第3章 液体运动学

上一章阐述了水静力学的基本原理及其实际应用。然而，在自然界及实际工程中，液体经常处于运动状态，液体的静止状态只是一种特殊的存在形式，因此，研究液体的运动规律及其实际应用，就更具有普遍意义。

对于运动状态下的液体，我们可以用一些物理量来表征液体的运动特性，这些物理量通称为液体的运动要素，例如流速、加速度、及动水压强等。研究液体运动就是研究其运动要素随时间和空间的变化，并建立它们之间的关系式。由于描述液体运动的方法不同，运动要素的表达式也不相同。所以，本章从描述液体运动的方法入手，介绍流动的分类、流线、迹线等概念，并根据质量守恒原理建立连续性方程。

3.1 描述液体运动的两种方法

液体处于运动状态时，运动要素随着时间和空间位置不断发生变化。在水力学的研究中，将液体视为由无限多的液体质点组成的连续介质。怎样来描述其运动规律呢？根据液体运动的不同特点以及人们研究问题的着眼点不同，一般有拉格朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法两种。3.1.1 拉格朗日法

拉格朗日法是以液体中单个液体质点作为研究对象，研究每个液体质点的运动状况，并通过综合各个液体质点的运动情况来获得一定空间内整个液体的运动规律。这种方法实质上就是力学中用于研究质点系运动的方法，所以这种方法又称为质点系法。

例如,在空间直角坐标系中，某液体质点在初始时刻的位置坐标是（a、b、c），该坐标称为起始坐标。该质点在任意时刻的位置坐标（、、）可表示为起始坐标和时间的函数，即 （3-1）式中，、b、c、t 称为拉格朗日变数。若给定、b、c值，则可以得到

该液体质点的轨迹方程。

若需要知道该液体质点在任意时刻的速度，可将式（3-1）对时间t取偏导数，即

（3-2）

其中，、、是速度在、、轴的分量。同理，该液体质点在、、方向的加速度分量可以表示为



（3-3）

用拉格朗日法描述液体的运动状态，其直观性强，物理概念简明易懂。然而由于液体具有粘滞性，每一个液体质点的运动轨迹是不同的，要跟踪每一个液体质点来得出整个液体运动的状态，在数学上是很困难的。而且在实际应用中需要研究的是运动要素的空间分布规律，一般不必了解每一个液体质点的运动情况。因此这种方法在水力学上很少采用。在水力学中研究液体运动普遍采用欧拉法。以下各章均采用欧拉法来描述液体的运动规律。3.1.2 欧拉法

欧拉法着眼于液体运动所占据的空间，研究该空间各点上液体质点的运动情况。液体运动时在同一时刻每个质点都占据一个空间点，将每个空间点上运动要素随时间的变化搞清楚，整个液体运动的规律就已知了，故此又将欧拉法称为流场法。

显然欧拉法与拉格朗日法在描述液体运动时其着眼点不同，拉格朗日法着眼于液体质点，而欧拉法则着眼于液体运动时所占据的空间点，不论该点是哪个液体质点通过。在实际工程中，我们一般都只需要弄清楚在某一些空间位置上水流的运动情况 ，而并不去研究液体质点的运动轨迹，所以在水力学中常采用欧拉法。

采用欧拉法时，可将流场中的运动要素视作空间点坐标（、、）和时间的函数。例如，任意时刻通过流场中任意点（、、）的液体质点的流速可表示为

（3-4）

流速在各坐标轴上的投影为

 （3-5）

其中, 、、、 称为欧拉变数。同样压强也可以表示为

（3-6）



若令式（3-5）中的，，为常数，为变数，则可得到某一固定点上的流速随时间的变化情况。如图3-1所示。

图3-1

若令式（3-5）中的、、为变数，为常数，得到在同一时刻，位于不同空间点上的液体质点的流速分布，也就是得到了时刻的一个流速场，如图3-2所示。

图3-2

现在讨论液体质点加速度的表达式，液体质点的加速度是单位时间内液体质点在其流程上的速度增量。由于研究的对象是某一液体质点在通过某一空间点时速度随时间的变化，在时间之内，液体质点将运动到新的位置，即运动的液体质点本身的坐标（，，）也是时间的

