对一道高考题的探究

广东省广州州市从化中学 杨仁宽 510900

题目 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则———————————．”

这是2003年全国高考填空题，既保持了2002年 “让研究性学习走进高考” 的创新作法，又较好地考查了考生的数学直觉、探究能力、创新精神等，是“在知识网络交汇点处命题”的一个范例！本文拟对此考题作些探究．

首先，依据教材中“如果β⊥γ，γ⊥α，β∩γ=a，那么a⊥α”的论述，此考题的已知条件等价于“不共面的三条线段AB、AC、AD两两互相垂直”，以下用到时不再另行说明． 1 探究试题的多源 1．1 源于高考题

高考题1 2001年全国高考第(18) 题(题略)，连结DB，在三棱锥A－BDS中探求“面积关系”即为今年考题；

高考题2 (1979年全国)设三棱锥V－ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA= 900．求证：△ABC是锐角三角形．

在此三棱锥中探求“面积关系” 也得今年考题！

1．2 源于课本题

课本题1 在新教材“简单几何体”中，有如下练习

如图1，将 长方体沿相邻在 F C c 个面的对角线截

去一个三棱锥． B d b 这个三棱锥的体

D A 积是长方体体积 图1 的几分之几？

在截下的三棱锥中，探求所需的

“面积关系”，为今年考题． 2 探究试题的多解 2．1 特殊例题探路

在图1中，取AB=AC=AD=2，则三个侧面面积的平方和为12，底面三角形面积是23，其平方也为12．故

2222填写“S． ABC+SACD+SADB=SBCD”

2．2 一般情形探求

现给出一般情形下，所需面积关系的几种探求思路，供参考．

思路1 如图1，设AB=b、AC=c、AD=d，易求△BCD的边长，用余弦定理和S△BCD=1BC×BD×sinB可得，此2法易想但字母运算较难、较繁．

思路2 如上得到△BCD的三边之长后，用海伦公式求其面积、再平方，可得到所需关系式．

思路3 利用多边形的面积射影公式S射影S原形cos，可得简证如下： 如图2，设侧面△ABC、△ACD、△ABD及底面△BCD的面积分别为S1、S2、S3、S，侧面与底面所成的锐角分别是α、β、γ，设点A在底面上的射影是O，过O作OE⊥BC于E，则∠AEO=α，OE=AEcosα，从而S△BOC= S1×cosα，结合S1= S×cosα，

S12S22得 S△BOC= 同理S△DOC=，

SS A S△BOD=

S23S22， E B C O D 三式相加，

21得S+S+S=S． 图2

232

1

3 探究试题的多用

所得上式可称为“空间勾股定理”，它有广泛的应用，限于篇幅，仅举一例．

例 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，求二面角A－B1C－B的大小．

这是由2003年高考立体几何大题改编的，按常规方法“作、说、算、答”，则繁、难；用“空间勾股定理”，可得

D C 下列简捷解法： 1 1 如图3， B 1 A 1 设所求二面角 的平面角为θ， 则SABB1=SCBB1

D C B 性质3 直角三棱锥A－BCD中， 有下列等量关系： (1)l=

b2c2+c2d2 +b2d2+

b+c+d；(2)V=1bcd；(3)S△BCD=1m； 62(4)S=1(bc+cd+db+m)；(5)R=1n； 22(6) h=

abcm2；(7) S12+S2+S32=S2△BCD；

=1=2S△ABC=S1，

A 由“空间勾股 图3 定理”，得 SACB1=3=S． 2(8)rS=3V．

(1)、(2)、(4)式显然；(3)即(7)式，已证；由(2)及体积相等，得(6)式．

对(5)式，既可返璞归真：以AB、AC、AD为相邻的棱，补三棱锥成长方体，其体对角线交点O到各顶点的距离均为1n=R；也可由命题“过球面2上任意一点作互相垂直的三条弦的平方和等于球直径的平方”而得．

