期中测试卷02(人教A版)(选择性必修第一册第一章、第二章)(解析版)

期中测试卷02

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1．直线(a1)x(2a1)y10恒过一定点，则此定点为( )。

A、(2，1) B、(0，1) C、(1，2) D、(2，1) 【答案】D

【解析】直线可变形为：a(x2y)(xy1)0，若该方程对任意a都成立，

x2y0x2则，即，直线恒过点(2，1)，故选D。

xy10y12．设直线l的方向向量是a，平面的法向量是n，则“an”是“l//”的( )。

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由l//，得：an，是必要条件，

而“an”不一定有l//，也可能l，故不是充分条件，故选B。

3．设OABC是正三棱锥，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若OGxOAyOB

zOC，则xyz( )。

A、

113 B、 C、 D、1 424【答案】C

【解析】∵OG3GG1OG3GG13OG13OGOG∴OG3OG1， 43OAOBOCOAOBOC111OAOBOC， 434444则xyz1113，故选C。 44444．已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为( )。

A、(x1)2(y1)22 B、(x1)2(y1)22 C、(x1)2(y1)22 D、(x1)2(y1)22 【答案】B

高中试题

1

高中试题

【解析】∵两条直线xy0与xy40的距离为d|4|1122，∴所求圆的半径为r2，

xy0x0xy0x2由得，由得，∴直径的两个端点(0，0)、(2，2)，

xy0y0xy40y2因此圆心坐标(1，1)，圆的方程为(x1)2(y1)22，故选B。

5．在边长为a的等边三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角BADC后，BC二面角BADC的大小为( )。

A、30 B、45 C、60 D、90 【答案】C

【解析】BDC就是二面角BADC的平面角，

1a，此时2121212aaaBDCDBC1444，∴BDC60，故选C。 ∵cosBDC112BDCD22aa222226．已知平面内的角APB60，射线PC与PA、PB所成角均为135，则PC与平面所成角的余弦值是( )。

A、3636 B、 C、 D、 3333【答案】D

【解析】由三余弦公式知cos45coscos30，∴cos6，故选D。 37．在三棱锥ABCD中，AD平面ABC，BAC120，ABADAC2，则该棱锥的外接球半径为( )。

A、5 B、6 C、3 D、4 【答案】A

【解析】由已知建立空间直角坐标系A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，0，2)，

0)，设球心坐标为O(x，y，z)， 由平面知识得C(1，3，则OAOBOCOD，

由空间两点间距离公式知：x2y2z2(x2)2y2z2，

x2y2z2x2y2(z2)2， x2y2z2(x1)2(y3)2z2，

解得x1，y3，z1，∴半径为R12(3)2125，故选A。

8．已知直线l：(m3)x(m2)ym20，点A(2，1)，B(2，2)，若直线l与线段AB相交，则m的

高中试题

2

高中试题

取值范围为( )。

3A、(，4][4，) B、(2，) 2) C、[，8] D、(4，2【答案】C

【解析】直线l方程变形得：(xy1)m(3x2y2)0。

4xxy10415由得，∴直线l恒过点C(，)，

553x2y20y1511123111135，kBC5，由图可知斜率k的取值范围为：k或k， 4467627255kAC又km33m3m3113，∴或，即2m8或m2， m2m262m27又m2时直线的方程为x43，仍与线段AB相交，∴m的取值范围为[，8]，故选C。

25二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段长为5，则直线l的方程为( )。

A、x2 B、x3 C、y1 D、y2 【答案】BC

【解析】若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1、 l2的交点分别为A(3，4)，B(3，9)，

截得的线段AB的长|AB||49|5，符合题意， 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1，

yk(x3)1yk(x3)13k24k13k79k1解得A(得B(，)，解，)，

xy10xy60k1k1k1k1由|AB|5，得(3k23k74k19k1)()52， k1k1k1k1解得k0，即所求的直线方程为y1，

综上可知，所求直线l的方程为x3或y1，故选BC。

10．已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，若在坐标平面内存在一点P，使|PA||PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为( )。

216278A、(，，4) C、(1，) D、(，) B、(1)

57733高中试题

3

高中试题

【答案】BD

【解析】设点P的坐标为(a，b)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)，kAB∴AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50， ∵点P(a，b)在直线xy50上，∴ab50， 又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，∴

