-35

(2)arctan(-1.6)，求x([-3(,-(]．

4. 求三角形內角

在第四章你已學習了正弦定理、余弦定理，並能利用它們解決解斜三角形問題──已知斜三角形的一些邊、角，求其餘的邊、角．但那時有意識地避開了下面這類問題︰已知兩邊及其中一邊的對角(即兩邊一對角)，求解三角形。因为解这类问题的第一步，就需要用正弦定理，而已知正弦函数值，在(0,)范围内(三角形内角可以是钝角)求角时，可以有两个解：一个在(0,

2)，即锐角，另一个在(

2,)，即钝角．這一原因在第四章時已經明確地指

出過︰問題的解可能不只一個．現下，在學習了已知三角函數值，求指定區間內角的方法後，就可以解這類斜三角形問題了．

例7 在△ABC中，已知AB=4, AC=3, (=45(，求BC及其餘內角(見圖6-35)

解 這正是在第四章所迴避的兩邊一對角問題,第一步應該用正弦定理(見圖6-35)． 設(BAC=(，(BCA=(．由正弦定理 sinsin

4344222 sin=sin， 3323得 =arcsin

221.2310rad=70.53 (锐角) 3221.9106rad 3B  4

或 =-arcsin

=109.47((鈍角)． 若(=70.53( (見圖6-35(2))， 則 (=180( -45(- 70.53((64.47((64(28(． 再應用余弦定理 得 BC(3.8283；

若(=109.47( (見圖6-35(1))，則 (=180( -45(- 109.47((25.53((25(32(． 再應用余弦定理

BC2=AB2+AC 2-2AB(BC(cos( =16+9-24(cos((3.3436， 得 BC(1.8285． 所以，本題有二解︰

C 

3

图6-35(2)



A BC2=AB2+AC2-2AB(BC(cos( =16+9-24(cos((14.656，

( (70(32(, ((64(28(, BC(3.8283，(見圖6-35(2)，是銳角三角形)； ( (109.47(, ((25.53(, BC(1.8285，(見圖6-35(1)，是鈍角三角形)． 課內練習7

1. 在⊿ABC中，已知AB=8, BC=3, =

6，

求AC及其餘內角(見附圖，保留四個有

效數字)． 課外練習

A組

1. 求下列反三角函數的函數值︰ (1)arcsin(-3)； (2)arcsin0.9205； (3)arcsin(-1)； 22 (4)arccos0.9511； (5)arctan0.7265； (6)arctan3.0777． 2. 根據下列條件求角(︰(若有小數，保留四個有效數字) (1)sin(= -0.3256，0((((360(； (2)sin(=0.7880，(([0,2(]； (3)cos(=0.8829，0((((360(； (4)cos(=-0.7314，(([0,2(]；

