中考数学专题复习导学案尺规作图含答案
集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
中考数学专题练习《尺规作图》
【知识归纳】 一）尺规作图 1．定义
只用没有刻度的 和 作图叫做尺规作图． 2．步骤
①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； ②分析作图的方法和过程； ③用直尺和圆规进行作图； ④写出作法步骤，即作法． 二）五种基本作图
1．作一条线段等于已知线段； 2．作一个角等于已知角； 3．作已知角的平分线； 4．过一点作已知直线的垂线； 5．作已知线段的垂直平分线． 三）基本作图的应用 1．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆． 【基础检测】
1．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ）
A．a=b B．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1
2.如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径
画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ） A．2.5cm B．3.0cm
B
C．3.5cm D．4.0cm
3.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
4.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C． （1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标； （2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．
5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC． （1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′． 6．已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
7．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC （1）线段BC的长等于
；
A
C （2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点 为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于
，请写出画法，并说明理由．
【达标检测】
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ） A．65° B．60° C．55° D．45°
2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是（ ）
第10题图
A．BH垂直分分线段AD C．S△ABC=BC·AH 二、填空题
3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB= ． 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是 。
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
B．AC平分∠BAD D．AB=AD
三、解答题
5.（12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站8的格点图是由边长为1的小正方形组成） 路线图．（8×
（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到）；
（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）
6.（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
7.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
8. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形请说明理由．
9.如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图． （1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2； （3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．
【知识归纳答案】
一）尺规作图 1．定义
只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤
①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法． 二）五种基本作图
1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线． 三）基本作图的应用 1．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．
【基础检测答案】
1．）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ） A．a=b B．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1
【解析】作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系． 【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0， 故2a+b+1=0， 整理得：2a+b=﹣1， 故选：B．
【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．
2.如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径
画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ） A．2.5cm B．3.0cm
B
C．3.5cm D．4.0cm
C A
【答案】B
【解析】首先根据题意画出图形，由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质对角线相等，得出AD＝BC．最后利用刻度尺进行测量即可．
【方法指导】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质，关键是正确理解题意，画出图形．
3.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图—相似变换．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．
【解答】解：如图，AD为所作．
4. （8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C． （1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标； （2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积． 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．
【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；
（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．
【解答】解：（1）所求作△A1B1C如图所示： 由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系， 则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）； （2）∵AC=
=
=
，∠ACA1=90°
∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为： S扇形CAA1+S△ABC
=+×3×2
=+3．
5．(8分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC． （1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′． 【考点】作图-平移变换．
【分析】（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题． （2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′． 【解答】解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示． （2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
6．（2016.山东省青岛市,4分）已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切． 【考点】作图—复杂作图．
【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．
【解答】解：①作∠ACB的平分线CD， ②在CD上截取CO=a，
③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆； 如图所示：⊙O即为所求．
7．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC （1）线段BC的长等于
；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点 A 为圆心，以线段 BC 的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于
②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于【考点】作图—复杂作图．
，请写出画法，并说明理由．
【分析】（1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；
（2）①结合勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的位置，根据画图的步骤，完成图形即可； ②根据线段的三等分点的画法，结合OA=2AC，即可得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△BAC中，AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴BC=故答案为：
．
，∠OAD=90°，
=
．
（2）①在Rt△OAD中，OA=2，OD=∴AD=
=
=BC．
∴以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于依此画出图形，如图1所示． 故答案为：A；BC． ②∵OD=∴
，OP=．
，OC=OA+AC=3，OA=2，
．
故作法如下：
连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P，P点即是所要找的点． 依此画出图形，如图2所示．
【达标检测答案】
一、选择题
1．）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ） A．65° B．60° C．55° D．45° 【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线， 则AD=DC，故∠C=∠DAC， ∵∠C=30°， ∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°， ∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°， 故选A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
2.如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧○1；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧○2，将弧○1于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是（ ）
第10题图
A．BH垂直分分线段AD C．S△ABC=BC·AH 答案：A
解析：AD相当于一个弦，BH、CH⊥AD；B、D两项不一定；C项面积应除以2。 知识点：尺规作图 二、填空题
3.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB= 5 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质即可解决问题．
【解答】解：由题意直线CD是线段AB的垂直平分线， ∵点F在直线CD上，
B．AC平分∠BAD D．AB=AD
∴FA=FB， ∵FA=5， ∴FB=5． 故答案为5．
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是 。
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． 【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数； ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°． 故②正确； ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上． 故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=ACCD=ACAD． ∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD， ∴S△DAC：S△ABC=ACAD： ACAD=1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
三、解答题
5.（12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站8的格点图是由边长为1的小正方形组成） 路线图．（8×
（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到）；
（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复） 【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．
【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值； （2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可． 【解答】解：（1）根据图1可得：∴A站到B站的路程=
（2）从A站到D站的路线图如下：
6.（7分）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案； （2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4×（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．
7.如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）
=4
；
，≈；
，CD=3
【考点】作图—相似变换．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似．
【解答】解：如图，AD为所作．
8.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形请说明理由． 【考点】矩形的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，
∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证． 【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线； （2）四边形BEDF为菱形，理由为： 证明：∵EF垂直平分BD， ∴BE=DE，∠DEF=∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE， ∴∠BEF=∠BFE， ∴BE=BF， ∵BF=DF， ∴BE=ED=DF=BF， ∴四边形BEDF为菱形．
9．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图． （1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2； （3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积． 【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1． （2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．
（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图， ∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0）， ∴直线A1B1为y=5x﹣5， 直线B2C2为y=x+1， 直线A2B2为y=﹣x+1，
由解得，∴点E（，），
由解得，∴点F（，）．
∴S△BEF=1509．
676∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．
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