一．单项选择题（本大题共9小题，每题4分共36分）
1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（ ） A．∅ B．{2} C．{0} D．{﹣2} 2．函数y=
的值域是（ ）
D．（1，+∞）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（0，+∞） 3．下列函数中哪个与函数y=x相等（ ） A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
4．若函数f（x）=x2﹣ax+2（a为常数）在[1，+∞）上单调递增，则a∈（ ） A．[1，+∞） B．C．D．[2，+∞） （﹣∞，1] （﹣∞，2]
5．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（ ） A．y= B．y=e﹣x 6．函数y=A．[1，+∞）
B．（
C．y=1﹣x2 D．y=lg|x|
的定义域是（ ） ） C．
D．（﹣∞，1]
7．函数f（x）=的图象（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
8．已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（ ） A．±2 B．2 C．﹣2 D．4
9．两个函数y=2x﹣1+1与y=2﹣x的图象的交点横坐标为x0，则x0∈（ ） A．（﹣1，0）
B．（0，） C．（，1） D．（1，）
二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分） 11．设函数f（x）=
，则f（3）= ．
12．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为 ．
13．已知t为常数，函数y=|x2﹣4x﹣t|在区间[0，6]上的最大值为10，则t= ．
14．已知集合A={a2，a+1，3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}．当A∩B={3}，则实数a= ．
三．解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（8分）计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤） （1）0.027
﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣3﹣1+（
）0；
（2）（log3）2+[log3（1++）+log3（1+﹣）]•log43． 16．（9分）设函数f（x）=lg（2+x）﹣lg（2﹣x）． （1）求f（x）的定义域； （2）判定f（x）的奇偶性． 17．（9分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}． （1）若a=2，求M∩（∁RN）；
（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围． 18． （9分）已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围． 19．（9分）设函数f（x）=x+（a为常数，且a＞0）．
（1）是否存在常数a，使f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若关于x的不等式x+﹣m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，求常数m的取值范围．
高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共9小题，每题4分共36分）
1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（ ） A．∅ B．{2} C．{0} D．{﹣2} 【考点】交集及其运算．
【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项． 【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}， ∴A∩B={2}． 故选B 2．函数y=A．[0，+∞）
的值域是（ ）
B．[1，+∞） C．D．（0，+∞） （1，+∞）
【考点】函数的值域．
【分析】通过函数的解析式，直接得到函数的值域即可． 【解答】解：函数y=
可知：
，即y≥1．
所以函数的值域为：[1，+∞）． 故选：B．
3．下列函数中哪个与函数y=x相等（ ） A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． 【解答】解：A．y=数． B．y=C．y=D．y=
的定义域是{x|x≠0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函数． =|x|与y=x的对应法则、值域皆不同，故不是同一函数． =x与y=x是同一函数．
的定义域是{x|x≥0}，而函数y=x的定义域R，故不是同一函
故选：D．
4．若函数f（x）=x2﹣ax+2（a为常数）在[1，+∞）上单调递增，则a∈（ ） A．[1，+∞） B．C．D．[2，+∞） （﹣∞，1] （﹣∞，2] 【考点】二次函数的性质．
【分析】求出函数的对称轴，得到函数的递增区间，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣ax+2的单调增区间为[，+∞）， 又函数f（x）=x2﹣ax+1在区间[1，+∞）上为单调递增函数， 知[1，+∞）是它递增区间的子区间， ∴≤1，解得：a≤2，
故选：C．
5．下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（ ） A．y= B．y=e﹣x
