利用角平分线构造全等三角形教案

授课时间： 2014 年 月 日 学科 八上数学 汪强 课时 1 授课主题 利用三角形中的角平分线构造全等三角形 授课教师 1.熟练掌握三角形全等的各种判断条件，能根据不同题设和结论给出不同证明方法. 教学目标 2.掌握全等三角形问题中辅助线的添加及数形结合、转化等数学思想方法. 3.在数学探究学习的过程中享受学习数学的乐趣。 教学重点 角平分线构造全等三角形 教学难点 针对不同题型，相应辅助线的添加 教学准备 课件，导学案 一、复习导入: 1.如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 2.如果是三角形中一个角的角平分线我们又如何来构造全等三角形呢？ 学生思考，集中学生的意见。 二、新授 教学过程 学生在思考过程中回顾所学角平分线的知识，并从平时学习中提炼经验。 1.针对学生的意见小结角平分线构造全等三角形的几种情形。 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴， 翻折三角形来构造全等三角形。 方法一：在AB上截取AE=AC，连结DE。 必有结论：△ADE≌△ADC。 .

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课堂作业 小提示 .

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小提示 .

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本课小结 课后作业 布置 课后赏识评价 本节课教学计划完成情况：□照常完成 □提前完成 □延后完成，原因___________________________________ 学生的接受程度：□完全能接受 □基本能接受 □不能接受，原因___________________________________________ 学生的课堂表现：□很积极 □比较积极 □一般 课后反馈 □不积极，原因_____________________________________________ 学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制） 存在问题_______________________________________ 配合需求：家 长________________________________________________ 学管师________________________________________________ 提交时间

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教研组长签名 学管师签收 .

例1.证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG

∵D是BC中点 ∴BD＝CD 又∵DE⊥DF

EDED在△EDG和△EDF中EDGEDF

DGDF ∴△EDG≌△EDF（SAS） ∴EG＝EF

例1

CDBD在△FDC与△GDB中12

DFDG ∴△FDC≌△GDB(SAS) ∴CF＝BG ∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF

举一反三：证明： 延长CE至F使EF＝CE，连接BF．

∵ EC为中线，∴ AE＝BE．

AEBE, 在△AEC与△BEF中，AECBEF, ∴ △AEC≌△BEF（SAS）．

CEEF, ∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）

又∵ ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A． ∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．

又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．

举一反三

BFBD, 在△FCB与△DCB中，FBCDBC,∴ △FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．

BCBC,

例2.证明：因为AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．

在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．

ACAE(所作)，在△AMC和△AME中，CAMEAM(角平分线的定义)，

AMAM(公共边)，∴ △AMC≌△AME（SAS）．∴ MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵ BE＝AB－AE，∴ BE＝AB－AC，∴ MB－MC＜AB－AC．

例2

举一反三：证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE

∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD

AEAC在△AED与△ACD中BADCAD

ADAD.

AEBDC.

∴△AED≌△ADC（SAS） ∴DE＝DC 在△BED中，BE＞BD－DC

即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC

例3.证明： 作ME⊥AF于M，连接EF．

∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．

又∵ ∠DAE＝∠FAE，∴ AE为∠FAD的平分线，∴ ME＝DE．

AEAE(公用边)， 在Rt△AME与Rt△ADE中，

DEME(已证)， ∴ Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴ AD＝AM(全等三角形对应边相等)．

又∵ E为CD中点，∴ DE＝EC．∴ ME＝EC．

MECE(已证)， 在Rt△EMF与Rt△ECF中，

EFEF(公用边)， ∴ Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴ MF＝FC(全等三角形对应边相等)．

由图可知：AF＝AM＋MF，∴ AF＝AD＋FC(等量代换)．

例3

举一反三：证明：延长AE和BC，交于点F，

∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．

在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）． 则AF=BD（全等三角形对应边相等）． ∵AE=

BD，∴AE=

AF，即AE=EF．

在Rt△BEA和Rt△BEF中，

举一反三

则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．

所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．

例4.证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.

ACAE  在△ADC与△ADE中 CADEAD

ADAD ∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C

∵∠AED是△BED的外角， ∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.

例4

举一反三：证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.

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∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD, ∴ △AHD≌△AMD. ∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD. ∵ HD＝DB, ∴ DB＝ MD. ∴ ∠DMB＝∠B.

∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180,∴ ∠AHD＋∠B＝180. 即 ∠B与∠AHD互补. （2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180.

∵ ∠B＋2∠DGA ＝180,∴ ∠AHD＝2∠DGA. ∴ ∠AMD＝2∠DGM.

∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM. ∴ ∠DGM＝∠GDM. ∴ MD＝MG. A∴ HD＝ MG.∵ AG＝ AM＋MG, ∴ AG＝ AH＋HD.

CHDMGB例5.证明：（1）AC⊥CE．理由如下：

举一反三

BCDE,在△ABC和△CDE中，BD90,∴ △ABC≌△CDE（SAS）．∴ ∠ACB＝∠E．

ABCD, 又∵ ∠E＋∠ECD＝90°，∴ ∠ACB＋∠ECD＝90°．∴ AC⊥CE．

（2）∵ △ABC各顶点的位置没动，在△CDE平移过程中，一直还有ABCD，BC＝DE，∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴ 也一直有△ABC≌△CDE(SAS)．∴ ∠ACB＝∠E．而∠E＋∠ECD＝90°， ∴ ∠ACB＋∠ECD＝90°．故有AC⊥CE，即AC与BE的位置关系仍成立．

举一反三：证明：∵∠BCA＝∠ECD， ∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，即∠BCE＝∠ACD

ACBC 在△ADC与△BEC中ACD=BCE∴△ADC≌△BEC(SAS) ∴BE＝AD．

CDCE 若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等，因为还是可以通过SAS

证明△ADC≌△BEC.

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