311， 424a3b243222，即4a3b210，

联立可得a1、b4或a故选BD。

827278、b，∴所求点P的坐标为(1，4)或(，)，

777711．定义向量的外积：ab叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)a(ab)，

b(ab)，且a、b和ab构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中

b表示向量a、b的夹角)。 b(a，指的指向一致)；(2)ab的模|ab||a||b|sina，如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有以下四个结论中，不正确的有( )。 A、AB1AC与BD1方向相反 B、ABACBCAB

C、6|BCAC|与正方体表面积的数值相等 D、(AB1AB)CB与正方体体积的数值相等 【答案】ABD

【解析】对于A、根据向量外积的第一个性质可知AB1AC与BD1的方向相同，故A错，

对于B、根据向量外积的第一个性质可知ABAC与BCAB的方向相反，

不可能相等，故B错，

对于C、根据向量外积的第二个性质可知|BCAC||BC||AC|sin则6|BCAC|与正方体表面积的数值相等，故C对，

对于D、AB1AB与CB的方向相反，则(AB1AB)CB0，故D错， 故选ABD。

12．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点。若点Q在直线B1P上，则下列结论不正确的是( )。

A、当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BD

S正方形ABCD， 4高中试题 4

高中试题

B、当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BD C、在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BD D、不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直 【答案】ABC

【解析】以A1为原点，A1B1、A1C1、A1A为x轴、y轴、z轴建系，

由已知可得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)，D(0，2，0)， 1，)，P(0，12110，1)，A1D(0，2，0)，DB1(1则A1B(1，1，)，B1P(1，，1，)，

22nABxz01设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则， 1nA1Dyz021，2)， 取z2，则x2，y1，则n(2，设在直线B1P上存在一点Q，使得DQ平面A1BD，

2，0)(，2，0)， 设则Q(x1，y1，z1)，且B1QB1P(1，B1Q(x11，y1，z1)(，2，0)，则x11，y12，z10，

1则DQ(1，21，)，若DQ平面A1BD，则DQ与n共线，

2112112，此时无解，故不存在点Q，使得DQ平面A1BD，故选ABC。则 2224三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足OA2xBO

3yCO4zDO，则2x3y4z 。

【答案】1

【解析】∵OA2xBO3yCO4zDO，∴OA2xOB3yOC4zOD，

∵O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴2x3y4z1，∴2x3y4z1。

14．已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。（本小题每空2.5分）

【答案】(2，4) 5

【解析】由题意a2a2，a1或a2，

当a1时方程为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，

高中试题

5

高中试题

圆心为(2，4)，半径为5，

15当a2时方程为4x24y24x8y100，(x)2(y1)2不表示圆。

2415．已知圆O：x2y21和点A(2，0)，若顶点B(b，0)(b2)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有|MB||MA|，则b 。

【答案】1

【解析】设M(x，y)，∵|MB||MA|，

∴(xb)2y22(x2)22y2，

任取(10)代入可得(1b)22(12)2， ，0)、(1，(1b)22(12)2，解得b11，，b1。

2216．空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m(A，B，C)的平面方程为A(xx0)

B(yy0)C(zz0)0，经过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为n(，，)(0)的直线l的方

程为

xx0yy0zz0，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为3x5yz70，直线l是两个平面x3y70与4y2z10的交线，则直线l与平面成角的正弦值为 。

【答案】

10 355，1)， 【解析】∵平面的方程为3x5yz70，∴平面的法向量可取m(3，3，0)，平面4y2z10的法向量为b(0，4，2)， 平面x3y70的法向量为a(1，设两平面的交线的方向向量为n(x，y，z)，

nax3y01，2)，则直线l与平面所成角的大小为， 由，令n(3，nb4y2z0n||则sin|cosm，33(5)11(2)10|。 353514四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）

如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，各棱长均为m，底面是正方形，且A1ADA1AB120，设ABa，ADb，AA1c。 (1)用a、b、c表示BD1，并求|BD1|； (2)求异面直线AC与BD1所成的角的余弦值。

高中试题

6

高中试题

【解析】(1)∵BD1BAADDD1ABADAA1abc， 2分

∴|BD1|2abc2ab2ac2bc

22211m2m2m202m2()2m2()3m2， 4分

22∴|BD1|3m； 5分 (2)ACABADab，

则ACBD1(ab)(abc)abcacabbbcm2， 7分 又|BD1|3m，|AC|2m，

22ACBD1BD1∴cosAC，|AC||BD1|m26， 9分

62m3m∴异面直线AC与BD1所成的角的余弦值为

18．（本小题满分12分）

6。 10分 61，2)共线且满足方程ab18的向量b的坐标； (1)求与向量a(2，(2)已知A(2，1，2)，B(4，5，1)，C(2，2，3)，求点P的坐标使得AP1(ABAC)； 25，4)，b(2，1，8)，求：①ab；②a与b夹角的余弦值；③确定、的值使得ab与z(3)已知a(3，轴垂直，且(ab)(ab)53。

