广西南宁市2015届高考数学一模试卷（理科）
一.选择题
1．已知全集U=R，A={x|x+3x﹣10＞0}，B={x|﹣2≤x≤5}，则（∁UA）∩B等于( ) A．{x|﹣5＜x≤2}
2．设复数z满足z•（1﹣i）=2，则复数z的模|z|等于( ) A．
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于( ) A．﹣11
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是( ) A．y=lnx 5．（1﹣ A．﹣5
）的展开式x的系数是( )
B．5
C．﹣10
D．10
5
22
B．{x|﹣2＜x≤5} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|﹣5≤x≤5}
B．2 C． D．4
B．11 C．331 D．﹣31
B．y=x
2
C．y=cosx D．y=2
﹣|x|
6．已知x，y满足则目标函数z=x+y的最大值为( )
A．4
B．5 C．6 D．7
7．如图所示的程序框图中输出的a的结果为( )
A．2
8．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )
B．﹣2
C．
D．﹣
A．
B． C． D．
9．已知函数f（x）=sin（x+ A．（0，
]
），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值范围是( )
D．
B． C．
10．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为( ) A．
B．
C．
D．
11．双曲线与抛物线y=2px（p＞0）相交于A，B两点，公
2
共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( ) A．
12．定义域为的函数y=f（x）的图象的两个端点A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（λ∈R），向量式|
=λ
+（1﹣λ）
，其中O为坐标原点，若不等
B．
C．
D．
|≤k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数y=x+在上“k阶线性近
似”，则实数k的取值范围为( )
A．
，求sinA的值．
（2）若acosB+bcosA=2，a=
18．某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA1，D为AB的中点． （1）求证：BC1∥平面DCA1；
（2）求二面角D﹣CA1﹣C1的平面角的余弦值．
20．已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且过点（
，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=
21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R） （I）若函数f（x）在区间 则其三视图如图：
分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值．
，
故选：C．
点评：本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．
9．已知函数f（x）=sin（x+ A．（0，
考点：正弦函数的图象． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：先求得x+
的取值范围，由x+
∈时f（x）的值域是，可知
≤a+
≤
，可解
]
），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值范围是( )
D．
B． C．
得实数a的取值范围．
解答： 解：∵x∈， ∴x+∵x+
∈，
∈时f（x）的值域是，
≤a+
≤
，可解得a∈．
∴由函数的图象和性质可知故选：D．
点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+
10．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为( ) A．
考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计．
分析：所有的结果共有C5A4种，不满足条件的事件数A4，可得不满足条件的概率，用1减去此概率即得所求．
解答： 解：5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C5A4=240种结果， 甲和乙在同一岗位服务的事件数A4=24 则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 1﹣故选：A
点评：本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题．
11．双曲线
与抛物线y=2px（p＞0）相交于A，B两点，公
2
4
2
4
2
4
4
≤是解题的关键，属于基本知识的考查．
B． C． D．
=
共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( ) A．
B．
C．
D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用条件可得A（
）在双曲线
上，
=c，
从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论．
解答： 解：∵双曲线
B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F， ∴A（
）在双曲线
与抛物线y=2px（p＞0）相交于A，
2
上，=c
∴（c，2c）在双曲线上，
∴
4
22
4
∴c﹣6ac+a=0 ∴e﹣6e+1=0 ∴∵e＞1 ∴e=故选B．
点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．定义域为的函数y=f（x）的图象的两个端点A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（λ∈R），向量式|
=λ
+（1﹣λ）
，其中O为坐标原点，若不等
4
2
|≤k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数y=x+在上“k阶线性近
似”，则实数k的取值范围为( )
A．，所以便得到，所以只需k；
．
解答： 解：由题意知a=1，b=2，所以A（1，2）∴直线AB的方程为
∵xM=λ+2（1﹣λ）=2﹣λ；
=
∴M，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上； ∴∵∴∴要使
恒成立，则k
=，
； ；
；
；
；
；
∴实数k的取值范围为． 故选C．
点评：考查直线的点斜式方程，向量坐标的加法及数乘运算，根据
可判断出点N，A，B共线，以及对k阶线性近似概念的理解与运用，基本不等式．
二.填空题
13．若a+b=4c（c≠0），则圆O：x+y=1的圆心到直线l：ax+by+c=0的距离为．
考点：点到直线的距离公式． 专题：直线与圆．
分析：直接写出圆的圆心到直线的距离，结合已知a+b=4c求得答案． 解答： 解：∵圆O：x+y=1的圆心坐标为（0，0）， ∴圆O：x+y=1的圆心到直线l：ax+by+c=0的距离d=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
又a+b=4c， ∴
，
222
则d==．
故答案为：．
点评：本题考查了圆的方程，考查了点到直线的距离公式，是基础题．