函数。因此，在欧拉法中液体质点的加速度就是流速对时间的全导数，即

（3-7）

根据复合函数的求导法则，得加速度的表达式为

（3-8）

式（3-8）中的坐标增量dx、dy、dz不是任意的量，而是在时间内液体质点空间位置的微小位移在各坐标轴的投影。故

代入式（3-8），可得

（3-9）

由式（3-9）可以看出，在欧拉法中液体质点的加速度由两部分组成。（）反映了在同一空间点上液体质点运动速度随时间的变化，称这部分加速度为时变加速度（或者当地加速度）；（）反映了在同一时刻位于不同空间点上液体质点的速度变化，称这部分加速度为位变加速度（或者迁移加速度）；而将a又称作液体质点的全加速度。关于这两部分加速度的具体含义，现举例说明如下：

设有一段管道装置如图3-3所示，在管轴线上取、、及四个点进行观察。当水箱水位一定，末端阀门开度保持不变时，管中各点的流速不随时间变化，不存在时变加速度。因为点与点流速相同，所以点没有位变加速度。在收缩段内点的流速大于点流速，故点存在位变加速度。当水箱水位H变化时，管中各点的流速随着时间变化，无论是点或是点都存在时变加速度。但点仍无位变加速度，而点既存在时变加速度又存在位变加速度。

图3-3

液体质点的加速度是一个矢量，将式（3-8）在直角坐标轴上投影，可以得到加速度分量的表达式：



（3-10）

对于一维流动，如沿流程选取坐标，则流速或压强都是位置坐标和时间的函数，可以表示为

（3-4a）

（3-6a）

3.2 液体运动的基本概念

在分析讨论一维恒定流的基本方程之前，首先应介绍有关液体运

动的一些基本概念，如恒定流与非恒定流、迹线与流线、流管、元流等，这些概念是研究液体运动规律所必须的基本知识。3.2.1 恒定流与非恒定流

用欧拉法描述液体运动时，运动要素表示为空间点坐标和时间的函数。对于具体的液体运动，根据运动要素是否随时间t改变，可将流动分为恒定流和非恒定流两大类。

如果流场中各空间点上的所有运动要素均不随时间变化，这种流动称为恒定流；否则，称为非恒定流。在恒定流中，所有运动要素都只是空间点位置坐标的连续函数，而与时间无关，它们对时间的偏导数为零。例如对流速、压强而言

，

，

对于恒定流来说，时变加速度等于零，而位变加速度则可以不为零。如图3-3所示，当水箱中水位H和阀门的开度保持不变，管中各点的流速都不随时间而变化，其时变加速度为零，管中水流即为恒定流，而渐缩段中位变加速度却不等于零。反之，当水箱水位H正在变

化或阀门正在启闭的过程中，管中各点的流速都随时间而变化，都有时变加速度存在，这时管中水流即为非恒定流。

在讨论实际水流运动规律时，首先要确定水流运动是恒定流还是非恒定流。在恒定流中，因为不包括时间变量，分析水流运动较非恒定流简单，也是实际工程中较常见的一类水流运动。如果运动要素随时间变化缓慢，也可近似按恒定流处理。本书主要研究恒定流，在今后的讨论中，如果没有特别说明，即指恒定流。3.2.2 迹线、流线及其微分方程

描述液体运动有两种不同的方法，由此可引出两个概念—迹线与流线。

流线是表示某瞬时液体运动的流速场内流动方向的曲线，这条曲线上所有液体质点的流速矢量都和该曲线相切。用欧拉法描述液体运动是考察同一时刻各液体质点在不同空间位置上的运动情况。在欧拉法中，流线可直观形象地描述流速场，所以由欧拉法引出了流线的概念。

