上海 高二 数学 圆锥曲线专题精讲

一、知识回顾

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1．到两定点F1,F2的距1．到两定点F1,F2的 离之和为定值距离之差的绝对值为2a(2a>|F1F2|)的点的轨定值2a(0<2a<|F1F2|)迹 的点的轨迹 2．与定点和直线的距2．与定点和直线的距与定点和直线的距离 离之比为定值e的点离之比为定值e的点相等的点的轨迹. 的轨迹.（01） 图形 标2222方 准xyxy2ab(>0) (a>0,b>0) y=2px 112222 方abab 程 程 参xacosxasecx2pt2ybtan(t为参数) ybsin数 y2pt(参数为离心角）(参数为离心角）方程 范围 ─axa，─byb |x|  a，yR x0 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (a,0), (─a,0) (0,0) (0,─b) 对称轴 x轴，y轴； x轴，y轴; x轴 长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a, 虚轴长2b. p焦点 F1(c,0), F2(─c,0) F1(c,0), F2(─c,0) F(,0) 2焦距 离心率 准线 2c （c=ab） eca(0e1) 222c （c=ab） eca(e1)22 e=1 xp2 x= 渐近线 焦半径 通径 a2c x=y=± a2c x ba rxp2raexr(exa) 2ba2 2ba2 2p 焦参数 a2c a2c P 2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 3. 等轴双曲线 4. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.

二、几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的最小距离等于k的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．

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例2 设Q是圆x+y=4上的动点，另有点A(3,0),线段AQ的垂直平分线l交半

径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 3．相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分OB的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程.

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x被双曲线截得线段长等于25，求此双曲线方程．

三、点、直线与圆锥曲线的位置关系

1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．

2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的条件是：

设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 ; 由得：

ax2+bx+c=0 (a≠0) ;令Δ=b-4ac, 则

2

AxByC0F(x,y)0 消去y（或x）

（1）Δ>0⇔相交； （2）Δ=0⇔相切 （3）Δ<0⇔相离.

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、例题

例1 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆

x25y2m1总有公共点，求m的取值

范围．

提示：分别从曲线和方程与数形结合思想两个角度分析、解题. 例2 椭圆C: 范围．

x24y231上有相异两点关系直线l: y=4x+m 对称，求m的取值

点拨1：对称点在直线 l’ ： y可用“判别式法”.

14且xn上，l’与椭圆C有两个不同的交点，

点拨2：两对称点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)连线的中点M(x0，y0)在椭圆C内，可用“内点法”．

说明：判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法

例3.已知抛物线C：y=─x2+mx─1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交点，求m的取值范围.

提示：转化为一元二次方程根的分布. 例4.过椭圆C：x22yb221(a>b>0)上一动点

P向圆O：x2+y2=b2引两条切线PA、

aPB，切点分别是A、B，直线AB与x轴，y轴分别交于M，N两点，求△MON

面积的最小值

点拨：充分利用平几知识解题.

四、与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 例1 过抛物线y14x2的焦点作倾斜角为α的直线l交抛物线于A、B两点，且

|AB|=8，求倾斜角α．

2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围． 例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：

2

(1)x+y2的最大值与最小值；

(2)x+y的最大值与最小值． 3．与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．