14．已知向量3．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：由向量再由
，
，
，先求出
=（
，3），
，
，
，若
与垂直，则k=﹣
与垂直，求出k的值．
，
，
，
解答： 解：∵向量∴∵∴（∴k=﹣3． 故答案为：﹣3．
=（
，3），
与垂直，
）•（k，
）=
，
点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
15．在数列{an}中，已知a1=2，a2=7，记an与an+1（n∈N）的积的个位数为an+2，则a2015=2．
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：由已知分别求出数列的前几项，然后得到数列周期性出现的规律得答案． 解答： 解：∵a1=2，a2=7，∴a1a2=14，则a3=4，
+
a2a3=7×4=28，则a4=8， a3a4=4×8=32，则a5=2， a4a5=8×2=16，则a6=6．
∴a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，
∴从第三项起，an的值成周期数列，周期数为6， 则a2015=a335×6+5=a5=2． 故答案为：2．
点评：本题考查了数列递推式，关键在于通过求值得到数列的周期性，是中档题．
16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为16π．
考点：球的体积和表面积． 专题：空间位置关系与距离．
分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．
解答： 解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形， 设AA1=2a，E为AA1的中点，
以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a）， 则
=（﹣2，2，0），
=（﹣2，0，a），
=（1，1，a），
若OA⊥平面BDE，则
，即
即a﹣2=0， 解得a=
，
=4，
2
，
∴球O的半径R满足：2R=故球O的表面积S=4πR=16π， 故答案为：16π．
2
点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．
三.解答题
17．在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cos=（1）求cosC的值； （2）若acosB+bcosA=2，a=
考点：余弦定理；正弦定理． 专题：三角函数的求值；解三角形．
分析：（1）由二倍角的余弦公式代入已知即可求cosC的值． （2）由已知及余弦定理可得a×
sinC的值，即可由正弦定理求得sinA的值． 解答： 解：（1）∵cos=
，
+b×
=2，从而解得c的值，求得
，求sinA的值．
，
∴cosC=2cos﹣1=2（2）∵acosB+bcosA=2， ∴由余弦定理可得：a×∴从而解得：c=2，
2
﹣1=．
+b×=2，
又∵a=∴sinC=
，cosC=，
=
，
∴由得sinA===．
点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
18．某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计．
分析：（1）设Ai表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1），由此能求出至多有1人是“极安全”的概率．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得X～B（3，），由此能求出X的分布列及数学期望．
解答： 解：（1）设Ai表示所取得人中有i个人是“极安全”， 至多有一人是“极安全”记为事件A， 则P（A）=P（A0）+P（A1）=
+
=
．
（2）X的可能取值为0，1，2，3， 由已知得X～B（3，）， P（X=0）=（）=P（X=1）=p（X=2）=P（X=3）=∴X的分布列为： X P
EX=3×=．
点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA1，D为AB的中点． （1）求证：BC1∥平面DCA1；
（2）求二面角D﹣CA1﹣C1的平面角的余弦值．
0
1
2
3
，
3
，
， ，
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 专题：计算题．
分析：方法一（1）先做出辅助线，连接AC1与A1C交于点K，连接DK，根据要证明线与面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，找到的直线是DK．
（2）根据二面角D﹣CA1﹣C1与二面角D﹣CA1﹣A互补，做出辅助线，边做边证作GH⊥CA1，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA1，得到∠DHG为二面角D﹣CA1﹣A的平面角，解出结果．
方法二（1）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量．根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论．
（2）以BC的中点O为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，根据法向量与平面上的两个向量垂直且数量积等于0，得到一个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值． 解答： （方法一）（1）证明：如图一，连接AC1与A1C交于点K，连接DK． 在△ABC1中，D、K为中点，∴DK∥BC1． 又DK⊂平面DCA1，BC1⊄平面DCA1， ∴BC1∥平面DCA1
（2）解：二面角D﹣CA1﹣C1与二面角D﹣CA1﹣A互补． 如图二，作DG⊥AC，垂足为G，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，∴DG⊥平面ACC1A1． 作GH⊥CA1，垂足为H，连接DH，则DH⊥CA1， ∴∠DHG为二面角D﹣CA1﹣A的平面角 设AB=BC=CA=AA1=2， 在等边△ABC中，D为中点，∴∴
，
，∴
，在正方形ACC1A1中，
．
，
∴．
∴所求二面角的余弦值为．
图一__________图二__________图三
（方法二）（1）证明：如图三以BC的中点O为原点建系，设AB=BC=CA=AA1=2． 设
是平面DCA1的一个法向量，
则．又，，
∴．令，∴
∵，∴．
又BC1⊄平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1． （2）解：设
是平面CA1C1的一个法向量，
则．又，，
∴．令，∴．
∴
∴所求二面角的余弦值为
．
．
点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用，本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度．
20．已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且过点（
，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=
考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值．
分析：（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），可得，
解得a，b即可．
（2）设直线AS的斜率为k＞0，利用kAS•kBS=﹣
