相似三角形经典大题(含答案)

相似三角形经典大题解析

1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h．

（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？

【答案】解：（1）MN∥BC

△AMN∽△ABC h6x83x4

h（2）△AMN≌△A1MN

△A1MN的边MN上的高为h，

①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时， yS△A1MN=

12MN·h12x·34x38x（0x≤4）

2②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4x8)，

设△A1EF的边EF上的高为h1， 则h12h6EF∥MN32x6

△A1EF∽△A1MN

△A1EF∽△ABC

△A1MN∽△ABC

S△A1EFS△ABCh1 63x632224x1x26222S△ABC126824 S△A1EF2 4yS△A1MNS△A1EF92322xx12x24x12x24 882(4x8)

38x，取x4，y最大6

23所以 y98x12x242综上所述：当0x≤4时，y当4x8时，y取x163982x12x24，

，y最大8

86

当x163时，y最大，y最大8

A

M N

B

E A1

F

C

2．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，2)三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

2【答案】解：（1） 2)，该抛物线过点C(0，可设该抛物线的解析式为yaxbx2．

将A(4，0)，B(1，0)代入，

1a，16a4b20，2得解得 ab20.b5.2此抛物线的解析式为y12x252x2．

（2）存在．

如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为当1m4时，

AM4m，PM12m212m252m2，

52m2．

又COAPMA90°，

①当

AMPMAOOC21时，

△APM∽△ACO，

即4m212m25m2． 2解得m12，m24（舍去），P(2，1)． ②当

AMPMOCOA12时，△APM∽△CAO，即2(4m)12m252m2．

解得m14，m25（均不合题意，舍去）

1)． 当1m4时，P(2，类似地可求出当m4时，P(5，2)． 当m1时，P(3，14)．

综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，14)． 2)或(3，

3．如图，已知直线l1:y23x83与直线l2:y2x16相交于点C，l1、l2分别交x轴于

A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且

点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

yl2 C D l1E y A O

（G） x F B

【答案】（1）解：由

23x83A点坐标为4，0，0．得x4．

B点坐标为8，0．由2x160，得x8．

∴AB8412．

28yx，x5，由解得∴C点的坐标为5， 6．33y6．y2x16．∴S△ABC12AB·yC12 12636．23883 （2）解：∵点D在l1上且xDxB8，yD ∴D点坐标为8， 8． 8．又∵点E在l2上且yEyD8， 2xE168．xE4．∴E点坐标为4， 8．∴OE844，EF8．

（3）解法一：①当0≤t3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形

CHFGR（t0时，为四边形CHFG）．过C作CMAB于MR△tRGB∽R△tC．M By，则

l2y D R E l1l2y C C E D R l1E l2D C l1R A F O G M （图2）

RGA O F M G B x （图1） ∴

BGRG，即

tB x F A G O M B x

（图3）

，∴RG2t．

BMCM36Rt△AFH∽Rt△AMC，

12t2t12∴SS△ABCS△BRGS△AFH36即S43t2 8t8t．32163t443．

82t, 当3t8时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=2(8t)83331282t880 ∴

s4[(4t)8]t233333当8t12时，如图3,为三角形面积，

s12(82t3)(12t)t238t48

4．如图，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）若a4厘米，t1秒，则PM______厘米；

（2）若a5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解： （1）PMD Q C D Q P C N B P A 34N B A ，

M M （2）t2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2 （3）PM⊥AB，CB⊥AB，AMPABC，

△AMP∽△ABC，QM3t(a1)aPMBNAMAB即

PMtata，PMt(at)a，

(QPAD)DQ2(MPBN)BM2当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即

t(at)t33(a1)(at)tt6aaa化简得t，

226at≤3，6a6a3a≤6， ≤3，则a≤6，（4）3a≤6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等

梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CNPM ta(at)3t，把t6a6a代入，解之得a23，所以a23．

所以，存在a，当a23时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

【答案】 解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以

BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.

0

(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=3t,由AP=t,得PB=6-t,

所以S△BPQ=

12×BP×QE=

12(6-t)×3t=－

32t2+33t；

(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60=

0

12×2t=t,

所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=60,所以tan60=

650

0

QRPR,即

62t3t3,所以t=

65,

所以当t=

时, △APR～△PRQ

6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、

OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求

直线DE的解析式； （3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使

以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请

说明理由．

y M C D E N O （第26题 图1） B A F x

.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD

的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到

图15-3，求

O A

1 C 图7-3

B

BDACM D 2

O A

N

1 B

图7-1

D 2 O M

的值．

A

1 C 图7-2

B

N

D 2 M

N

【答案】 解：（1）AO = BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

M D 2 O E A N

1 C 图4

B F

又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE， ∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD． 延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．

又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC．

D M 2 E A N

1 C

∴

BEACBOAO．

又∵OB = kAO，

B

O 图5

由（2）的方法易得 BE = BD．∴

BDACk．

10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？

（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；

（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；

（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可

能，请说明理由；

Y

N A

Q

O P M X

（本试题由冯老师数学工作室整理提供http://blog.sina.com.cn/flssxgzs）