C．y=1﹣x2 D．y=lg|x|
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】逐一考查各个选项中函数的奇偶性、以及在区间（﹣∞，0）上的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于y=是奇函数，故排除A；
由于y=e﹣x不满足f（﹣x）=f（x），不是偶函数，故排除B；
由于函数f（x）=﹣x2+1是偶函数，且满足在（﹣∞，0）上是单调递增函数，故C不满足条件；
由于y=lg|x|，有f（﹣x）=f（x）是偶函数，且在区间（﹣∞，0）上，f（x）=lgx是单调递减，故D正确； 故选：D． 6．函数y=
的定义域是（ ）
A．[1，+∞） B．（） C． D．（﹣∞，1]
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 【分析】函数
的定义域是：{x|
}，由此能求出
函数
【解答】解：函数
的定义域．
的定义域是：
{x|}，
即{x|}，
解得{x|故选C．
7．函数f（x）=
}．
的图象（ ）
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称 【考点】奇偶函数图象的对称性．
【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断． 【解答】解：因为
═
=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f ，所以f（﹣x）（x），
所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称． 故选A．
8．已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（ ） A．±2 B．2 C．﹣2 D．4 【考点】函数的值． 【分析】设，则x=（t﹣1）2，t≥1，从而f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，由此能求出a．
【解答】解：∵f（+1）=x+2，且f（a）=3， 设，则x=（t﹣1）2，t≥1， ∴f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1， ∴a2﹣1=3，
解得a=2或a=﹣2（舍）． 故选：B．
9．两个函数y=2x﹣1+1与y=2﹣x的图象的交点横坐标为x0，则x0∈（ ） A．（﹣1，0）
B．（0，） C．（，1） D．（1，）
【考点】函数的图象．
【分析】构造新函数f（x）=2x﹣1+x﹣1，依据零点存在条件即可找出正确答案． 【解答】解：设f（x）=2x﹣1+1﹣（2﹣x）=2x﹣1+x﹣1， ∵f（0）=+0﹣1=﹣＜0， ∴f（）=
+﹣1＞0，
∴f（0）•f（）＜0，
∴f（x）的零点所在的区间为（0，），
故两个函数y=2x﹣1+1与y=2﹣x的图象的交点横坐标为x0，则x0∈（0，）， 故选：B
二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分） 11．设函数f（x）=
，则f（3）= 16 ．
【考点】函数的值．
【分析】由3＜6，得f（3）=f（5）=f（7），由此能求出结果． 【解答】解：函数f（x）=
，
∴f（3）=f（5）=f（7）=3×7﹣5=16． 故答案为：16．
12．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为 1或﹣1或0 ． 【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，我们易得到集合A是集合B的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m的值．
【解答】解：∵A∪B=A， ∴B⊆A
当m=0时，B=∅满足条件
当m≠∅时，B={1}，或B={﹣1} 即m=1，或m=﹣1
故m的值为：1或﹣1或0 故答案：1或﹣1或0
13．已知t为常数，函数y=|x2﹣4x﹣t|在区间[0，6]上的最大值为10，则t= 2或6 ． 【考点】带绝对值的函数．
【分析】根据函数y=|（x﹣2）2﹣t﹣4|在区间[0，6]上的最大值为10，可得（6﹣2）2﹣t﹣4=10，或t+4=10，由此求得t的值．
【解答】解：∵函数y=|x2﹣4x﹣t|=|（x﹣2）2﹣t﹣4|在区间[0，6]上的最大值为10， 故有（6﹣2）2﹣t﹣4=10，或t+4=10，求得t=2，或t=6， 故答案为：2或6．
14．已知集合A={a2，a+1，3}，B={a﹣3，2a﹣1，a2+1}．当A∩B={3}，则实数a= 6，或
．
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】由题意可得可得3∈B，分a﹣3=3、2a﹣1=3、a2+1=3三种情况，分别求出a的值，并检验，从而求得a的值．
【解答】解：由A∩B={3}可得3∈B．当a﹣3=3，可得a=6，此时，集合A={36，7，3}，B={3，11，37}，满足条件．
当2a﹣1=3，a=2，此时，集合A={4，3，3}，不满足条件集合中元素的互异性． 当a2+1=3，a=，此时，集合A={2，1±，3}，B={±﹣3，±2﹣1，3}，满足条件．
综上可得，a=6，或， 故答案为 6，或．
三．解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤） （1）0.027
﹣（﹣）﹣2+2560.75﹣3﹣1+（
）0；
）]•log43．
（2）（log3）2+[log3（1++）+log3（1+﹣【考点】对数的运算性质． 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出； （2）利用对数的运算法则和换底公式即可得出． 【解答】解：（1）原式=（2）原式==+
