初中数学动点问题归纳

动点问题

题型方法归纳

动态几何特点-———问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市)直线y3x6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发，同4y B 时到达A点,运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A、B两点的坐标；

（2)设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间 的函数关系式； (3）当SP O Q A x 48时,求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐5标．

解：1、A(8，0) B（0，6)

2

2、当0＜t＜3时，S=t

当3＜t＜8时,S=3／8(8-t)t

提示：第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类——---①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直径;

(2)若D是AB延长线上一点,连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0t2)，连结EF,当t为何值时，△BEF为直角三角形．

C A A E O C F B

A O C F E B

O 图（1）

B D 图（2）

第 1 页 共 11 页

图（3）

注意：第(3)问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图,已知抛物线ya(x1)233(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s),连接PQ，当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小. 二、

特殊四边形边上动点

A O Q B x y D P M C 4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，B60°．从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿

ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间

为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定：点和线段是面积为O的三角形）,．．．．

C D 解答下列问题：

（1)点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；

P B A Q (2)点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是 秒；

（3)求y与x之间的函数关系式．

提示:第（3）问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ； 提醒-——-- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、(2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形,点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式;

（2)连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的

y 取值范围）； y A （3)在(2)的条件H B 下，A H B 当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求

第 2 页 共 11 页 M M x x C O C O 图（1）

图（2）

此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

注意:第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类;

第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中， ∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值. 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0）,B（33，2),C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒． （1)求∠ABC的度数； (2)当t为何值时,AB∥DF;

（3）设四边形AEFD的面积为S． ①求S关于t的函数关系式；

2

②若一抛物线y=x+mx经过动点E,当S〈23时,求m的取值范围(写出答案即可)．

注意：发现特殊性,DE∥OA

7、（07黄冈)已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且

∠AOC=60°,点B的坐标是(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0t8)秒后，直线PQ交OB于点D。 (1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B,C三点的抛物线的解析式; （3)当a3,OD式;

C P D A y B Q 43时，求t的值及此时直线PQ的解析3O x (4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明. 8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，以O为原点建立平面直角坐标系，AOC∥AB，，B，C0)B(810)，，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个三点的坐标分别为A(8，，

第 3 页 共 11 页

单位的速度，沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒． （1)求直线BC的解析式；

2？ 7（3）动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（2）若动点P在线段OA上移动,当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的

（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．

y C D B y C D B

P x A 9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中，抛物线O O A （此题备用）

x 14yx2x10与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B。

189过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O，C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒) （1)求A，B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; （3)当0＜t＜

9时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是，请说明理由； 2（4）当t为何值时,△PQF为等腰三角形？请写出解答过程． 提示：第(3）问用相似比的代换,

得PF=OA(定值)。

第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ，③QF=PF. 三、 直线上动点

8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数yaxbxc（a0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴

20)、C(0，3)，且当x4和x2时二次相交于点C．连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(3，函数的函数值y相等．

（1)求实数a，b，c的值;

（2)若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时,连结MN，将△BMN沿MN翻折,B 点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标；

（3)在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B，N，Q为项y P C N M O B 点的三角形 第 4 页 共 11 页

A x

与△ABC相似？如果存在,请求出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由．

提示:第（2）问发现

特殊角∠CAB=30°，∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM为菱形;

第（3）问注意到△ABC为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与△ABC相似的△BNQ ，再判

断是否在对称轴上.