，可得
．直线AS，BS的方程分
别为：y=k（x+2），y=性质即可得出． 解答： 解：（1）∵椭圆
+
．令x=，可得M，N．求出|MN|再利用基本不等式的
=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），
∴，解得a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为：．
（2）设直线AS的斜率为k＞0， ∵kAS•kBS=﹣， ∴
．
∴直线AS，BS的方程分别为： y=k（x+2），y=令x=∴|MN|=
∴线段MN长度的最小值为
．
，则M
． ，N
=
．
，当且仅当k=时取等号．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R） （I）若函数f（x）在区间． ∴a≥﹣3；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立， 即x•lnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立， 也就是k（x﹣1）＜x•lnx+ax﹣ax+x恒成立， ∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0． 则问题转化为k
对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设函数h（x）=，则，
再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则
′
．
∵x∈（1，+∞），∴m（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上为增函数， ∵m（1）=1﹣ln1﹣2=﹣1，m（2）=2﹣ln2﹣2=﹣ln2，m（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，m（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣ln4＞0．
∴∃x0∈（3，4），使m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0． ∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h（x）＜0，∴x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h（x）＞0，∴
′
′
在（1，x0）上递减， 在（x0，+∞）上递增，
∴h（x）的最小值为h（x0）=．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0+1=x0﹣1，代入函数h（x）=∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立， ∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3， ∴k的值为1，2，3．
得h（x0）=x0，
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值和最小值中的应用，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（Ⅱ）时如何求解函数h（x）=最小值，学生思考起来有一定难度．此题属于难度较大的题目．
四.选做题【选修4-1：几何证明选讲】
的
22．已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC． （1）求证：∠BAC=∠CAG； （2）求证：AC=AE•AF．
2
考点：与圆有关的比例线段． 专题：证明题；立体几何．
分析：（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；
（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC=AE•AF． 解答： 证明：（1）连接BC， ∵AB为⊙O的直径„
∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°„ ∵GC与⊙O相切于C， ∴∠ECB=∠BAC ∴∠BAC+∠ACG=90°„ 又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90° ∴∠BAC=∠CAG„
（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF ∵GE与⊙O相切于C， ∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB
∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90° ∴∠AFC=∠ACE„ ∵∠FAC=∠CAE
2
∴△FAC∽△CAE„ ∴
2
∴AC=AE•AF„
点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为
为参数），曲线P在以该直角坐
2
标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ﹣4ρcosθ+3=0． （1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程； （2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程． 专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出P的直角坐标方程；
（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=解答： 解：（1）由曲线C的参数方程为
消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣1=0；
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ﹣4ρcosθ+3=0， ∴曲线P的直角坐标方程为x+y﹣4x+3=0．
（2）曲线P可化为（x﹣2）+y=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，
2
22
2
2
即可得出．
为参数），
则圆心到直线C的距离为故|AB|=
=
．
，
点评：本题考查直角坐标系与极坐标之间的互化，熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a． （1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题：函数的性质及应用．
分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值； （2）围．
解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4． 所以函数f（x）的最小值为4． （2）
对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范
是解题的关键．
⇔a+≤4对任意实数x恒成立． 当a＜0时，上式显然成立； 当a＞0时，a+≥2
=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．
点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决．
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