第20－30课时 空间与图形
（一） 考点整理：
考点1 三种基本图形—直线、射线、线段：
1、直线——直线公理：经过两点有且只有 一 条直线；
2、射线——两条射线为同一射线必须同时具备：①端点是同一点 ；②延伸方向相同； 3、线段——线段公理：两点之间，线段最短；
说明：两个点之间连线有很多条，但只有线段最短，这条线段的长度，就叫做这两点之间的
距离。 考点2 角： 1）角的定义：
① 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点 ，这两条射线叫做角的边；
② 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。 2）角的分类：
角按照大小可以分为锐角 、直角 、钝角（初中阶段只要求小于平角的角） 3）角的比较方法：
① 叠合法 ②度量法 4）角平分线：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
判定：到一个角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 考点3 互为余角、互为补角：
1）互为余角：如果∠1和∠2互为余角，那么∠1+∠2= 90°； 2）互为补角：如果∠1和∠2互为补角，那么∠1+∠2= 180°； 3）同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 考点4 对顶角：
1）定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫对顶角； 2）对顶角的性质：对顶角相等。 考点5 平行：
1）平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
2）两直线平行的表示方法：直线AB与直线CD平行，可以表示为 AB∥CD 或CD∥AB； 3）平行线的性质：
① 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
② 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这样两条直线也互相平行。 考点6 垂直：
1）垂直定义：如果两条直线相交所构成的角为直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条
叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
2）垂直的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
3）点到直线的距离：过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段，它的长度叫做点到直线的距离，
4）在直线外各点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 考点7 平行线的性质和判定方法：
1) 平行线的判定方法： 2)平行线的性质：
① 同位角相等 ，两直线平行； ①两直线平行，同位角相等； ② 内错角相等，两直线平行； ②两直线平行，内错角相等； ③ 同旁内角互补，两直线平行； ③两直线平行，同旁内角互补.
一、线段、射线、直线
1．线段、射线、直线的概念
一根拉的很紧的线，给我们以直线的形象。直线是向两方无限延伸着的。 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（过两点有且只有一条直线） 直线上的一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。 2．线段、射线、直线的表示方法
点是组成线段、射线、直线的基本元素，是最基本的图形之一。一个点可以用大写英文字母表示。
线段的表示方法：
一条线段可以用表示端点的两个大写字母来表示，如“线段AB”；一条线段还可以用一个小写字母来表示，如“线段a。
射线的表示方法：
一条射线可用表示它的端点和射线上的另一点的两个字母来表示。 直线的表示方法:
一条直线可以用表示直线上的任意两个点的大写字母来表示。也可以用一个小写字母表示。
3．直线的性质
经过两点有且只有一条直线（也可以说成两点确定一条直线） 二、比较线段的长短 1．线段的性质
两点之间的所有连线中，线段最短，或者可以说成两点之间，线段最短。 2．两点之间的矩离
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 3．作一条线段等于已知线段
作一条线段等于已知线段是最基本的尺规作图，一般步骤为：（1）作一条线段AB；（2）用圆规量出已知线段的长度（记作a）；（3）以A为圆心，在射线AB上截取AC＝a；（4）线段AC就是所求的线段。
4．比较两条线段的大小
线段大小的比较，也就是比较线段长短，通常有两种方法：
一是把它们放在同一条直线上比较；二是用刻度尺量度量，再进行比较。
5．线段的中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 三、角的度量与表示 1．角的概念 以静态观点看，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。以动态观点看，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。
2．角的表示方法
角的表示符号为“∠”。角的表示通常有四种：①用三个大写英文字母表示②用一个大写英文表示③用希腊字母表示④用阿拉伯数字表示。
3．平角、周角
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。一个周角等于两个平角。角的单位是度、分、秒。1°＝60′，1′＝60″。
四、角的比较
1．方向的表示方法 2．角的比较方法 叠合法
度量法：用量角器量得角的度数，再根据角的度数来比较角的大小。 3．角的分类
小于平角的角可按大小分成三类；当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；当一个角小于直角时，这个角叫锐角；当一个角大于直角且小于平角时，这个角叫钝角，因此，我们可以得到：1周角＝2平角＝4直角＝360°；1平角＝2直角＝180°；1直角＝90°。
4．角的平分线
以角的顶点为端点的射线，把角分成两个相等的角，那么这条射线叫做角的平分线。 5．角的单位换算
角的单位是度、分、秒。把周角平均分成360份，每一份就是1°的角。1°的为1
分，记作“1′”，即1°＝60′。1′的为1秒，记作“1″”，即1°＝60″。角的单位的换算通常有两类：将度、分、秒统一成度；将度化成度、分、秒。
五、平行 1．平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示。 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行，相交。 2．平行线的画法 平移三角板画平行线
利用方格纸画平行线：在方格纸上所有横线互相平行，所有竖线也互相平行，也可连接长方形的对角线斜着画。
3．平行线的性质
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
六、垂直
1．垂直的概念及表示
平面内两条直线的位置关系有两种：平行，相交。垂直是相交的特殊情况，即平面内，两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。用符号“⊥”表示。
2．垂线的画法
⑴利用三角板的两条直角或刻度线与所在边的垂直关系画； ⑵ 利用量角器画，主要是画一个90°的角来得到垂线； ⑶ 利用方格来画。
3．垂线的性质及点到直线的距离
经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，垂线段指的是直线外一点与垂足之间的线段；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离；
由此看来要得到点到线段的长度需做两步工作：（1）过已知点画直线的垂线； （2）测量垂线段的长度。
一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。
二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。 三、射线：
1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。 2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。” 四、线段：
1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。 2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。 五、线段的中点： 1、定义如图1一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1－1AC的中点。
2、表示法：∵AB＝BC∴点 B为 AC的中点 或∵ AB＝
1MAC ∴点 B为AC的中点，或∵AC＝22AB，∴点B为AC的中点 反之也成立
∵点 B为AC的中点，∴AB＝BC 或∵点B为AC的中点， ∴AB=
1AC 或2∵点B为AC的中点， ∴AC=2BC
六、角
1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。
2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图1—2 （1）∠AOC＝∠BOC
（2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB （3）∠AOC＝∠COB=
1∠AOB 2 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。 八、角的分类：
（1）锐角：小于直角的角叫做锐角 （2）直角：平角的一半叫做直角 （3）钝角：大于直角而小于平角的角
（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。
（5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。
（6）周角、平角、直角的关系是： l周角=2平角=4直角=360° 九、相关的角：
1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。 3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。 注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。 十、角的性质 1、对顶角相等。
2、同角或等角的余角相等。 3、同角或等角的补角相等。 十一、相交线
1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。
2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
4、垂线的性质
（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。 十二、距离
1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。
2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。 说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。 十三、平行线
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。 4、平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角互补，两直线平行。 5、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。
1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题：判断一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质
对顶角的性质：对顶角相等。 10垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 12.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 13.平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
12.公式与性质
三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 （2）n边形共有
n(n-3)条对角线。 2
1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。 2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 3.三角形全等的判定公理及推论有： （1）“边角边”简称“SAS” （2）“角边角”简称“ASA” （3）“边边边”简称“SSS” （4）“角角边”简称“AAS”
（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).
1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质： （1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）
4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 5.等腰三角形的判定：等角对等边。