下面从流线的绘制上来进一步加深对流线概念的理解。

如图3-4所示，在某一时刻t，位于流场A1点液体质点的流速矢量u1。在矢量u1上取微小线段△s1得到A2点，在同一时刻t，绘出A2点的流速矢量u2，同样在流速矢量u2上取微小线段△s2得到A3点，再绘出A3点在同一时刻t的流速矢量u3，……。依次绘制下去，就得到一条折线A1—A2—A3……。若各微小线段的长度△s1、△s2、……趋近于零，该折线将成为一条曲线，此曲线即为t时刻通过流场中A1点的一条流线。同样，可以作出t时刻通过流场中另外一些空间点的流线，这样一簇流线就形象直观地描绘出该瞬时整个流场的流动趋势。图3-5所示为水流通过某段管道的流线图。

图3-5

图 3-4

流线具有如下特性：

⑴ 在同一时刻，流线不能相交或转折（流速为零的点除外），只能是一条光滑的连续曲线。否则在交叉点或转折点处，流线必然存在着两个切线方向，即同一液体质点同时具有两个运动方向，这违背了流速方向惟一性的原则。

⑵ 恒定流中，流线的位置和形状不随时间变化。因为在恒定流中，各空间点上的流速矢量均不随时间而改变。所以，不同时刻的流线，其位置和形状应该保持不变。在非恒定流中，如果各空间点上的流速方向随时间而变，那么流线的位置和形状也将随时间而改变 ，流线只有瞬时意义。

⑶ 恒定流中，液体质点运动的迹线与流线相重合。如图3-4所示，假定△s很小，用折线A1—A2—A3……近似的代表一条流线。现在我们来观察位于A1点处的一个液体质点，经过△t1时段该质点运动到点。因为恒定流时流线位置和形状均不随时间改变 ，在t+△t1时刻A2点的流速仍与t1时刻的u2相同，于是该质点又沿着u2方向运动，经过△t2时刻到达A3点，然后沿着u3继续运动。如此下去，该液体质点将始终沿着流线移动。所以从A1点出发的液体质点的迹线与经过A1点的流线相重合。

在非恒定流中，由于流速随时间变化，因此经过某给定点的流线也将随时间改变。如图3-6所示，s（t1）表示t1时刻通过A2点的一条流线，s（t2）表示时刻通过A2点的一条流线。某液体质点从A1点开始

沿着流线s（t1）运动，经过时段到达A2点，在时刻，A2点的流速为u2，该液体质点必将沿着s（）运动。可见，非恒定流中液体质点的迹线一般与流线不重合。

图3-6

流线的形状与边界条件有关。由图3-5可以看出，流线图形具有两个特点。首先，流线分布的疏密程度与液流横断面面积的大小有关。断面大的地方流线稀疏，断面小的地方流线稠密。可见，流线的疏密程度直观地反映了流速的大小。其次，流线的形状与固体边界形状有关。离边界越近，边界对流线形状的影响越明显。在边界较平顺处，紧靠边界处流线形状与边界形状相同。在边界形状急剧变化的流段，由于惯性作用，流线与边界相脱离，并在主流和边界之间形成旋涡区。至于旋涡区的大小，则取决于边界变化的急剧程度和具体形式。

根据流线的定义，可建立流线的微分方程。如图3-7所示，若在流线AB上取一微分段ds，因其很小，可看作是直线。由流线的定义可知，速度与流线微分段ds相重合。分别以ux，uy，uz和dx，dy，dz表示速度和流线微分段ds在直角坐标轴上的分量，其方向余弦为

图3-7

（3-11）

即

（3-12）

由此可知

（3-13）

上式就是流线的微分方程式。式中，、、都是变量、、和的函数。因流线是某一确定时刻的曲线，所以这里的时间t不应视为独立变数，只能作为一个参变量出现。欲求某一指定时刻的流线，需将t当作常数代入上式，然后进行积分即可。

迹线是某一液体质点运动的轨迹线。用拉格朗日法描述液体运动是研究每一个液体质点在不同时刻的运动情况，如果把某一质点在连续的时间内所占据的空间点连成线，就是迹线。所以从拉格朗日法引出了迹线的概念。

