(2)不等式的证明(一)

【知识点精讲】

1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：

①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

ab0。

说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。

2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证

明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。 基本不等式：(1)若a0,b0,则

ab222ab2ab21a1b 当且仅当a=b时取等号。

(2)a,bR, (3)a,b同号,

aba2b122ab当且仅当ab时取等号

ba当且仅当ab时取等号3. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

4. 重点难点: 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。

5. 思维方式: 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证

明。 6. 特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。 【例题选讲】

例1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a

证明：p= a2+b2+1-ab-a=[(a2abb)(a2a1)b1]=[(ab)(a1)b1]

22222221122显然p>0 ∴得证

[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断 例2、P87例1. 设a0,b0,求证(a21b)2(b2111a)2a2b2.

【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。 【证法一】左边-右边=

(a)(b)ab(ab)(aabb)ab33(ab)

=

ab(ab)

=

(ab)(a2abb)ab =

(ab)(aabb)20 ∴原不等式成立。

【证法二】左边>0，右边>0。 左边右边(ab)(aab(aabb)b)(aabb)ab2ababab1∴原不等式成立。

[思维点拔] 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。

例3、P87例2已知a,b,x,y

R且1a131b2,xy求证xxayyb

[思维点拔] 观察特征,用比较法或分析法 例4、设x>0,y>0且x≠y,求证xy333xy3212

2证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明xy2313xy212

只需x3y3x2y2 即2x3y33x2y2x2y2 只需2xyx2y2

由条件,显然成立.∴原不等式成立

[思维点拔] 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式 练习: .若a、b、c是不全相等的正数， 求证：lgab2lgcb2lgac2lgalgblgc

【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。 【证法一】（综合法）：a,b,cR， 又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有

ab2ab0，

cb2cb0，

ac2ac0

abcbacabc。 222abcbacabcbac)lgabc 即lglglglgalgblgc ∴lg(222222【证法二】 （分析法）要证lgab22abcbacabcbac)lgabc成立。只需证abc成立。 即证lg(222222lgcb2lgaclgalgblgc

∵

ab2ab0，

cb2cb0，

ac2ac0。∴

abcbacabc0 （*） 222又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。

∴原不等式成立。 例5.(P88例3)

某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支出运费900元

(1).求该厂多少天购买一次面粉.才能使平均每天所支付的总费用最小;

(2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210t时,其价格可优惠9折,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.

[点评]

【课堂小结】

不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法 比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

ab0

综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件 分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程 【作业布置】 P