6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，
7.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 2.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.平行四边形的判定 ○
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； ○
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ○
4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ○
4.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 6.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
7.矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 8.矩形判定定理： ○
2.对角线相等的平行四边形是矩形。 ○
3.有三个角是直角的四边形是矩形。 ○
9.菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形。
10.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 11.菱形的判定定理：○
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ○
3.四条边相等的四边形是菱形。 ○
12.S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）
13.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
14.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。
15.正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。 2.有一个角是直角的菱形是正方形。
16.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 17.直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 18.等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
19.等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 20.等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
ADC
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
3．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 4.中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
7.圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
8.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
9.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。 10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 11.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
12.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 13.有关定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
14.圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180
15.扇形面积S=π（R^2-r^2） 5.圆锥侧面积S=πrl
1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 2.相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； ○3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； ○4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 3.直角三角形相似判定定理:
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成 ○
的两个直角三角形也相似。 4.相似三角形的性质:
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、 ○
内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。 ○
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ○
二、基本定理
1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等
5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15、定理 三角形两边的和大于第三边 16、推论 三角形两边的差小于第三边
17、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余
19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等
22、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等 24、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
（等角对等边）
35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对
称轴上
45、逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条
直线对称
46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 47、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是
直角三角形
48、定理 四边形的内角和等于360°
49、四边形的外角和等于360°
50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51、推论 任意多边的外角和等于360°
52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形 58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组
对角
71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73、逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74、等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75、等腰梯形的两条对角线相等
76、等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形 77、对角线相等的梯形是等腰梯形
78、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线
上截得的线段也相等
79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81、三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2
S=L×h
83、(1)比例的基本性质：
如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果 ad=bc ,那么a:b=c:d 84、(2)合比性质：
如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85、(3)等比性质：
如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0), 那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87、推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
例
88、定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么
这条直线平行于三角形的第三边
89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90、定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形
与原三角形相似
91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95、定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101、圆是定点的距离等于定长的点的集合
102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104、同圆或等圆的半径相等
105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109、定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111、推论1
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112、推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心
距相等
115、推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量
相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 119、推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120、定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 121、①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d﹥r
122、切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123、切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角
127、圆的外切四边形的两组对边的和相等
128、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129、推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130、相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131、推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
长的比例中项
133、推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积
相等
134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135、①两圆外离 d﹥R+r
②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)
136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137、定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138、定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140、定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141、正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142、正三角形面积√3a／4 a表示边长
143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°
／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144、弧长计算公式：L=n兀R／180
145、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 146、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
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