在图3-7中，若将曲线AB视为某一液体质点运动的迹线时，则所取微分段即代表液体质点在dt时间内的位移，、、则代表位移在坐标轴上的分量，故

（3-14）

由此可得迹线的微分方程式为

（3-15）

这里的自变量是时间t，而液体质点的坐标、、是时间的函数。

在恒定流中，各运动要素与时间无关，速度只是空间坐标的函数，所以迹线方程式与流线方程式相同，都可用下列微分方程式表示

或

3.2.2 流管、元流、总流

⒈ 流管

在流场中垂直流动方向取一微小封闭曲线C，在同一时刻，通过曲线C上的每一点可以作出一条流线，由这些流线所构成的封闭管状曲面称为流管，如图3-8(a）所示。因为流线不能相交，流管内外的液体不可能穿越管壁而流动。

图3-8

⒉ 元流

充满以流管为边界的一束液流称为元流或微小流束，如图3-8(b）所示。根据流线的性质，元流中任何液体质点在运动过程中均不能离开元流。在恒定流中，元流的位置和形状均不随时间变化。在非恒定流中，流线一般随时间而变，元流也只具有瞬时意义。

元流的横截面积是一个无限小的面积微元，用dA表示。因dA很小，可近似认为dA上各点的运动要素为均匀分布。

⒊ 总流

由无数个元流组成的整个液体运动称为总流。所以总流可视作实际水流中所有元流的集合，总流的边界就是一个大流管，即实际液体的边界。如明渠水流、管道水流等。

3.2.3 过水断面、流量、断面平均流速

⒈ 过水断面

与元流或总流的流线成正交的横断面称为过水断面，以符号或表示，单位为或。过水断面的形状可以是平面或曲面。当流线是互相平行时，过水断面为平面，如图3-9（a）所示；否则过水断面为曲面，如图3-9（b）所示。



图3-9



⒉ 流量

单位时间内通过某一过水断面液体的体积称为流量。以符号表示，它的单位为或。流量是衡量过水断面过水能力大小的一个物理量。一般来说，总流过水断面上各点的流速不相等。例如,水流在管道内流动，靠近管壁处流速小，管轴线上流速大，如图3-10所示。若在总流中任取一元流，其过水断面面积为。由于元流上同一时刻各点的流速相等，过水断面又与流速方向垂直。若令上各点的流速为，则单位时间内通过元流过水断面的液体体积即为元流的流量，即



通过总流过水断面的流量，应等于所有元流流量的总和，即

（3-16）

图3-10

⒊ 断面平均流速

断面平均流速是一种假想的速度，即假定总流同一过水断面上各点的流速大小均等于，方向与实际流动方向相同。即液体质点都以同

一个速度向前运动，如图3-10所示，此时通过A断面的流量与该过水断面的实际流量相等，流速V就称作断面平均流速。 代表了流速分布图的体积，由式（3-16）计算流量，就必须已知流速在过水断面上的分布规律。由于实际水流的流速分布较为复杂，有时很难求得其表达式。引入断面平均流速的概念后，就可以避开通过寻找流速分布规律来计算流量。

根据断面平均流速的定义

（3-17）

所以

（3-18）

或

（3-18a）

可见引入断面平均流速的概念，使得水流运动的分析得以简化。实际工程中，有时并不一定需要知道总流过水断面上的流速分布规律，仅需要了解断面平均流速的变化情况。所以，断面平均流速有一定的实际意义。关于各种水工建筑物的流量及断面平均流速的计算问题，将在随后的章节中讨论。

3.3 液体运动的类型

3.3.1 一维流、二维流、三维流

液体运动时，按照运动要素在空间坐标上的变化情况，可将水流运动分为三维流、二维流和一维流。

若运动要素是空间三个坐标的函数，这种流动称为三维流（或三元流）。例如，水流经过突然扩散的矩形断面明渠，在扩散后较长的一段距离内，水流中任意质点（如点）的流速，不仅与过水断面的位置坐标有关，还与该点在过水断面上的坐标和有关，如图3-11所示。

