数学教学中类比思想方法

数学教学中类比思想方法

屏边一中：窦红喜

摘要: 素质教育的目的是提高学生的思维能力和科学文化素质。所以，我们应摒弃“题型＋方法”的教学方式，自觉渗透类比推理的教学思想方法，帮助学生学会数学地思维，提高他们的素养，培养他们的创造性思维能力。

关键词: 类比 推理 方法

一、类比的价值和意义

1、类比可激发学生学习兴趣

通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。

2、通过类比得出新知

数学教材中，很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展而来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学习的主体发现了这些联系之间存在的相似性和可比较性，那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识，同时也可以将先后的知识组成一个完整的体系。

3、通过类比提高学生数学思维能力

初中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。当学生遇到一个陌生的问题时，当有了类比的意识，他会联想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在联系，架起桥梁，沟通知识与知识、方法与方法之间的关联，激活学生的思维，从而去提高学生的思维能力。

4、类比是数学发现与创新的重要手段

类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。

二、类比法在中学数学教学中的重要性

数学家G·波利亚说:“类比是一个伟大的引路人。\"在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。它是大自然中各种事物之间的一种相似:当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系统进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去猜测和发现另一系统的相应的新结果;在我们分析问题解决问题的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法。在我们平时的学习与生活中处处充满着类比，可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法。在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径。学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力。

如果A，B是两个在某些方面类似的事物，从A具有某些性质推想B也有类似的性质，这种思维叫做类比思维。如学生在学不等式的加减移项法则时，应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题。但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误。有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”，根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来。这也说明类比的结果不一定正确。类比推理只是一种可能性的合情推理，而不是一种必然性的正确推理;要得到正确的结论才行。

1、运用类比方法温故知新

类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具。在学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新。我们还必须经过严格的证明才行。

2、通过类比发现解题的思维方向

类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要作用，教学中应引起足够的重视。

三、数学概念类比：

波利亚说过：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义去”。现实中，有不少学生对上数学的概念课时，认为书上有的内容，再讲一遍简直是浪费时间；有同学认为数学概念太抽象，而数学概念是数学知识的基础。学生对数学概念的形成过程、同化过程，就决定

了对数学概念掌握的程度。所以，只有理解数学概念的外延和内涵，才能举一反三，触类旁通。我觉得在数学概念的教学中如果能够运用类比思想，便能克服部分同学的为难情绪和认知的误区。下面我以有理数的乘方一课谈谈如何来运用类比思想来进行数学概念的教学。

有理数的乘方很容易与有理数的乘法相混淆，两者概念非常接近，形式也非常相似，我的做法是：

（1）出示：6+6+6+6

（2）6×6×6×6

（2）设问：上述两个式子，有什么相同之处，有什么不同之处？

学生很容易得出：都含有数学“6”，（1）式中是和的运算，加数相同，也就是求“相同加数的和的运算”（2）式是积的运算，因数相同，也就是求“相同因数的积的运算”。

（3）设问：求“相同加数的和的运算”，有没有简便的书写格式？

学生很容易得出为：6×4

（4）设问：求“相同因数的积的运算”，有没有简便的书写格式？

从而引导学生通过正方形的面积，正方体的体积中得出为：6。

3（5）反复地比较6×3，6的含义，从而得出乘方的定义为：求相同因数的积的运算。

3

从而分清了乘法，乘方两个概念的区别。

数学概念教学中，能运用类比思想对概念进行学习，这样前后知识点就能互相对应，对学生深刻理解概念是大有裨益的。同时也有助于加强理解概念间的联系，有助于对概念的记忆、理解。

四、定理讲解的类比

如：三角形相似的判定可与全等的判定相类比。

全等三角形判定定理为：边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 。

角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“角边角”或“ASA”）

角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“角角边”或“AAS”）

边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS”）

斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）

而三角形相似的判定定理为：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，也可以说成：两角对应相等，两三角形相似。（此定理可与角边角公理和角角边定理类比）

判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（此定理可与边角边公理类比）

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。（此定理可与边边边公理类比）

判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（此定理可类比斜边，直角边公理类比）

利用类比方法既可复习已学知识（三角形全等的判定）又可对新学知识（相似三角形的判定）有进一步的认识，可谓一举两得。

五、培养学生类比意识的教学途径

1．教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功

要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。

因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考问题，对问题能有自己独到的见解，通过自身的努力夯实专业基本功。

2．经常创设类比问题情境

要想培养学生的类比能力，教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个环节展现给学生，让学生观察和类比。

3．实行变式教学

应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。

4．教学过程中注重知识的生成

通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果是教师的一味灌输只能带来僵硬的思维方式。

5．开展小组合作交流

考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己自力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成，营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。

六 数学思维中类比能力培养

类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理。应用类比推理可以在两个不同知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。经常有这样的情况：长时间沉思于某一问题而未得解决，然而在某一时刻，在其沉思圈子之外有一个信息倒起了很大的启发作用，触发信息的过渡，使问题得以解决。这往往得益于类比。正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进。”[2]特别是研究立体几何时，往往会得益于平面几何中的类比问题。

类比的特征是：两个对象的某些属性是相同的，或者表面上毫无共同之处，只是在某种观点上或某一抽象层次上是相似的，它的结论不是简单的模仿、复制，而是创造性设想。

因此，我们在教学过程中，要有意识地对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的类比归纳猜想能力。

可见，解题活动中的种种念头的产生是依赖于解题者类比联想能力，但解题者要正确对待解题过程中失败的念头，从中查找原因，进行新的类比，使之接近正确的方向。

为此，G·波利亚说：“类比是获得发现的伟大源泉”。[1]不论在初等数学、高等数学中的发现，或者任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些思考过程，特别是不能没有类比。所以，我们在数学过程中应自觉渗透类比教学思想方法，提高学生的研究数学的兴趣，培养他们的创性性能力。

结束语：

数学是一门与思维联系密切的科学。人们之所以把数学看成思维的体操,就是因为通过数学学习可以锻炼人的思维能力, 而数学思维能力在人的思维能力中占有着十分重要的地位和作用。数学教学的重要目的在就于培养学生的数学思维能力。

对比与类比是数学研究与数学发现中常用的两种逻辑思维方法。它不象数学知识如概念、定理、公式等明显地写地教科书上,它是无形的东西,往往被忽视。因此,在数学教学过程中,若能注意介绍类比的方法, 并引导学生应用, 不仅有利于学生对数学概念、原理和数学解题方法的深入理解,亦可促进学生在论证和解题中发现一些新的方法,有助于学生提高数学思维能力。

巨大的科学发明需要有较强的类比能力，而较强的类比能力正基于猜想与证明的有机结合。对类比的各种状态要给予严格论证，还要捕捉各种类比念头，抓住两系统间的相似之处，利用类比这座雄伟的桥梁，将信息不断地过渡，并不断地证明，使其科学化，从而

使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。

主要参考文献：

[1].波利亚著：数学与猜想·科学出版社·1984

[2].刘云章等：数学解题思维策略·湖南教育出版社·1992

[3].徐利治、郑毓信、朱梧木贾等：数学方法论教程·江苏教育出版社·1992

[4]吕传汉. 数学的学习方法[M] . 北京:高等教育出版社.

[5] 王仲春. 数学思维与数学方法论[M] . 北京:高等教育出版社.

[6] 庞之坦. 常用数学解题思维方法[M] . 重庆:重庆大学出版社.