【解析】(1)∵b与a共线，故可设ba，由ab18得：aa|a|2(414)2918，

2，4)； 2分 故2，∴b2a(4，6，3)，AC(4，3，1)， (2)设P(x，y，z)，则AP(x2，y1，z2)，AB(2，∵AP1(ABAC)， 2113∴(x2，y1，z2)[(2，6，3)(4，3，1)](6，3，4)(3，，2)，

2221∴P点坐标为(5，，0)； 5分

2高中试题 7

高中试题

5，4)(2，1，8)32514821，(3)①ab(3， 6分

②∵|a|52，|b|69， ∴cosa,bab|a||b|2152697138， 230∴a与b夹角的余弦值为7138， 9分 230(ab)a00，1)，ab(5，6，4)，依题意③取z轴上的单位向量n(0，，

(ab)(ab)535，48)(0，0，1)0(32，480即，故，

(32，5，48)(5，6，4)53291853解得1，19．（本小题满分12分）

1。 12分 222)，点M(3，已知点P(21，1)，圆C：(x1)2(y2)24。

(1)求过点P的圆C的切线方程；

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长。

【解析】由题意得圆心C(1，2)，半径r2，

(1)∵(211)2(222)24，∴点P在圆C上，又kPC∴切线的斜率k2222111， 2分

1kPC1， 4分

∴过点P的圆C的切线方程是y(22)1[x(21)]，即xy1220； 5分 (2)∵(31)2(12)254，∴点M在圆C外部，

当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30， 6分 又点C(1，2)到直线x30的距离d|13|2r，即此时满足题意， 7分 1∴直线x3是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)， 8分 即kxy13k0， 则圆心C到切线的距离d|k213k|k21r2，解得k3， 9分 4∴切线方程为y13(x3)，即3x4y50， 10分 4综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50，

高中试题

8

高中试题

∵|MC|(31)2(12)25，∴过点M的圆C的切线长为|MC|2r21。 12分

20．（本小题满分12分）

如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBCCC12，A1BB1C。 (1)证明：A1C1CC1；

(2)若A1B23，在棱CC1上是否存在点E，使得二面角EAB1C的大小为30。若存在，求CE的长；若不存在，说明理由。

【解析】(1)证明：连接BC1，∵BCC1B1为平行四边形，且BCCC12，

∴BCC1B1为菱形，BC1B1C， 2分 又∵A1BB1C，∴B1C平面A1C1B，∴B1CA1C1，又∵A1C1C1B1， ∴A1C1平面BCC1B1，∴ A1C1CC1； 4分

(2)解：∵A1B23，A1C12，BC122，∴CC1BC，

∴CA、CB、CC1两两垂直，以C为坐标原点，

CA、CB、CC1的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz， 5分

则C(0，2，2)、C1(0，0，2)、B(0，0，0)、A(2，0，0)、B1(0，2，0)，设E(0，0，a)，

0，a)，AB1(2，2，2)，BC1(0，2，2)， 则AE(2，1，1)， 7分 易知，BC1平面AB1C，则平面AB1C的一个法向量m(0，nAE01)是平面AB1E的一个法向量，则设n(x，y，，

nAB102xa0aa∴，得n(，1，1)， 9分

2x2y2022n|∴|cosm，|mn||m||n|a2|32，解得a1， 2aa2()2(1)2122|∴在棱CC1上存在点E，当CE1时，得二面角EAB1C的大小为30。 12分

21．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥DABCE中，底面ABCE为梯形，且满足AB//CE，BCE90，

高中试题

9

高中试题

AB2BC2CE2DE

2AD，平面ADE平面ABCE。

(1)求证：ADBE；

(2)求直线AC与平面BDE所成角的正弦值。

【解析】(1)取AB的中点F，连接EF，∵AB2EC，AB//CE，∴BF//CE，

∴四边形BCEF是平行四边形， 2分 ∴EF//BC，又BCE90，∴EFAB， 3分 令ADBCECED1，则AB2，AEBE2，

∴AE2BE2AB2，∴AEBE， 4分 又平面ADE平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE，

∴BE平面ADE，又AD平面ADE，∴ADBE； 5分 (2)取AE的中点O，连接DO、FO，则易知DOAE，FOAE， ∵平面ADE平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE，