图3-11



若运动要素是空间二个坐标的函数，这种流动称为二维流（或二元流）。例如，水流在很宽阔的矩形明渠中流动，当两侧边界对流动的影响可以忽略不计时，水流中任意点的流速只与两个坐标有关。即过水断面的位置坐标和该点的垂直位置坐标，而与横向坐标无关，如图3-12所示。

图3-12

由于二维流动在一系列平行于水流纵剖面的平面内是完全相同的，因而沿水流方向任取一个纵剖面来分析流动情况，都能代表整体水流运动，所以又称二维流为平面流动。

若运动要素仅是空间一个坐标的函数，这种流动称为一维流。元流即是一维流（或一元流）。对于总流来说，如果引入断面平均流速的概念，沿着总流流向选取曲线坐标，断面平均流速仅与有关，这时总流也可视为一维流。

实际工程中的液体运动一般都是三维流，但由于运动要素与空间三个坐标有关，使得问题非常复杂，给分析研究水流运动增加了难度。所以，在满足实际工程要求的前提下，常设法将三维流简化为二维流或者一维流，因简化而带来的误差，用修正系数加以调整。例

如，将总流视为一维流，用断面平均流速来代替过水断面上各点的实际流速，必然存在误差，需要加以修正，其修正系数要通过试验来确定。

3.3.2 均匀流和非均匀流

对于一维流动，沿流动方向选取曲线坐标，流速是位置和时间的函数。即

液体质点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度，根据复合函数求导的原则，切向加速度可写成

因为是沿流向选取的坐标，式中，，切向加速度又可以写成



表示时变加速度，表示位变加速度。同理，法向加速度也可以分解成时变加速度和位变加速度。即

就是曲线运动的向心加速度，是该点所在位置的曲率半径。

对于一维流动，如果流动过程中运动要素不随流程坐标而改变，这种流动称为均匀流；反之，称为非均匀流。对于均匀流来说，不存在位变加速度，即。液体质点作匀速直线运动；同一条流线上各点的流速大小、方向沿程不变；所有的流线都是平行直线。实际工程中，在直径不变的长直管道内，断面形状尺寸不变且水深不变的长直渠道内的流动即为均匀流。图3-13中，在2-2与3-3断面之间的流动属于均匀流。

图3-13

均匀流特性：

⑴ 过水断面是平面、而且大小和形状都沿流程不变。

⑵ 各过水断面上流速分布情况相同，断面平均流速沿流程不变，如图3-14所示。

图3-14

⑶ 同一过水断面上各点动水压强的分布符合静水压强的分布规律，即同一过水断面上各点的。证明如下

今在均匀流过水断面-上取一个微分柱体，高为，底面积为，并与铅垂线成夹角，如图3-15所示。因为渐变流的流线是近似平行的直线，微分柱体在其轴线-方向的加速度近似为零。在微分柱体的侧面上，动水压力的方向与轴线-垂直，摩擦阻力之和等于零。在微分柱体的顶面、底面上，摩擦阻力与轴线-垂直。根据牛顿第二定律，微分柱体在轴线-方向的平衡方程为

图3-15

将代入上式并化简得到

沿着过水断面-积分得

（3-

19）

由此可见，均匀流中同一过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，

即同一过水断面上各点的测压管水头相等。但是在不同的过水断面上，常数的值是不同的，如图3-16所示。

图3-16

对于非均匀流来说，存在着位变加速度，及至少有一项不等于零。同一条流线上各点的流速大小或方向沿流程改变；流线不是平行直线。实际工程中，非均匀流多发生在边界沿流程变化的流段内。如图3-13所示，1-1与2-2断面之间，3-3与4-4断面之间的流动都是非均匀流。

