2010-2011第一学期线性代数期末试卷A(1)及答案

专业 科 级（ 年级 学期）

学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师

《线性代数》期末闭卷考试题

（下述 一 — 四 题全作计100分， 两小时完卷） 考试日期：

试 题 全 文：

遵守考场纪律，防止一念之差贻误终生。 一、 填空题（共5小题，每题2分）

212111= 21、112、设A是mn矩阵，B是pm矩阵，则ATBT是______矩阵。 3、设、线性无关，则k+、线性无关的充要条件是_______。 4、设、为n维非零列向量，则R(T)=_________。 5、设3阶矩阵A-1的特征值为-1、2、1，则A=_____。 二、选择题（共10小题，每题2分）

1、设A、B为n阶矩阵，则下列说法正确的是（ ）

（A）、AB=B+A(B)= （C）、ATTT （B）AB=BA

AB （D）若ABA，则BE

2、若某个线性方程组相应的齐次线性方程组仅有零解，则该线性方程组（ ） （A)、有无穷解 （B)、有唯一解 （C)、无解 （D）、以上都不对 3、一个向量组的极大线性无关组（ ）

（A)、个数唯一 （B)、个数不唯一

（C)、所含向量个数唯一 (D)、所含向量个数不唯一 4、若3阶方阵A与B相似，且A的特征值为2、3、5，则B-E=（ ）。 (A)、 30 （B)、 8 （C)、11 (D)、7

5、若mn矩阵A的秩为m,则方程组AXB（ ）。 （A)、有唯一解 （B）、有无穷解 (C)、有解 （D)、 可能无解 6、设A为3阶方阵，且A12，则A12A*=( )。

（A)、 8 （B)、16 （C)、10 (D)、12

7、已知行列式D的第一行元素都是4，且D=-12，则D中第一行元素代数余子式之和为（ ）。

（A)、0 （B)、-3 （C)、-12 （D)、4 8、设A、B都是正定矩阵，则（ ） （A)、AB,A+B一定都是正定矩阵

（B)、AB是正定矩阵，A+B不是正定矩阵

（C)、AB不一定是正定矩阵，A+B是正定矩阵 （D)、AB、A+B都不是正定矩阵

9、设A是n阶方阵，且AkO(k是正整数)，则（ ）

（A）、AO （B）、A有一个不为零的特征值 (C)、 A的特征值全为零 （D）、A有n个线性无关的特征向量 10、已知2阶实对称矩阵A满足A23A2EO，则A（ ） （A)、正定 （B)、半正定 （C）、负定 （D)、不定

三、计算题（共8小题，每题8分）

1、计算四阶行列式

00k1

001k1k00k100

12、设A1101100，且A*BA2BA2E，求B 1

k3、设A111k111，求R(A) k

4、考虑向量组

1572230111 ,,,, 1234504214603121 (1) 求向量组的秩;

(2) 求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大线性无关组表示.

TTT5、设α(1,b2,α2b), (1,2,0), α(1,α2,3α), α312β(1,3,3), 试讨论当a,b为何值时,

T(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;

(Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;

(Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.

16、设A1124a33有一个2重特征值，求a的值并讨论A是否可对角化。 5

7、利用正交变换法化实二次型

22f(x1,x2,x3)x12x2x32x1x22x2x32x1x3

为标准型，并求出相应的正交变换。

2228、设f(x1,x2,x3)x1x25x32ax1x22x1x34x2x3

为正定二次型，求a

四、证明题（本题6分）

设A、B为mn矩阵，证明A与B等价的充要条件为R(A)R(B)。

《线性代数》（周四）期末闭卷考试题（A卷）

一、 填空题

1、0 2、np 3、k0 4、1 5、12

二、选择题

1、B 2、D 3、C 4、B 5、C 6、B 7、B 8、C 9、C 10、A 三、计算题

0001k1k00k100(1)41、

0k11kkk111k…………………………………..4分

22 (1k)………………………………..4分

B2AB8E2、 A………………………………..2分 B8(AE2)A………………………………..2分 010 AE2A210………………………………..2分

2212 B44k1k111(k2)(k1)…………………………..2分 k2102400………………………………..2分 23、 111且k2当k时，R(A)3…………………………..2分

当k1时，R(A)1…………………………..2分 当k2时，R(A)2…………………………..2分

12104100231310131…………………………..2分 30017304、214032101516201000010向量组的秩为3…………………………..2分

极大线性无关组为…………………………..2分 、、123…………………………..1分 41233311512…………………………..1分

3321

5、

111111112a2b230ab103aa2b300ab0...........................3分

当a0且ab时，β可由α1,α2,α3唯一地线性表示

(1)121a1a...........................2分

当a0时，不能由

1、2、3线性表示.................1分 1、2、3线性表示，且表示不唯一

当ab0 时，可由

16、11233(2)(8183)a0…………………………..2

24a5分

第一种情况是2是二重特征值，此时a2，另外一个特征值为6…………………………..1分

2第二中情况是有两个相同的根，此时a8183a023，二重特征值

为4…………………………..1分

231231EA123000,即R当a2时，2，所以(2EA)1000312此时A可对角化…………………………..2分 32当a时，4EA13120233，所以A不可对角3，此时R(4EA)21化…………………………..2分 17、二次型矩阵为A1111111…………………………..2分 1由

2EA(3)0得

A的特征值为

0，1233…………………………..2分 解

方

程

组

(0EAX)，

T得其基础解系为

X(1,1,0),X(1,0,1) 12T标

^准正

^交化为

TT1,1,01,01X(),X(,)…………………………122222..1分

T解方程组(，得其基础解系为X (1,1,1)3EA)X3单位化为X(1,33^1,3T1)…………………………..1分 3另

^QX12^X2X3^,

XQY，得

..2分 f(1y,2y,y)…………………………3y33 8、

1aa1…………………………..2分 1a11a0242(5a4a)0a0 a12…………………………..4分

51251a1所以45a0…………………………..2分

四、证明题 证明：

（必要性）初等变换不改变矩阵的秩，所以RA()R(B)…………………………..2分

Er（充分性）设R，则A、B的标准型都为(A)R(B)rOO…………………..2O分

Er即A、B都与OO等价，从而A与B等价。…………………………..2分 O