﹣62+
﹣+1=•log43
﹣36+64﹣+1=32．
=
=
=1．
16．设函数f（x）=lg（2+x）﹣lg（2﹣x）． （1）求f（x）的定义域；
（2）判定f（x）的奇偶性．
【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质． 【分析】（1）对数函数的真数要大于0，即可求出定义域． （2）根据奇偶性的定义及性质直接判断即可． 【解答】解：（1）由题意：可得：解得：﹣2＜x＜2，
∴f（x）的定义域为[﹣2，2]．
（2）由（1）可知定义域关于原点对称． 由f（x）=lg（2+x）﹣lg（2﹣x）．
那么：f（﹣x）=lg（2﹣x）﹣lg（2+x） =﹣[lg（2+x）﹣lg（2﹣x）] =﹣f（x）
所以：f（x）是奇函数．
17．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}． （1）若a=2，求M∩（∁RN）；
（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．
【考点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算． 【分析】（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，由此能求出M∩（CRN）． （Ⅱ）由M∪N=M，得N⊂M，由此能求出实数a的取值范围． 【解答】（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}， CRN={x|x＜3或x＞5}，
所以M∩（CRN）={x|﹣2≤x＜3}． （Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M， ①a+1＞2a+1，解得a＜0；
，
②，解得0≤a≤2．
所以a≤2．
18．已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11． （1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围． 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）f（1）=5可得c=3﹣a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f（x）的解析表达式；
（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，gmin（x）=g（1）=4﹣2m≥0，解得m的取值范围．
（2）法二：不等式f（x）﹣2mx≥1恒成立等价于2m﹣2≤x+在[1，2]上恒成立．只需求出（x+）min．
【解答】解：（1）∵f（1）=5 ∴5=a+c+2，即c=3﹣a， 又∵6＜f（2）＜11 ∴6＜4a+c+4＜11， ∴∴
又∵a∈N*， ∴a=1，c=2．
所以f（x）=x2+2x+2．
（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得： 当m﹣1≤1即m≤2时，gmin（x）=g（1）=4﹣2m≥0，此时m≤2； 当1＜m﹣1＜2即2＜m＜3时，△≤0，解得：无解；
当m﹣1≥2即m≥3时，gmin（x）=g（2）=9﹣4m≥0，此时无解． 综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]． 法二：由已知得，由于所以
故2（m﹣1）≤2， 即m≤2．
19．设函数f（x）=x+（a为常数，且a＞0）．
（1）是否存在常数a，使f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若关于x的不等式x+﹣m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，求常数m的取值范围．
【考点】对勾函数． 【分析】（1）求导根据函数的单调性得到函数的零点为x=3，即可求出a的值，
（2）根据函数的单调性分类讨论即可求出函数f（x）的最大值，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x+（a为常数，且a＞0），x≠0，
在[1，2]上单调递增，
，
在x∈[1，2]上恒成立．
，
∴f′（x）=1﹣=，
∵f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增，
∴x=3时函数的一个极值点，
∴9﹣a=0， 解得a=9，
（2）不等式x+﹣m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立， 即m≥x+在[1，4]上恒成立，
∵f′（x）=1﹣=，
当0＜a≤1时，f′（x）≥0恒成立， ∴f（x）在[1，4]上单调递增， ∴f（x）max=f（4）=4+，
当a≥16时，
f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）在[1，4]上单调递减， ∴f（x）max=f（1）=1+a， 当1＜a＜16时，
令f′（x）=0，解得x=，此时1＜＜4，
当f′（x）＞0时，即＜x≤4时，函数单调递增， 当f′（x）＜0时，即1≤x＜时，函数单调递减， 若1+a≥4+a，即4≤a＜16时，f（x）max=f（1）=1+a， 若1+a＜4+a，即1＜a＜4时，f（x）max=f（4）=4+， 综上所述：当0＜a≤4时，f（x）max=4+， 当a＞4时，f（x）max=1+a，
所以m的取值范围为，当0＜a≤4时，m≥4+， 当a＞4时，m≥1+a．
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