浅谈椭圆中的焦点三角形

浅谈椭圆中的焦点三角形

新疆焉耆农二师八一中学 焉耆 841100

【摘要】文章结合例题对椭圆中的焦点三角形有关性质进行分析讲解。

【Abstract】In this article, the writer has made an analysis and explanation on the quality of the focus triangle in the ellipse combining examples.

【Keywords】Ellipse Focus triangle

定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为 左右两焦点分别为 设焦点三角形 中 则 。

此公式可用于求焦点三角形的面积或解决与焦点三角形面积有关的问题。

例1：椭圆 的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，且 ，则 =________。

解：由公式可得S=3×sin90°=3

性质二：已知椭圆方程为 左右两焦点分别为F1、F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设 ，由焦半径公式可知： ，

在 中，

例2：已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为________。

解：取短轴端点B2，则由余弦定理知 ，∴ 是锐角，由性质2知P不可能为直角顶点，故不妨设 为直角顶点， ，∴ ，又 =28，解得 = ， = ，∴ = 。

例3：设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且 ，求 的值。

分析：取短轴端点B2，则由余弦定理知 ，∴ 是钝角，由性质2知P可能为直角顶点。

解：由已知 ， ，根据直角的不同位置，分两种情况。

若 是直角，则

即

解得 =4， ，∴

若 是直角，

即 = ， ，∴

综上所述，

的值为 或2。