 (5)tan=3.732，90<<90； (6)tan=2，(-,)．

2233. 在△ABC中，已知(C=41(，b=36,c=28．求(A, (B 及a(保留四個有效 數字)．

4. 在△ABC中，已知(B=45(，b=30,c=25．求(A, (C及a(保留四個有效 數字)．

5. 已知△ABC中，a=17,b=21,c=27，求(A, (B, (C(保留四個有效數字)．

B組

1. 根據下列條件求角((若有小數，保留四個有效數字)︰ (1)sin=-

133，[,2]； (2)sin=，[2,4]；

222 (3)sin(=-0.7314，-360((((0(； (4)cos(=0.9703，90((((360(； (5)tan=-

3， 3<<5

222. 在△ABC中，已知(C=50(，a=16,b=18．求(A,(B及c(保留四個有效 數字)．

3. 在△ABC中，已知(B=27(，a=25,b=30．求(A,(C及c(保留四個有效

數字)．

C組

1. 已知x滿足下列條件，求x︰

(1)3sinx-4=0； (2)2cos2x-1=0； (3)2sin2x-5sinx-3=0；

2. 已知⊿ABC中，A=45，c=102，在a分别为20, 10,

相應的(C．

本章小結

1. 反函數一般概念 定義 表203时，求 3 y=f(x),x(D,y(M. 若(y(M, 存在唯一x(D，使f(x)=y，則稱函數y=f(x)存在反函數 y=f(x)的直接反函數記作x=f-1(y)；對調x,y後所成的常規反函數 原來函數y=f(x)，定義域x(D，值域y(M； 直接反函數x=f-1(y)的定義域y(M，值域x(D； 常規反函數y=f-1(x)的定義域x(M，值域y(D； 示 為y=f-1(x) 關 系 存 在 條 件 求 x=f-1(y)的圖象與y=f(x)的圖象重合, 對應方向相反； y=f-1(x)的圖象與y=f(x)的圖象關於直線y=x對稱． (1)函數y=f(x),x(D,y(M存在反函數( f︰D(M為1,1映射，即x(D, y(M按法則f是1,1對應的． (2)函數y=f(x),x(D,y(M存在反函數( y=f(x)的圖象與任何平行於x軸的直線的交點不多於一個． (3)若y=f(x)在x(D時是單調的，則反函數存在． 若y=f(x),x(D反函數存在，且以解析法表示，則求出值域M，從法 y=f(x)解x為y的式子，並對調x,y，即得以M為定義域的反函數．

2. 對數函數和對數 項目 內 容 對 數 函 數 特例 常用對數函數lgx=log10x； 自然對數函數lnx=logex (e為無理常數,e(2.71828)． 定義 指數函數y=ax(a>0,a(1, x(R, y((0,+()的反函數，稱為以a為底的對數函數，記作y=logax, x((0,+() 圖象 對 數 函 數 性質 (1)定義域{x|x(R,x>0}，值域R． (2)任意a (a>0,a(1)，y=logax的圖象經過點(1,0) ． (3)當a>1, y=logax單調增加，且 在01,y>0； 當00，當x無限接近於0，圖象向上無限 延伸靠近y軸； 在x>1,y<0． (4)當x>1，底數增大，對數減小；當00) ，log aa x=x, (xR)． 由此可得基本結果︰ logaa=1, (a>0, a(1) , loga1=0, (a>0, a(1)． 任意a>0且a(1, M,N>0, b(R，有 運算 logaM+logaN=loga(M(N) 性質 logaM-logaN=loga(M(N) b(logaM=logaMb 任意a, b, c>0且a1, c1, logab=logcb logca  任意a, b>0且a1, b1, logab= lgb,lnb︰使用電算機求值； 1 logba計算

logab︰換底為常用對數或自然對數的商，再使用電算機 3. 反三角函數

(1)定義和圖象 名稱 定 義 定義域 值 域 圖 象 y=arcsinx(或y=sin-1x) 反正弦 函數 (y=sinx, x[-的反函數) [-1,1] [-,] 22,] 22 反余弦 函數 y=arccosx(或y=cos-1x) (y=cosx, x([0,(]的反 函數) (-[-1,1] [0,(] y=arctanx(或y=tan-1x) 反正切 函數 (y=tanx, x(-的反函數) ,) 22(-(,+() ,) 22(2)已知三角函數值sinx=a(或cosx=a,或tanx=a)，求指定範圍[(,(]內的角 指定範圍在反三角函數的值域內(即[(,(]是反三角函數值域的子集)，可 用電算機直接求得；

指定範圍超出反三角函數的值域，則求出三角函數圖象與直線y=a交 點的橫座標在[(,(]上的集合，即可確定解集．

(3)解斜三角形問題─已知兩邊一對角情況應用正弦定理求出另一對角(可能

有二解) ( 求出第三個內角 ( 應用正弦定理(或余弦定理)求出第三邊．

實習軟體題 1. 对a=

11111357911,,,,,,,,,，作出对数函数y=logax的图象，考 10864222222 察圖象的改變規律．

2. 作出y=arcsinx+arccosx的圖象，你能對令人驚奇的圖象作出解釋嗎？