∴DO平面ABCE，∴DOFO，∴OA、OF、OD两两垂直， 6分 故可以以OA、OF、OD所在直线分别x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(22222，0，0)、B(，2，0)、C(2，，0)、D(0，0，)、E(，0，0)， 22222322222，0)， 7分 ，，0)、BD(，2，)、BE(0，2222∴AC(22x2yz0nBD0设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，则，即2， 22y0nBE00，1)为平面BDE的一个法向量， 9分 ∴y0，令x1，则z1，∴n(1，设直线AC与平面BDE所成的角为，

n||则sin|cosAC，ACn35|， 11分 10|AC||n|∴直线AC与平面BDE所成角的正弦值为

22．（本小题满分12分）

高中试题

35。 12分 1010

高中试题

如图所示，在多面体ABCDA1B1D1中，四边形ABCD、ABB1A1、AA1D1D均为正方形，E为B1D1的中点，过A1、D、E的平面交CD1于F。 (1)证明：EF//B1C；

(2)求二面角EA1DB1的余弦值。

【解析】(1)证明：由正方形的性质可知A1B1//AB//CD，且A1B1ABCD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C//A1D， 又∵A1D平面A1DE，B1C平面A1DE，∴B1C//平面A1DE， 又∵B1C平面B1CD1，平面A1DE平面B1CD1EF，∴EF//B1C； (2)解：∵四边形ABCD、ABB1A1、AA1D1D均为正方形，

∴AA1AB，AA1AD，ABAD且AA1ABAD，

以A为原点，分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴单位正向量，

建立如图所示的空间直角坐标系， 可得点的坐标A(0，0，0)、B(1，0，0)、D(0，1，0)、A1(0，0，1)、B1(1，0，1)、D1(0，1，1)，而E点为B111D1的中点，∴E(2，2，1)， 设平面A1DE的法向量为n1(x1，y1，z1)，

A111E(2，2，0)，A1D(0，1，1)，则n111A1E0，即x1y10A22， n11D0y1z10令x11，则y11、z11，则n1(1，1，1)， 设平面A1B1CD的一个法向量n2(x2，y2，z2)，

ABAn2A1B10x2011(1，0，0)，1D(0，1，1)，则，即n2A1D0y2z20，

令y21，则x20、z21，则n2(0，1，1)， 设二面角EA1DB1的平面角为，经观察为锐角，

高中试题 1分

2分 3分 4分

6分

7分 9分 分 11

11高中试题

n2||∴cos|cosn1，n1n226|。 12分

332|n1||n2|

附赠材料

答题六注意 ：规范答题不丢分

提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:

第一,考前做好准备工作。做题前要做好准备工作,包括认真检查答题卡页数和条形码上的姓名、考号与本人的姓名、准考证上的号是否相符等。此外还要准确填写答题卡的相关信息,正确粘贴条形码,注意不能超出框外。

第二,使用规定的笔作答。答选择题时,考生必须用2B型铅笔在答题卡上的“选择题答题区”内将对应题目的选项字母点涂黑 第三,答题不要超出规定范围。考生必须在答题卡各题目规定的答题区域内作答(包括画表及作辅助线)。在各题目指定答题区域外的地方,或超越试卷上标出的边界作答,或者自己编题号,其答案都是无效的。

高中试题

12

高中试题

第四,若题中有图,答题前应规划好“布局”,合理安排空间。例如几何题,图形多在左边。这种情况下建议大家从图下方开始写起,书写规范字迹清晰,避免“箭头”“地图”等出现。

第五,答题卡千万别折叠。考生答题时,要注意保持答题卡的清洁,不能折叠、弄皱和损坏答题卡,以免影响计算机扫描。

第六,书写要整洁。有的学生的答案“布局”很乱,还用箭头标注下一句话的位置,加上字迹潦草、卷面不整洁等情况,阅卷老师很难辨认,甚至对考生的学习态度、学习习惯和知识基础产生怀疑,由此分数也将大受影响来确定一个足够小的范围,要是四个选项中有一个答案是满足该范围的,那么正确答案也就有了。

第五,草图法。在解答选择题的过程中,可先根椐题意画出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质和图形的特征等,得出结论。 在答选择题时,你可以采取先易后难的答题顺序。先从前往后把你认为有把握的题先做完,然后再做那些不确定的题;对自己把握不大的题可采用排他法,尽可能排除你认为不正确的答案。这样在剩余的答案中进行选择,正确率就会

高中试题 13