一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．若某校高一年级8个年级合唱比赛的得分如下：89、87、93、91、96、94、90、92，这组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92
2．设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（ ） A．y平均增加2个单位 B．y平均增加3个单位 C．y平均减少2个单位 D．y平均减少3个单位 3．函数y=|sinx|的一个单调递增区间是（ ） A．（
） B．（π，2π） C．（
） D．（0，π）
4．如图所示的流程图，若依次输入0，﹣3，则输出的结果是（ ）
A．0，﹣3 B．0，3 C．3，0 D．﹣3，0
）（ω＞0）的最小正周期为
，0）对称 ，0）对称
，则该函数的图象（ ）
5．已知函数f（x）=sin（ωx+A．关于直线x=C．关于直线x=6．已知sinα=A．﹣ B．
对称
B．关于点（
对称 D．关于点（，α∈（0，C．﹣ D．2
），则tan2α=（ ）
7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若=，则=（ ）
=，
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A．8．若函数A．
B．
B． C． D．
是偶函数，则φ=（ ）
C．
D．
与向量=（﹣5，﹣6）共线，则λ的
9．设向量=（1，2），=（2，3），若向量值为（ ）A． 10．函数y=2cos2（+A．x=﹣
B．x=
B．
C．
D．4
）﹣1（x∈R）的图象的一条对称轴是（ ） C．x=﹣
D．x=
11．在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
12．关于函数f（x）=tan（cosx），下列结论中正确的是（ ） A．定义域是[﹣1，1] B．f（x）是奇函数 C．值域是[﹣tan1，tan1] D．在（﹣
，
）上单调递增
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分. 13．函数y=3sin（x﹣
）的最小正周期为 ．
14．投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于 ． 15．已知tan α=﹣，则
的值是 ．
16．已知样本8，9，10，x，y的平均数为9，方差为2，则x2+y2= ． 三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解下列各题．
（1）已知cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，求tanαtanβ的值； （2）已知θ∈[0，
]，sin4θ+cos4θ=，求sinθcosθ的值．
18．平面内的向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）． （1）若（+k）⊥（2﹣），求实数k的值； （2）若向量满足∥，且||=，求向量的坐标．
19．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）： 轿车A 轿车B 轿车C 100 150 z 舒适型 300 450 600 标准型 第2页（共14页）
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． （1）求z的值
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．从这5辆车中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率． 20．已知函数f（x）=sinxcosx﹣
cos2x+
（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）图象的对称轴方程和对称中心的坐标． 21．设
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间
上是增函数，求ω的取值范围．
．
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2015-2016学年陕西省渭南市临渭区高一（下）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．若某校高一年级8个年级合唱比赛的得分如下：89、87、93、91、96、94、90、92，这组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92 【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】把这组数从小到大为排列得到位于中间位置的两位数是91，92，从而求出这组数据的中位数，再求出这组数据的平均数，由此能求出结果． 【解答】解：这组数从小到大为： 87，89，90，91，92，93，94，96， 位于中间位置的两位数是91，92， ∴这组数据的中位数为：
=91.5，
这组数据的平均数为： =（89+87+93+91+96+94+90+92）=91.5， 故选：A．
2．设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（ ） A．y平均增加2个单位 C．y平均减少2个单位 【考点】回归分析．
B．y平均增加3个单位 D．y平均减少3个单位
【分析】根据所给的线性回归方程，看出当自变量增加一个单位时，函数值增加3个单位，得到结果
【解答】解：∵回归方程为=2+3x，
变量x增加一个单位时变换为x+1， y1=2+3（x+1）
∴y1﹣y=3，即平均增加3个单位， 故选B．
3．函数y=|sinx|的一个单调递增区间是（ ） A．（
） B．（π，2π） C．（
） D．（0，π）
【考点】正弦函数的单调性．
【分析】利用分段函数，结合正弦函数的单调性即可得到结论．
第4页（共14页）
【解答】解：y=|sinx|=，
则对应的图象如图： 则函数在（）上为增函数，满足条件．
故选：C
4．如图所示的流程图，若依次输入0，﹣3，则输出的结果是（ ）
A．0，﹣3
B．0，3 C．3，0 D．﹣3，0
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序输出的结果． 【解答】解：模拟执行程序，可得