由四面体体积V=1bcd =1r(S1+S2 63+S3+ S△BCD )，得(8)式．

4．3 直角三棱锥中的代数不等关系．

性质4 直角三棱锥A－BCD中， 有下列代数不等式成立(当且仅当b=c=d时，各式取“＝”号)： (1) 2(36)R≥l≥3(1+2)36V；

2(33)336V2． (2)2≥S≥123(33)R而△CB1B是△AB1C在平面BC1C

内的射影，S1=Scosθ

∴ cosθ=2，θ=arccos2为所求． 334 探究试题潜在的若干性质 文首的填空题，潜在着许多优美的性质与重要的结论，简要探究如下．

为叙述方便，我们把三个侧面两两相互垂直的三棱锥叫做直角三棱锥．并约定：直角三棱锥A－BCD的侧面△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为S1、S2、S3，它们与底面所成的锐角分别是α、β、γ；设AB=b，AC=c，AD=d，n= b2+c2+d2，m=b2c2+c2d2+d2b2，用V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球与内切球的半经、底面上的高．

4．1 底面的类型及顶点的射影

性质1 直角三棱锥中，与直角顶 点相对的面(底面)是锐角三角形．

此即为1979年高考题(证明略)． 性质2 直角三棱锥A－BCD中，顶点A在底面上的射影O，是△BCD的垂心．

由三垂线定理易证(此处略)． 4．2 直角三棱锥中的等量关系

事实上，对(1)式，易知l≥33bcd +

2(bc+cd +bd)≥33bcd+

332bcd=3(1+2)36V，

而b+c≤2(b2c2)，c+d≤

2(c2d2)，b+d≤2(b2d2)，将三式相加，得b+c+d≤122(b2c2

2

+c2d2+b2d2)，从而l2=(b2c2 +c2d2 +b2d2+ b+c+d)2≤

14得AE=bc÷b2c2，而AO=bcd÷m，

∴ sinα=

db2c2m，sinγ=

，同理，有

(2+2)(bc+cd+bd)

2

2

2

22222222222

=(3+22)(b+c+d+bc×cd2sinβ=

cb2d2mbc2d2m

+b2d2×c2d2 +b2d2×b2c2)≤3(1+2)2( b2+c2+d2)=12(1+2)2R2，

∴ l ≤2(36)R，从而(1)成立． 对于(2)，由算术－几何不等式，得2S=bc+cd+db+m≤b2+c2+d2+

13∴ sin2α+sin2β+sin2γ=2 ①，由柯西不等式，2=sin2α+sin2β+sin2γ=1(12+12+12)(sin2α+sin2β+sin2γ)≥313( sinα+sinβ+sinγ)2，由此得(1)式．

(b4c4d42b2c22c2d22d2b2)33=b2+c2+d2+

2

(b2+c2+d2)=4R(33)32∴ S≤2；而2S =bc+cd 3(33)R+db+m≥33(bcd)2 +3=(3+3)3(6V)2，

3(bcd)2

而(sinα+sinβ+sinγ)2= sin2α

+sin2β+sin2γ+2(sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα)=2+2(sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα)≤6，由此得(2)式．

由①等价于cos2α+cos2β+cos2γ=1 ②，由①、②及幂平均不等式、对称平均不等式及算术－几何平均不等式，即可得到不等式(3)～(6)式．

若继续探究，还可得到许多有关的三角不等式，如：

tanα+tanβ+tanγ≥32； tanαtanβ+tanβtannγ+ tanγtanα≥6；

32(33)36V∴S≥1，(2)式成立． 2tanαtanβtanγ≥22等等．

4．4 直角三棱锥中的三角不等关系

性质5 直角三棱锥A－BCD中， 参 考 文 献 有下列三角不等式成立： 1．杨仁宽．对一道高考题的思考．河

北理科教学研究，2001，2

(1)sinα+sinβ+sinγ≤6；

2． 杨仁宽．探析一道高考立体几何

(2) sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα≤2； 题．河北理科教学研究，2001，4

3．杨仁宽．直角四面体的性质及其应2(3) sinαsinβsinγ≤96；

用．中学数学月刊，1995，5

3． 苏化明．直角四面体与等腰四面体

(4) cosα+cosβ+cosγ≤3；

的若干性质．湖南数学年刊， 1995

(5) cosαcosβ+cosβcosγ+cosγcosα≤1；年第15卷第4期

(6) cosαcosβcosγ≤1． 39注：此文曾获广州市一等奖之后发表

简证如下：在图2中，由性质2，在《河北理科教学研究》2005年第2知：O是△BCD的垂心，∠AEO=α，期上。 于是sinα=h÷AE，由2S1=bc=BC×AE，

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