函数的概念,函数的表示法教案练习答案

姓名 年级 性别 函数及其表示 教学课题 1.函数的基本概念，定义域，值域，区间的概念 教学 2.函数的表示方法 目标 3.映射的概念 重点 重点：函数的基本概念，定义域，值域，映射 难点 难点：对函数，映射定义的的理解 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议课前检查 _______________________________ 第 1次课 1.2.1函数的概念 一．知识点梳理 1．函数的概念： 设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意： 1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”“y=h(x)”等； ○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 a.区间的分类： （1）开区间，如1x10，axb，用区间分别表示为：（1,10），（a,b） （2）闭区间,如1x2，axb，用区间分别表示为：[1,2]，[a,b] （3）半开半闭区间，如2x1，axb，用区间分别表示为：(2,1，a,b) （4）无穷区间；如x1,a2,xa,xb,依次用区间表示为(1,),(,2),(,a,b,)，还第 1 页 共 12 页

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有实数集R可以表示为(,)，记住无穷是取不到的，所以永远只能用小括号 b.区间的数轴表示． 4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 解：（1）、一次函数f(x)=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R k（2）、反比例函数f(x)=(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y | y≠0} x4acb2（3）、二次函数f(x)=ax＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，｛y|y≥｝；4a4acb2当a＜0时，｛y|y≤｝。 4a2 二．例题讲解 例1.判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，并说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = x2 （3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = x2 解析： （1）不是同一函数。因为f ( x )中函数的定义域为x0（x0时，零的零次方无意义）， 而g ( x )的定义域为全体实数，所以这两个函数定义域不同，所以不是同一函数。 （2）不是同一函数。因为g ( x )实际上化简以后的表达式是g(x){x,x0，所以这两个函数的表达式不同，也就是说两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数。 （3）不是同一函数，理由同（2） （4）是同一函数，因为g(x)x2|x|，定义域，表达式均相同，所以值域必定相同，所以是相同函数 例2.求下列函数的定义域 （1）f(x)1 （2）f(x)x|x|x,x0111x 第 2 页 共 12 页

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（3）f(x)x4x5 （4）f(x)24x2 x1解：（1）要函数f(x)有意义，必须满足父母不等于零，即x|x|0,解得x0，即函数的定义域是{x|x0}。 （2）要函数f(x)有意义，则1{x|x0且x1} 10且x0，解得x1且x0，即函数的定义域是x（3）要函数f(x)有意义，则二次根号内的数必须大于等于零，即x24x50，解这个一元二次不等式得到5x1，即函数的定义域是{x|5x1} （4）要函数f(x)有意义，则4x20,且x10，解得2x2且x1，即函数的定义域是{x|2x2且x1} 例3.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，从M到N有4种对应如下图所示： 其中能表示为M到N的函数关系的有 。 〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M到N的函数关系。 例4、已知函数f(x)=3x2－5x＋2，求f(3)，f(2)，f(a1)。 解：f(3)=3×32－5×3＋2=14； f(2)=3×(－2)2－5×(－2)＋2=8＋52； 22f(a1)=3(a＋1)－5(a＋1)+2=3a＋a。 例5. 求函数f(x)2x3134x的值域。 解：令134xt,则t0,且13－4x＝t2 13t212 ，∴y3t(t1)24 13t22x4第 3 页 共 12 页

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该二次函数的对称轴为t＝1，又t≥0由二次函数的性质可知y≤4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）。 说明：对于所有形如yaxbcxd的函数，求值域时我们可以用换元法令 cxdt0转化为关于t的二次函数在区间[0，+∞）上的最值来处理。这里要注意t≥0的范围不能少 三．课堂练习 1、函数f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是（ ） 11111A．(,) B．(,1) C．(,) D．(,) 333332、下列各组，函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（ ） x2 A．f(x)=1，g(x)=xB．f(x)=x，g(x)= xC．f(x)=x2， g(x)=(x)4 D．f(x)=x3，g(x)=(3x)9 3、已知函数f(x)=2x－3，求： （1）f(0)，f(2)，f(5)； （2）f[f(x)]； （3）若x∈{0，1，2，3}，求函数的值域。 0 0 4（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝4x－1，求f（x）的解析式； （2）已知f(4x1) 课堂练习答案：（做错的题请先自己思考一下错在哪里？） 1、B 2、D 3、（1）f(0)=－3，f(2)=1，f(5)=7； （2）f[f(x)]=4x－9； （3）值域为{－3，－1，1，3} 第 4 页 共 12 页

