【专题复习】“隐形圆”问题

一、问题概述

江苏省高考考试说明中圆的方程是C级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．

二、求解策略

如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．

策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取

值范围是

． 6a0

5

略解：到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知 圆相交求解．

（2）（2016 年南京二模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上

存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范 围为．

解：由题意得OP2，所以P在以O为圆心2 为半径的圆上，即此圆与圆M 有公共

点，因此有21OM211≤a2 (a 4)2 ≤9 2

2≤a≤2

2

．2

2

（3）（2017 年苏北四市一模）已知A、B是圆C:x2 y2 1上的动点，AB= 3，P是圆

1

2

C :(x3）(y4)2 2

1上的动点，则PAPB的取值范围是．[7,13]

1

1 的圆上，且 2

略解：取AB的中点M，则C1M= ，所以M在以C1圆心，半径为 2

PAPB2PM，转化为两圆上动点的距离的最值．

（4）若对任意R，直线l：xcos＋ysin＝2sin(＋

)＋4与圆C：(x－m)2＋(y－3m)2

6

＝1 均无公共点，则实数m的取值范围是

．(1, 5) 2 2

略解：直线l的方程为：(x-1)cos＋(y-3)sin＝4，M(1, 3)到l距离为4，所以l是

以M 为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C内含．

注：直线l：(x-x0)cos＋(y-y0)sin＝R为圆M：(xx)2 0

(xy)2 R20的切线系．

例2（2017年南通市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2 y2 4上两点，A(1，1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为． 解：法一（标解）：设BC的中点为Mx,y，

因为OB2 OM2 BM2 OM2 AM2，

y

所以4x2 y2 x12y12，

B

M

C

2

2

化简得x

1y13， A

 2 2 2









O

所以点M的轨迹是以1 1

3 22，为圆心，为半径的

2



2

2

，所

62，6圆，所以AM的取值范围是

 2

2

 例2





以BC的取值范围是62，6

2． 



点

x

法二：以AB、AC为邻边作矩形BACN，则BC＝AN， 由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等），有OB2 OC2 OA2 ON2，所以ON＝6，

故N在以O为圆心，半径为6的圆上，所以BC的取值范围是6

2，6

2． 



变式1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2 y2 16，点

P(1,2)，M、N为圆O上两个不同的点，且PMPN0，若PQPMPN，则PQ的

最小值为．3 35

y

2

2

2

2

变式2

已知圆C1：x y

9，圆C2：x y

4，定点

A

P(1,0)，

动点A,B分别在圆C1和圆C2 上，满足APB90，

则线段AB的取值范围．[2 31,2 31]

B

O

P

变式3 已知向量a、b、c 满足a3,b2,c1,(ac)(bc)0，则ab范围

为．[2 31,2 31]

x

策略二 动点P对两定点A、B张角是900（k PAkPB 1，或PAPB0）确定隐形圆

例3（1）（2014年北京卷）已知圆C：(x3)2 (y4)2 1和两点A(m,0)，B(m,0)，

若圆上存在点P，使得APB90，则m的取值范围是

．4,6

略解：由已知以AB为直径的圆与圆C有公共点．

（2）（海安2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点P(−1，0) ，

Q(2 ，1) ，直线l：axbyc0其中实数 a，b，c 成等差数列，若点P在直线 l 上 的射影为H，则线段QH的取值范围是

．[ 2,3 2]

解：由题意，圆心C(1，－2)在直线ax＋by＋c＝0 上，可得a－2b＋c＝0，即c＝2b－a． 直线l：(2a－b)x＋(2b－c)y＋(2c－a)＝0，即a(2x＋y－3)＋b(4－x)＝0，

2xy30, 由4x0

，可得x＝4，y＝－5，即直线过定点M(4，－5)，

22

由题意，H在以PM 为直径的圆上，圆心为A(5，2)，方程为(x－5)＋(y－2)＝50，

∵|CA|＝4 2，∴CH最小为5 2－4 2＝2，CH最大为4 2＋5 2＝9 2，

∴线段CH长度的取值范围是[ 2，9 2]．

（3）（通州区2017届高三下开学初检测）设mR，直线l1：xmy0与直线

l2：mxy2m40交于点P(x0,y0)，则x0

2

y2 2x0 的取值范围

0

是

．[12410,12410]

略解：l1 过定点O(0，0)，l2过定点A(2，-4)，则P在以OA为直径的圆上（除去一点）， 变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与 直线l2：x＋ky－2＝0 相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距

离的最大值为 ．3 2

策略三两定点A、B，动点P满足PAPB确定隐形圆 例4（1）（2017年南通密卷3）已知点A(2, 3)，点B(6,3)

，点P在直线3x4y30上，

若满足等式APBP 20的点P有两个，则实数的取值范围是

．

解：设P（x，y），则AP(x2,y3)，BP(x6,y3)，

2

根据APBP20，有x4y1322

13

.由题意

 

2

圆：x42

13y2 132圆与直线3x4y30相交，

 

2

34403

圆心到直线的距离d

32 42

3

132，所以2.