3.3.3 渐变流和急变流

在非均匀流中，按照流线是否接近于平行直线，又可分为渐变流和急变流两种。

当流线之间的夹角较小或流线的曲率半径较大，各流线近似是平行直线时，称为渐变流。它的极限情况就是均匀流。在图3-13中，1-1与2-2断面之间的流动可视为渐变流。由于渐变流是一种流线几乎平行又近似是直线的流动，其过水断面可视为平面，但是过水断面的形状和尺寸以及断面平均流速沿程是逐渐改变的，而同一过水断面上动水压强分布规律近似符合静水压强的分布规律。

反之，流线之间的夹角较大或流线的曲率半径较小，这种非均匀流称为急变流。在图3-13中，3-3与4-4断面之间的流动应视为急变流。当渐变段直径沿流程变化显著时，1-1与2-2断面之间的流动也是

急变流。

应当指出，渐变流与急变流之间尚无严格的区分界限，因流线形状与水流的边界条件有密切关系。一般来讲，边界是近似平行直线的流段，水流往往是渐变流；边界变化急剧的流段，水流都是急变流。由于渐变流的情况比较简单，易于进行分析、计算，实际工程中能否将非均匀流视为渐变流，主要取决于对计算结果所要求的精度。

由上述讨论看出，对渐变流而言，在同一个过水断面上动水压强都与静水压强分布规律近似相同，这只适用于有固体边界约束的水流。对于由孔口或管道末端射入大气中的水流，如图3-17所示，虽然在出口不远处的-过水断面上，水流可视为渐变流，但因该过水断面的周界都处在大气中，一般认为-过水断面上各点的压强都近似地等于大气压强，而不再服从静水压强的分布规律。因此，渐变流同一过水断面上的压强分布规律，还需结合边界条件来确定。

图3-17

3.4 连续性方程

在连续介质假设的前提下，液体运动必须遵循质量守恒定律，该定律应用于研究液体运动亦称之为连续性原理，它的数学表达式即为液体运动的连续性方程。3.4.1控制体的概念

质量守恒定律是对质点或质点系而言的，对于液体运动来讲就是流体系统，这就意味着采用拉格朗日法描述液体运动。如果采用欧拉

法的观点，与此相应，须引进控制体的概念。

流场中确定的空间区域称之为控制体，它的边界面是封闭表面，称之为控制面。控制体的形状和位置是根据流动情况和边界位置选定的，它对于选定的参考坐标系是固定不变的。控制面有以下几个特点：

⑴ 控制面相对于坐标系是固定的；

⑵ 在控制面上可以有液体流进和流出，即可以有质量交换；

⑶ 在控制面上受到控制体以外物体施加在控制体内物体上的力；⑷ 在控制面上可以有能量进入或取出，即可以有能量交换。在恒定流中，由流管侧表面和两端过水断面所包围的体积即为控制体，占据控制体的流束即为流体系统。在以后讨论液体运动基本方程时可以看出，在恒定流的情况下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化，只与通过控制面的流动有关，用控制面上的物理量来表示，而不必知道系统内部的详细情况，这给研究液体运动带来了很大方便。

3.4.2液体运动的连续性微分方程

根据质量守恒定律推导液体运动的连续性微分方程。

如图3-18所示，在流场中，任取一个微小正交六面体为控制体，各边分别与直角坐标系各轴平行，边长分别为、、。

图3-18

六面体形心点的坐标为(，，)；在时刻该点上的流速为，在三个坐标轴上的分量为(，，)；密度是。六面体内各点上在同一时刻的流

速和密度，可用泰勒级数表达，并略去级数中二阶以上的各项。 现在来分析经过微小时段dt沿x方向流过六面体两个平行面abcd和a′ b′ c′ d′的液体质量。根据泰勒级数展开，在dt时段内，流过abcd 和a′ b′ c′ d′ 中心点单位面积的液体质量分别为和。因两个平面都很微小，中心点上的水力要素可分别代表平面的平均情况。因此，在dt时段内，由abcd面流入的液体质量为：由a′ b′ c′ d′’面流出的液体质量为：二者之差，即沿x轴方向质量的变化为：