9、（2009眉山）如图，已知直线y点D，抛物线y1x1与y轴交于点A，与x轴交于212xbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两2点,且B点坐标为 （1，0）. ⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大,求出点M的坐标。

提示：第（2)问按直角位置分类讨论后画出图形———-①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P,②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时,作法同②；

第（3）问,三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、(2009年兰州)如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为（0，10）,（8，4), 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时,两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3）在（1）中当t为何值时,△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运

动时，OP与PQ能否相等，若能,写出所有符合条件的t的值；若不能,请说明理由．

第 5 页 共 11 页

注意：第(4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”. 11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为

1A6,0，B6,0，C0,43，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于

2点E。

（1）求D点的坐标；

（2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；

(3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)

题”专题。 12、（2009年上海市)

D A P 提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；

第（３)问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°。见“最短路线问

A

P D A P Q PQAD图1

（如图1所示）． PCABB C

（Q） B

C

图2

B Q 图3

D

已知∠ABC=90°,AB=2，BC=3,AD∥

BC,P为线段BD上的动点,点QC 在射线AB上，且满足

（1）当AD=2,且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

S△APQ3（2）在图8中,联结AP．当AD，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，y,其中

2S△PBCS△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域;

第 6 页 共 11 页

(3)当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示），求QPC的大小．

注意：第（2)问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值,然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值； 当P与D重合时，x获得最大值。

第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解. 13、（08宜昌）如图,在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T,若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E,F恰好分别在边BC,AC上． （1)△ABC与△SBR是否相似，说明理由； （2)请你探索线段TS与PA的长度之间的关系； (3）设边AB＝1,当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

BB

RTRTSS

EE

PP

ACAFF C(第13题) (第13题)

提示：第（3）问,关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。

14、(2009年河北）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；

(2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） (3）在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．

B

E Q

D

A P C 第 7 页 共 11 页

提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形， ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；

(４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形， ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时， ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

15、（2009年包头）已知二次函数yaxbxc（a0）的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线xm（m2）与x轴交于点D． （1)求二次函数的解析式；

（2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）;

（3)在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由． 提示：

第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；

第（3）问,四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。

四、 抛物线上动点

16、（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A(1，0）和点B (－3，0）,与y轴交于点C． （1) 求抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．

（3） 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

2

注意:第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标———-①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组）,再求面积

第 8 页 共 11 页

17、(2009年黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE1，抛物线yaxbx4过A、D、F三点．

（1)求抛物线的解析式；

（2)Q是抛物线上D、F间的一点,过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若

23S四边形AFQMS△FQN，则判断四边形AFQM的形状；

2(3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且APPH，若存在,

请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

y

注意：第（2）问，发现并利用好NM∥FA且NM＝FA;

第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰.需分类讨论,先画出合适的图形，再证明

三年共同点:

①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形;

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式); ④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形,再根据图形性质探究答案。

B F C E A x O D 第 9 页 共 11 页

“坐标几何题”（动点问题）分析

动个问背点数题景 特上殊移菱动 形两边特梯上考难查点 探形究 相似三角探形数 考 点 ①②函③线④⑤菱特数求解相不 直析似等线式三式、 角 形 抛物形殊性质角 三角①解②面示③形数性 特 点 ①的△形②度③角角论究④角相程⑤围求菱特形殊是菱是等个参究时同画 过过比用用a、度相，得a、不t的似转出t等值三化方范式。 ，图数含形底腰动字相按分60°; 角三点母似对类,再为角速. 三应讨探①形征补积②到间类③形件探在 殊形移究面关求析四积 动面④质观构适表 动拐分 画必的究性 出备图其矩条形存点点段按时分 察造当示图特割面①特角②动③殊点点长④角化方⑤角图边论度通形相程探形，再相）等 直殊是点 线性动（D、；动是过过似。究时探分 等腰究（类三画按讨,先中两E线定 似得三,转出度比相的个是段值特交定PF，角的动梯（带形一 线动是底三积矩角函形直三动三积系直式边的 形表 角函式线 ①点②边③形④角求坐探形探面探形抛标究 究积究存动是等在三定腰性 角值三 物 平行四线顶角边抛直上探形物角移究 线梯动等中形 腰三角特底殊边两07 个 08 一个 两09 个 AOB. 一是探形不;先。通形似. 利出,运45°）30°的PF=OA）

广东中考题（2003)

第 10 页 共 11 页

第 11 页 共 11 页