4x616x21，求f（x）的解析式； 学生教案

4.（1） f(x)2x或f（x）＝－2x+1 （2） f(x)x22x2 13x5四．小结 求函数的定义域可分成以下几种： 1，分式型，则分母不能为零。 2，偶次根式内的式子必须大于等于零，奇次根式的话，对根号内的数没有正负的要求。 3.xa型则x0 4.ylogax型的x0 这四个基本规则必须牢记。 1.2.2映射 教学目标： （1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念； （2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点：映射的概念． 教学难点：如何理解映射的概念． 1.知识点梳理 映射： 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）． 记作“f：AB” 如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫合A中的元素x的象. 2.函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射f:AB 集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数yf(x),xA,yB 函数的定义域和值域均为非空的数集 第 5 页 共 12 页

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对于集合A中任一元素a,在集合B中都对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的像 有唯一确定的值与之对应 对集合B中任一元素b,在集合A中不一对值域中每一个函数值,在定义域中都定有原像 有确定的自变量的值与之对应 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f：A→B。这里A，B为非空的数集。 （2）A：定义域，原象的集合；{f(x)|x∈A}：值域，象的集合，其中{f(x)|x∈A}B；f：对应法则，x∈A，y∈B （3）函数符号：y=f(x)，y是x的函数，简记f(x) 3.满足映射的条件 a,集合A中的元素必须全部参加，少一个都不是映射，而对集合B中的元素没有任何限制 b,只允许A中的多个元素对应B中的一个元素，而不允许A中的一个元素对应B中的多个元素 c,两个集合都不能是空集 4.函数的表示方法 A.解析法：用关系式表示两个变量之间的关系，如：yx2,f(x)x21等等 B.图像法：用图像表示两个变量间的关系，如教材P20图1.2-2 C.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如教材P19例3 以上三种方法中，解析法是最常用的方法。 二．例题讲解 例1.观察对应： 第 6 页 共 12 页

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〖分析〗其中能够成映射的是___________？ 解析： 例2.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？ （1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应； （3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； 例3.下列图象中表示函数图象的是 （ ） y y y y 0 0 0 0 x x x x （A） (B) (C ) . (D) 例4、设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射 从A到B的映射共有2^3=8个： （a，b，c）→（0，0，0）； （a，b，c）→（0，0，1）； （a，b，c）→（0，1，0）； （a，b，c）→（1，0，0）； （a，b，c）→（0，1，1）； （a，b，c）→（1，0，1）； （a，b，c）→（1，1，0）； （a，b，c）→（1，1，1）。 三．课堂练习 第 7 页 共 12 页

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1．给出下列四个对应： ① ② ③ ④ 其构成映射的是 （ ） A只有①② B只有①④ C只有①③④ D只有③④ 2．已知集合P{x0x4}，Q{y0y2}，下列不表示从P到Q的映射是（ ） 11x Bf:xyx 232:xyx Cf:xyx Df3Af:xy 3．集合A{3,4}，B{5,6,7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________． 答案：9,8 课堂练习答案 1答案：B 提示：根据映射的概念，集合A到集合B的映射是指对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的值与之相对应，故选择B． 2.答案：C 提示：C选项中f:xyx，则对于P集合中的元素4，对应的元素，不在集合Q中，不符合映射的概念． 3.提示：用本节例4的方法一一列举 四.小结 本节主要需要掌握的内容就是映射的概念，映射的概念比较抽象，所以理解起来比较困难，但是还是要认真与函数的概念加以比较分析并且掌握。 课后作业： 2383函数及其表示练习题一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）第 8 页 共 12 页