同理，在dt时段内，沿y、z轴方向流入和流出六面体的液体质量差分别为：

dt时刻初，六面体内的平均密度为，质量为dxdydz；在dt时刻末，平均密度为，质量为。所以，在dt时段内，六面体内因密度的变化而引起的质量增量为

根据质量守恒定律，在同一时段内，流入和流出六面体的液体质量之差应等于因密度变化而引起的质量增量，即：上式同除以，可得

（3-20）

上式即为可压缩液体的连续性微分方程，它表达了任何可能实现的流体运动所必须满足的连续性条件。若将式（3-20）展开得：

（3-21）

因为

所以式（3-21）又可写成为：

（3-22）

对于不可压缩液体，，连续性微分方程为：

(3－23)

此式对于不可压缩液体的恒定流和非恒定流均适用。由本章的第五节中将可知，上式等号左边各项分别为液体微元在、、轴方向的线变率。因此，上式表明;液体微元在三个坐标轴方向的线变率总和等于

零。即如果一个方向有拉伸，则另一个方向或两个方向必有压缩。可见，上式的物理意义是液体的体积变形率为零，即它的体积不会随时间发生变化。

对于流场中密度保持不变的不可压缩均质液体，式（3-23）是适用的。对于非均质液体，例如：排入河流中的污染物，其浓度在河流中分布不等，其各质点的密度也不等，只要求其液体质点的密度沿其运动轨迹保持不变，式（3-23）仍可适用。3.4.3恒定总流的连续性方程

在工程和自然界中，液体流动多数都是在某些周界面所限定的空间内沿某一方向的流动。这一方向就是液体运动的主流方向，主流的流程可以是直线或曲线，这种流动可以简化为一维流动来讨论。

不可压缩均质液体恒定总流的连续性方程，可由式（3-23）作体积分，再由高斯（Gauss.K.F）定理，将体积分化为面积分而导出。下面介绍用有限分析法，从分析一维流动着手，通过建立元流的连续性方程，推广得到恒定总流的连续性方程。

在恒定总流中任取一个元流为控制体，如图3-19所示，令过水断面1-1和2-2的面积分别为和，相应的流速为和。由于恒定流中流线的形状和位置不随时间变化，而元流的侧表面都是由流线所组成，在元流的侧面是没有液体质点出入的。液体只有通过断面1-1和2-2流进流出。在时间内，从过水断面1-1流入的液体质量为，从过水断面2-2流出的液体质量为。因为是恒定流，控制体内的液体质量不随时间而变化。根据质量守恒原理，时间内从断面1-1流入的质量应等于从断面2-2流出的质量。即

对于不可压缩液体，密度 ，上式化简得或

（3-24）

图3-19

式（3-24）称为不可压缩液体恒定元流的连续性方程。它表明：对于不可压缩液体作恒定流时，元流的流速与过水断面面积成反比。

总流是由无数元流所组成，将元流的连续性方程对总流过水断面积分可得恒定总流的连续性方程。设总流过水断面1-1和2-2的面积分别为和，相的断面平均流速为和，将式（3-24）对总流沿过水断面积分，即

由于



可得

（3-25）或 （3-26）

式（3-25）是不可压缩液体恒定总流的连续性方程。它表明：对于不可压缩液体作恒定流动，总流的断面平均流速与过水断面面积成反比，或者说，任意过水断面所通过的流量都相等。