当x=0时，满足条件x≥0，执行输出x的值为0； 当x=﹣3时，不满足条件x≥0，执行输出x的值为3． 故选：B．
5．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为
，则该函数的图象（A．关于直线x=对称
B．关于点（
，0）对称 C．关于直线x=
对称 D．关于点（
，0）对称
【考点】正弦函数的图象．
第5页（共14页）
）
【分析】根据周期性求得ω，可得f（x）=sin（4x+对称中心，从而得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+故有f（x）=sin（4x+∵令4x+
=kπ+
）．
+
）．再利用对称性求得它的对称轴、
）（ω＞0）的最小正周期为=，∴ω=4，
，求得x=，可得该函数的图象关于直线x=+，k∈Z，
故排除A、C； 令4x+
=kπ，求得x=
﹣
，可得该函数的图象关于点（
﹣
，0）对称，故排
除D，
故选：B．
6．已知sinα=A．﹣ B．
，α∈（0，C．﹣ D．2
），则tan2α=（ ）
【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．
【分析】由同角三角函数间的基本关系先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切函数公式即可求值．
【解答】解：∵sinα=∴cosα=
=
，α∈（0，，tanα=
）， =2，
∴tan2α===﹣．
故选：A．
7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是DC的中点，F是EC的中点，若=，则=（ ）
=，
A． B． C． D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【分析】利用向量间的预算关系：【解答】解：由题意可得
，
，
第6页（共14页）
=+=+．
∵D是BC的中点， ∴∴故选 C． 8．若函数A．
B．
C．
D．
是偶函数，则φ=（ ）
，同理，
．
，
，
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性． 【分析】直接利用函数是偶函数求出ϕ的表达式，然后求出ϕ的值． 【解答】解：因为函数所以故选C．
9．设向量=（1，2），=（2，3），若向量值为（ ） A．
B．
C．
D．4
与向量=（﹣5，﹣6）共线，则λ的
，k∈z，所以k=0时，ϕ=
是偶函数，
∈[0，2π]．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出． 【解答】解：∵
=（1，2）﹣λ（2，3）=（1﹣2λ，2﹣3λ），与共线，
∴﹣5（2﹣3λ）﹣（﹣6）（1﹣2λ）=0， 化为﹣4+3λ=0，解得故选：A．
10．函数y=2cos2（+A．x=﹣
B．x=
）﹣1（x∈R）的图象的一条对称轴是（ ） C．x=﹣
D．x=
．
【考点】二倍角的余弦；余弦函数的对称性． 【分析】利用倍角公式可得函数y=出．
【解答】解：函数y=2cos2（+
）﹣1=
，
，由
=kπ，k∈Z，对k取值即可得
第7页（共14页）
由=kπ，k∈Z，
．
．
取k=1，则x=
∴函数的图象的一条对称轴是x=
故选：D．
11．在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有的情况，可以通过列举得到结果，这些情况发生的可能性相等，满足条件的事件可以从列举出的表格中看出有6种，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示36种情况．
其中和为5的从表中可以看出有6种情况， ∴所求事件的概率为
=．
故选：B
12．关于函数f（x）=tan（cosx），下列结论中正确的是（ ） A．定义域是[﹣1，1] B．f（x）是奇函数 C．值域是[﹣tan1，tan1] D．在（﹣
，
）上单调递增
【考点】函数的值域．
【分析】运用正切函数的性质和余弦函数的性质，结合奇偶性的定义和复合函数的单调性，即可判断
【解答】解：函数f（x）=tan（cosx），
由于﹣1≤cosx≤1，函数有意义，则定义域为R，则A错； 由于[﹣1，1]⊆（﹣
，
），
由正切函数的单调性，可得tan（﹣1）≤f（x）≤tan1，
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即有值域为[﹣tan1，tan1]，则C对；
由于定义域为R，则f（﹣x）=tan（cos（﹣x））=tan（cosx）=f（x）， 即有f（x）为偶函数，则B错； 在（﹣
，0）上，y=cosx递增，则y=tan（cosx）递增； ）上单调递减．则D错．
则在（0，
故选C．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分. 13．函数y=3sin（x﹣
）的最小正周期为 4π ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用周期公式逇函数的最小正周期． 【解答】解：T=故答案为：4π．
14．投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于 ．
=4π．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案．
【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36，
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种， 故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是故答案为：．
15．已知tan α=﹣，则
的值是 ﹣ ．
=，
【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】原式分子利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形，分母利用平方差公式化简，约分后再利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanα=﹣，
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∴原式=====﹣
．
故答案为：﹣
