一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z=1+2i，则A．5
=（ ）
B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i
2
2．已知集合A={x|x﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（ ） A．{x|﹣2＜x＜2}
B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜3}
D．{x|﹣1＜x＜2}
3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2
4．若点P为抛物线y=2x上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（ ） A．2
B． C． D．
5．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（ ） A．9
B．15 C．18 D．30
6．平面内的动点（x，y）满足约束条件 ，则z=2x+y的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．[4，+∞） D．[﹣2，2] 7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于A．4
，则n的最小值为（ ） B．5
C．6
D．7 在
上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=
9．若方程（ ） A．
B．
C．
D．
10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）
A． B． C． D．
，
11．已知向量2]，则A．
，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，
的取值范围是（ ）
B．
C．
D．
12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三
角形的三边长，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，6） B．（，6） C．（，5） D．（，5）
二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．
13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答）．
14．函数f（x）=e•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是 ．
x
15．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= ．
16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐
近线相交于A，B两点，若
，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（12分）已知点P（
，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=
•
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．
18．（12分）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
分[50，[60，[70，[80，[90，
值
60） 70） 80） 90） 100]
区
女性用户
间 频数
男性用户
分[50，[60，[70，[80，[90，
20
40
80
50
10
值60） 70） 80） 90） 区间 频数
45
75
90
60
100]
30
（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点． （1）求证：PD⊥平面ABE； （2）若F为AB中点，的余弦值为
．
，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B
20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的
左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．
21．（12分）已知函数（1）求f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为
．
（t为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程； （2）若曲线C2的参数方程为
（α为参数），曲线C1上点P的极角为
，
Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1． （1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z=1+2i，则A．5
=（ ）
B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i
【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】由已知直接利用【解答】解：∵z=1+2i，∴故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．已知集合A={x|x﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（ ） A．{x|﹣2＜x＜2}
B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜3}
D．{x|﹣1＜x＜2}
2
2
求解． =|z|=
．
【考点】交集及其运算．
【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B． 【解答】解：集合A={x|x﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
2
B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}． 故选：D．
【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出． 【解答】解：由p⇒q，反之不成立． ∴p是q的充分不必要条件． 故选：A．
【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．若点P为抛物线y=2x上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（ ）
2
A．2 B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线y=2x上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d， 抛物线的方程为y=2x，即x=y，
2
2
2
其准线方程为：y=﹣，
分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，
即|PF|的最小值为， 故选：D．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．
5．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（ ） A．9
B．15 C．18 D．30
【考点】数列的求和．
【分析】利用等差数列的通项公式可得an．及其数列{an}的前n项和Sn．令an≥0，解得n，分类讨论即可得出．
【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列．
∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7． 数列{an}的前n项和Sn=
=n﹣6n．
2
令an=2n﹣7≥0，解得∴n≤3时，|an|=﹣an． n≥4时，|an|=an．
．
则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=6﹣6×6﹣2（3﹣6×3）=18．
2
2
故选：C．
【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．平面内的动点（x，y）满足约束条件
，则z=2x+y的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，4] C．[4，+∞） D．[﹣2，2] 【考点】简单线性规划． 【分析】画出满足约束条件
的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后
利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围． 【解答】解：满足约束条件得A（1，2）
当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．
的平面区域如下图所示：由图可知
解
故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4] 故选：B．
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键．
7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
的平
A．4 B．8 C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．
【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2， 所以几何体的体积是：故选D．
【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．
8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于A．4
，则n的最小值为（ ） B．5
C．6
D．7
=．
【考点】互斥事件的概率加法公式． 【分析】由题意，1﹣
≥
，即可求出n的最小值．
【解答】解：由题意，1﹣∴n的最小值为4， 故选A．
≥，∴n≥4，
【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础． 9．若方程
在
上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=
（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】正弦函数的对称性．
【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，
由此求得x1+x2 值． 【解答】解：∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，
方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，
∴=，
则x1+x2=故选：C．
，
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m的值，当足条件|a﹣b|＜d，输出m的值为．
【解答】解：输入a=1，b=2，m=，
f（1）=﹣1＜0，f（m）=f（＞0，f（1）f（m）＜0，
a=1，b=，|1﹣|=＞，
m=，f（1）=﹣1，f（m）=f（）＜0，f（1）f（m）＞0，
a=，b=，|﹣|=＞，m=，
f（a）=f（）＜0，f（m）=f（）＜0，f（a）f（m）＞0，
a=，b=，|﹣|=＜0.2，
m=
时，满
退出循环，输出m=故选：A．
，
【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S，k的值是解题的关键，属于基础题．
11．已知向量2]，则A．
，
，
（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，
的取值范围是（ ）
B．
C．
D．
【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得再由向量模的计算公式可得
=
，可以令t=
=（3m+n，m﹣3n），
，将m+n∈[1，
2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=0）的距离，进而可得t的取值范围，又由【解答】解：根据题意，向量
=（3m+n，m﹣3n），
则令t=
=
，则
=
=t，
， ，
=
表示区域中任意一点与原点（0，t，分析可得答案． ，
而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图， t=
表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，
分析可得：又由故
≤
=
≤t＜2， t， ＜2
；
故选：B．
【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出达式．
12．对函数f（x）=
的表
，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三
角形的三边长，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，6） B．（，6） C．（，5） D．（，5） 【考点】三角函数的化简求值．
【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+
）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+
＜2（m﹣1）即可，由此能
求出结果，综合可得结论． 【解答】解：函数f（x）=某个三角形的三边长， 当m=2时，f（x）=
=1，
，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为