（2）（2016 年盐城三模）已知线段AB的长为2，动点C满足CACB（为常数），

13心， 为半径的圆内，则负数的最大值是. 且点C总不在以点B为圆

2

4

略解：动点C满足方程x2 y2 1.

策略四两定点A、B，动点P满足PA2 PB2 是定值确定隐形圆

例5（1）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若

圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是 略解：M 满足的方程为x2 (y1)2 4，转化为两圆有公共点

．[0，3]

（2）（2017 年南京、盐城一模）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c，若

a2 b2 2c2 8，则ABC面积的最大值为 ．

2 5 5

解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x 轴，建系.

cc

设A(,0)，B(,0)，C(x,y)，则由a2 b2 2c2 8，

2

2

cc5

得(x)2 y2 (x)y2 2c2 8，即x2 y2 4c2，

2

2

4 552 5(4c2)c2 ≤ 5

4

4

5

cc所以点C在此圆上，S≤r

2

514c2 

4

2

策略五两定点A、B，动点P满足

PA

(0,1)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB

例6（1）

略解：点P满足圆的方程为x2y24，转化到直线与圆相交.

（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，

O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x

3yb0上，过点P作圆O，O1的两条切线，

切点分别为A，B，若满足PB 2PA的点P有且仅有两个，则b 的取值范围

．－,4

 

3

20



例7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的

A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行．

（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截

成功；（参考数据：sin17°

3，33 5.7446） 6

（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

北

l 领海公海 B

30°

A

解：（1）略

(例7)

（2）如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy．

则B2，2 3，设缉私艇在P(x，y)处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私

船相遇，则PA3，即

PB

x2y2

3．

(x2)2y2 39 3

y l 领海 公海

9整理得， 2



2



2

9

x y 44

，

4

B

所以点P(x，y)的轨迹是以点9，9 3 为圆心，

4 4

60

3 为半径的圆． 2

 

A

图乙

x

因为圆心9，9 3到领海边界线l：x3.8的距离为1.55，大于圆半径3，

4 4

所以缉私艇能在领海内截住走私船． 策略六由圆周角的性质确定隐形圆

例8 （1）已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a2，

(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC则ABC面积的最大值为 ．3 2

12 3

略解：cos∠A＝，∠A＝60°，设ABC的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为，则

2

3

332 3

O到BC的距离为，则边BC上的高h 的最大值为+ = 3，则面积的最大值

3

3 3

为3．

（2）（2017 年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，O是△ABC的外心，若OCmOAnOB(m，

n∈R)，则m＋n的取值范围是 ．[2,1)

略解： ∠AOB＝2∠C＝90°，点C在以O为圆心，半径OA的圆上（在优弧AB上）．

三、同步练习

1．已知直线l:x2ym0上存在点M满足与两点A(2, 0),B(2,0)连线的斜率之积为1，

则实数m的取值范围是

．[2 5,2 5]

2．(2016年泰州一模)已知实数a，b，c 满足abc，c0，则

2

2

2

b 的取值范围

a2c

为

．[3, 3]

3

3

3．已知,tR，则(cost2)2 (sint2)2的取值范围是

．[2 21,2 21]

4．已知圆C:(x3)2 (y4)2 1和两点A(m,0),B(m,0)(m 0)．若圆C上存在点P，使 得

PAPB1，则m的取值范围是

．[ 15, 35]

7．（2016 年无锡一模）已知圆C:(x2)2 y2 4，线段EF在直线l:yx1上运动，点P

为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B，使得PAPB≤0，则线段EF长度 的最大值是

． 14

8．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的

动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|

2

＝|BC|，则线段PD 的取值范围．(,2)

3

9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(t，0)(t0)，B(t，0)，点C满足AC BC8，

且点C到直线l：3x 4y240的最小距离为9，则实数t的值是

5

．1

10．（2013 年江苏卷第17题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，A(0,3)如果

圆C:(xa)2 (y2a4)2 1上总存在点M使得MA2MO ，则圆心C的横坐标a的 取值范围是

12

．[0,]

5

11．已知向量a、b、c满足a

2，bab=3，若(c2a)(2b3c) 0 ，则bc的最大

值是

．12

12．设点A,B是圆x2 y2 4上的两点，点C(1,0)，如果ACB90，则线段AB长度的取

值范围为 ．[ 71, 71]

13．在ABC中，BC＝2，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C、

D两点在直线AB的两侧)．当∠C变化时，线段CD长的最大值为

．3

14．（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C :x12 y2 2，

1

圆C :xmymm2，若圆C

1

2

2 2

上存在点P满足：过点P向圆作两条切线

C1

PA、PB，切点为A、B，ABP的面积为1，则正数m的取值范围是

．

解：设P(x，y)，设PA，PB的夹角为2．

△ABP的面积S=PA2sin2PA2 

2 1

2PA PC1 PC1

1．

由 3 2 2

2PA PC1 PA 2，解得PA2，

所以PC1 2，所以点P在圆(x1)

2

y2 4上．

所以m2≤ (m1)2 (m)2 ≤m2，解得1≤m≤32 3．