16．已知样本8，9，10，x，y的平均数为9，方差为2，则x2+y2= 170 ． 【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】利用平均数和方差定义，列出方程组，能求出x2+y2的值． 【解答】解：∵样本8，9，10，x，y的平均数为9，方差为2，
∴，
解得x2+y2=170． 故答案为：170．
三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解下列各题．
（1）已知cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，求tanαtanβ的值； （2）已知θ∈[0，
]，sin4θ+cos4θ=，求sinθcosθ的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用． 【分析】（1）展开cos（α+β）与cos（α﹣β），求出cosαcosβ与sinαsinβ的值，即可计算tanαtanβ的值；
（2）利用同角的平方关系与完全平方公式，即可求出sinθcosθ的值． 【解答】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=①， cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=②， 由①②组成方程组，解得cosαcosβ=sinαsinβ=﹣∴tanαtanβ=
（2）∵sin4θ+cos4θ=，
∴sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2﹣2sin2θcos2θ=，
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，
，
=﹣；
∴sin2θcos2θ=
，
，
∴（sinθcosθ）2=又θ∈[0，∴sinθcosθ=
]， ．
18．平面内的向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）． （1）若（+k）⊥（2﹣），求实数k的值； （2）若向量满足∥，且||=，求向量的坐标． 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】（1）由（+k）⊥（2﹣），可得（+k）•（2﹣）=0，解得k． （2）设=（x，y），由∥，且||=
，可得
，解出即可得出．
【解答】解：（1）+k=（3+4k，2+k）， 2﹣=（﹣5，2），∵（+k）⊥（2﹣），∴（+k）•（2﹣）=（3+4k）×（﹣5）+（2+k）×2=0，解得k=﹣
．
y）（2）设=（x，，∵∥，且||=，∴，解得，或 ，
∴向量的坐标为，或．
19．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）： 轿车A 轿车B 轿车C 100 150 z 舒适型 300 450 600 标准型 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． （1）求z的值
（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．从这5辆车中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）由题意可得
=
，解得z的值．
（2）这5辆车中，求得舒适型的有 2辆，标准型的有3辆．求得所有的取法有10种，至少有1辆舒适型轿车的取法有7种，由此求得至少有1辆舒适型轿车的概率． 【解答】解：（1）由题意可得（2）这5辆车中，舒适型的有 5×
=
=2辆，标准型的有 5×
第11页（共14页）
，解得z=400．
=3辆．
从这5辆车中任取2辆，所有的取法有=7种，
∴至少有1辆舒适型轿车的概率为
20．已知函数f（x）=sinxcosx﹣
=10种，至少有1辆舒适型轿车的取法有•+
．
cos2x+
（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）图象的对称轴方程和对称中心的坐标． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）图象的对称轴方程与对称中心的坐标． 【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣=sin2x﹣=sin2x﹣=sin（2x﹣
•cos2x ），
=π； ），
+
cos2x+
∴f（x）的最小正周期为T=（2）∵函数f（x）=sin（2x﹣令2x﹣解得x=
=+
+kπ，k∈Z， ，k∈Z，
∴f（x）图象的对称轴方程为：x=再令2x﹣解得x=
+
=kπ，k∈Z，
，k∈Z，
+，k∈Z；
∴f（x）图象的对称中心的坐标为（ 21．设
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
+，0），k∈Z．
．
（Ⅱ）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间 上是增函数，求ω的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；复合三角函数的单调性．
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【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积，结合二倍角的正弦函数余弦函数以及两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可得到函数f（x）的解析式； （Ⅱ）通过ω＞0，求出y=f（ωx）的单调增区间，利用函数在区间函数，列出ω的方程组，即可求ω的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）
上是增
=
=
=2sinx（1+sinx）+1﹣2sin2x
=2sinx+2sin2x+1﹣2sin2x=2sinx+1 所以f（x）=2sinx+1． （Ⅱ）f（ωx）=2sinωx+1 根据正弦函数的单调性：解得f（x）的单增区间为又由已知f（x）的单增区间为所以有
． ．
即解得．
所以ω的取值范围是
．
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2016年8月23日
第14页（共14页）
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