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⑴y1⑵y1(x3)(x5)，y2x5；x3x1x1，y2(x1)(x1)；⑶f(x)x，g(x)⑷f(x)3x2；x4x3，F(x)x3x1；⑸f1(x)(2x5)2，f2(x)2x5. A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸2. 函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是（ ）A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或2*3. 已知集合A1,2,3,k,B4,7,a,a3a，且aN,xA,yB42使B中元素y3x1和A中的元素x对应，则a,k的值分别为（ ）A. 2,3 B. 3,4 C. 3,5 D. 2,5x2(x1)4. 已知f(x)x2(1x2)，若f(x)3，则x的值是（ ）2x(x2)33A. 1 B. 1或 C. 1，或3 D. 3225. 为了得到函数yf(2x)的图象，可以把函数yf(12x)的图象适当平移，这个平移是（ ）1个单位21C. 沿x轴向左平移1个单位 D. 沿x轴向左平移个单位2A. 沿x轴向右平移1个单位 B. 沿x轴向右平移x2,(x10)6. 设f(x)则f(5)的值为（ ）f[f(x6)],(x10)A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、填空题 第 9 页 共 12 页

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1x1(x0),21. 设函数f(x)若f(a)a.则实数a的取值范围是 . 1(x0).x2. 函数yx2的定义域 . 2x423. 若二次函数yaxbxc的图象与x轴交于A(2,0),B(4,0)，且函数的最大值为9， 则这个二次函数的表达式是 . 4. 函数y(x1)0xx2的定义域是_____________________. 5. 函数f(x)xx1的最小值是_________________. 三、解答题 31. 求函数f(x) 2. 求函数y x1的定义域. x1x2x1的值域. 3. x1,x2是关于x的一元二次方程x2(m1)xm10的两个实根，又yx1x2， 求yf(m)的解析式及此函数的定义域. 4. 已知函数f(x)ax2ax3b(a0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a、b的值. 2222 第 10 页 共 12 页

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参考答案 一、选择题 1. C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同； （4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同； 2. C 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x1仅有一个函数值； 3. D 按照对应法则y3x1，B4,7,10,3k14,7,a,a3a 42 而aN,a10，∴a3a10,a2,3k1a16,k5 4. D 该分段函数的三段各自的值域为,1,0,4,4,，而30,4 2 ∴f(x)x3,x3,而1x2,∴ x3； *4245. D 平移前的“12x2(x)”，平移后的“2x”， 用“x”代替了“x12111”，即xx，左移 2226. B f(5)ff(11)f(9)ff(15)f(13)11. 二、填空题 1. ,1 当a0时,f(a)1a1a,a2，这是矛盾的； 21当a0时,f(a)a,a1； a22. x|x2,且x2 x40 3. y(x2)(x4) 设ya(x2)(x4)，对称轴x1， 当x1时，ymax9a9,a1 4. ,0 5. x10,x0 xx0512552 f(x)xx1(x). 4244三、解答题 1. 解：∵x10,x10,x1，∴定义域为x|x1 第 11 页 共 12 页

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2. 解： ∵x2x1(x)21233, 44∴y33，∴值域为[,) 2223. 解：4(m1)4(m1)0,得m3或m0， yx12x22(x1x2)22x1x2 4(m1)22(m1)4m10m22 ∴f(m)4m10m2,(m0或m3). 4. 解：对称轴x1，1,3是f(x)的递增区间， 2f(x)maxf(3)5,即3ab35 f(x)minf(1)2,即ab32, 3ab231得a,b. ∴44ab1 听课及知识掌握情况反馈：_______________________________________________________. 课堂检测 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______. 教学需要：加快□；保持□；放慢□；增加内容□ 作业_____题； 巩固复习____________________ ； 课后巩固 预习布置_____________________. 签字 教学组长签字： 学习管理师: 老师 老师最欣赏的地方： 课后 老师想知道的事情： 赏识 评价 老师的建议：

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