此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立． 当m＞2时，f（x）∈[1+
，m﹣1]，
只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．
当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，
只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，
综上，实数m的取值范围（，5）， 故选：C．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．
二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．
13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 48 种不同的分法（用数字作答）．
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有可得出结论．
【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有∴共有8×6=48种不同的分法． 故答案为48．
【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．
14．函数f（x）=e•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是 y=x ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵f（x）=e•sinx，f′（x）=e（sinx+cosx），（2分） f′（0）=1，f（0）=0，
∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为 y﹣0=1×（x﹣0）， 即y=x（4分）． 故答案为：y=x．
x
x
x
=6种情况，即
=6种情况，
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
15．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4= 30 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16， ∴2a1（1+q+q）=a1（8+3q），解得a1=q=2． 则S4=
=30．
2
=16，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．过双曲线
﹣
=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐
近线相交于A，B两点，若【考点】双曲线的简单性质．
，则双曲线的离心率为 ．
【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=运用离心率公式即可得到； 方法二、设过左焦点F作
的垂线方程为
，联立渐近线方程，求得交
，求得渐近线的斜率，
点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．
【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得
，
则Rt△OAB中，∠AOB=，
渐近线OB的斜率k==tan=，
即离心率e===．
解法二：设过左焦点F作的垂线方程为
联立，解得，，
联立，解得，，
又，∴yB=﹣2yA∴3b=a，
22
所以离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（12分）（•沈阳二模）已知点P（函数f（x）=
•．
，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）==﹣
cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+
=π；
•=（
，1）•（
﹣cosx
，1﹣sinx）
）+4，
f（x）的最小正周期T=
（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=又∵BC=3， ∴9=（b+c）﹣bc． ∵bc≤
，
2
，
∴∴b+c≤2
，
，当且仅当b=c取等号，
．
∴三角形周长最大值为3+2
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．
18．（12分）（•沈阳二模）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：
分[50，[60，[70，[80，[90，
值
60） 70） 80） 90） 100]
区
女性用户
间 频
20
40
80
50
10
数
男性用户
分[50，[60，[70，[80，[90，值60） 70） 80） 90） 区间 频数
（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；
（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，
100]
45 75 90 60 30
其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，
对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10， 其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01， 直方图如图所示：
，
由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人， 其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人， 记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，
且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；
所以X的分布列为 X P
1
2
3
X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．
【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变
量的分布列及数学期望的问题，是综合题．
19．（12分）（•沈阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点． （1）求证：PD⊥平面ABE； （2）若F为AB中点，的余弦值为
．
，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．
（II） 以A为原点，以
为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣
BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB， 又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以BDP，令|AB|=2，
为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣
则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），2λ，2﹣2λ）
设平面PFM的法向量
，
，即
，
，
，
，M（2λ，
设平面BFM的法向量，，
即，
，解得．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考
查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）（•沈阳二模）已知F1，F2分别是长轴长为2
的椭圆C：
+
=1
（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．
【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆Q的长轴长为2
，求出a=
，设P（x0，y0），通过直线
PA与OM的斜率之积恒为，﹣．化简求出b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=2
，则a=
，设P（x0，y0），
∵直线PA与OM的斜率之积恒为﹣，∴×=﹣，
∴+=1，
∴b=1， 椭圆C的方程
；
（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆方程：，得：（2k+1）x+4kx+2k﹣2=0，
2222
则x1+x2=﹣，x1x2=，
则y1+y2=k（x1+x2+2）=，
∴AB中点Q（﹣，），
QN直线方程为：y﹣=﹣（x+）=﹣x﹣，
∴N（﹣∴0＜2k＜1，
•
2
，0），由已知得﹣＜﹣＜0，
∴|AB|==•
=•=（1+），
∵＜＜12k2+1＜1，
∴|AB|∈（，2），
线段AB长的取值范围（，2）．
【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中档题．
21．（12分）（•沈阳二模）已知函数（1）求f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可； （2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（1）f′（x）=
，f（x）的定义域是（0，+∞），
．
x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．
（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：
只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）． 设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），
，
，
∴F（x）＞F（0）=0，
故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）， 即f（e+x）＞f（e﹣x），
（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e， 由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2）， 又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减， ∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e， ∴
，∴f'（x0）＜0．
【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）（•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参
数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程； （2）若曲线C2的参数方程为
（α为参数），曲线C1上点P的极角为
，
Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直
2
线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．
（2），直角坐标为（2，2），
，利用点到直线的距离公式及其三角函
数的单调性可得最大值．
【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ=4ρcosθ，
2
可得直角坐标方程：．
直线l的参数方程为（t为参数），
消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0． （
2
）
，
直
角
坐
标
为
（
2
，
2
）
，
，
∴M到l的距离≤，
从而最大值为．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1． （1）求证：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值． 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；
（2）法一，二：问题转化为
≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出
的最
小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，
∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，
∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，
∴a+=1，2a+b=2；
法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，
显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（）=a+，
∴a+=1，2a+b=2．
（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，
=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），
当a=b=时，取得最小值，
∴≥t，即实数t的最大值为； 方法二：∵a+2b≥tab恒成立， ∴
≥t恒成立，
t≤=+恒成立，
+=+≥=，
∴≥t，即实数t的最大值为； 方法三：∵a+2b≥tab恒成立， ∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立， ∴2ta﹣（3+2t）a+4≥0恒成立， ∴（3+2t）﹣326≤0，
∴≤t≤，实数t的最大值为．
【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．
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