连续性方程是水动力学的三大基本方程之一。它反映了水流运动过程中，过水断面面积与断面平均流速的沿流程变化规律。连续性方程式的应用条件：

⑴ 水流是连续的不可压缩液体，且为恒定流。

⑵ 两个过水断面之间无支流。当两个过水断面之间有支流存在时，式（3-26）应当写成

（3-26a）式中 —— 汇入或分出的流量，有支流汇入时取正号，见图3-20（a）；

有支流分出时取负号，见图3-20（b）。

图3-20

[例3-1] 有一条河道在某处分为两支：内江和外江，外江设溢流坝一座用以抬高上游河道水位，如图3-21所示。已测得上游河道流量，通过溢流坝的流量。

内江过水断面2-2的面积。求通过内江的流量及2-2断面的平均流速。

图3-21

解 设内江流量为，根据有支流存在的连续性方程（3-26a）得





由恒定总流的连续性方程（3-26）式，对于内江常数，可知内江2-2断面的平均流速

3.5 液体微团运动的基本形式

由于液体运动的类型、特性等与液体微团运动的形式有关，为了分析整个流场的液体运动规律，我们首先要分析流场中任一液体微团运动的基本形式。这种方法，无论是固体力学或流体力学都是基本的分析方法之一。液体与刚体的主要不同在于它有流动性，极易变形。因此，液体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，液体微团的运动可以分解为平移运动、变形运动和旋转运动。

于时刻，在流场中任取一正交微小六面体的液体微团，如图3-22所示。由于此微团上各点的速度不同，经过时段后，该微团移动到新的位置时，一般其形状和大小都将发生变化。为了便于说明，下面以该微团的面为例，先介绍二维情况下液体微团运动的基本形式。

图3-22

设矩形液体微团的边长为和，在时刻，点的流速分量为和，、、各点的流速分量，可由泰勒级数展开并略去二阶以上各项得到，如图3-23所示。现将图中各点的速度分解出来，分别加以讨论，可以得出液体微团运动形式与速度变化之间的关系。

图3-23

⒈ 平移运动

因液体微团四个点上的速度分量都包含和，若只考虑、、、各点中的和两项，则经过dt时段后，矩形沿轴方向移动，沿轴方向移动，发生了平移运动，到达的位置，如图3-24所示。所以速度分量和就表示液体微团的平均速度。

图3-24

⒉ 变形运动

可视矩形经过线变形先变成，再经过角变形最终变成平行四边形。

⑴ 线变形运动： 因点较点，点较点，在轴方向都有相同的速度增量

，经过时段后，边和边沿轴方向均伸长（或缩短）；同样，因点较点，点较点，在轴方向都有相同的速度增量，考虑到连续性条件，边和边沿轴方向均缩短（或伸长），发生了线变形运动。液体微团经过时段后，除平移运动外，还有线变形运动，组合成矩形，如图3-24所示。定义单位时间单位长度上的线变形为线变形速率，简称线变率，则液体微团在轴和轴方向的线变率分别为

及

式中，的第一个下标，表示正交边所平行的坐标轴；第二个下标，表示该边发生变形时，端点将在哪一个轴向发生位移。

⑵ 角变形运动：因点相对于点，点相对于点，在轴方向都有相同的速度增量，经过时段后，点和点沿轴方向均向上移动，边和边均逆时针方向偏转微小角度，如图3-25所示；同样，因点相对于点，点相对于点在轴方向都有相同的速度增量，点和点沿轴方向均向右移动了，边和边均顺时针方向偏转微小角度，致使液体微团发生了角变形运动。因夹角变化微小，故有

图3-25

略去分母中的高阶微量，可得

同理可得

液体微团经过时段后，除平移、线变形运动外，还有角变形运动，最终变成平行四边形，如图3-25所示。时段内的角变形，是原来相互垂直两边的夹角与变形后夹角之差，即

为了与下面的旋转角速度表达式对称，习惯上取。定义单位时间直角边的偏转角度为液体微团的角变形速率，简称角变率，并以 表示。对于平面内的角变率，以和表示，即

式中，的第一个下标，表示正交边所平行的坐标轴；第二个下标，表示该边发生角度变化时，端点将在哪一个轴向发生位移。

⒊ 旋转运动：矩形液体微团在运动过程中有无旋转，可以用某夹角的等分角线是否旋转来确定。如图3-25所示，的平分线为，的平分线为，它们之间的夹角

定义单位时间等分角线的转动角度为液体微团的旋转角速度，简称角转速，以表示，是一个矢量。对于平面上的角转速，以表示，是角转速在轴上的分量，即

推广到三维的普遍情况，可写出液体微团运动的基本形式与速度变化的关系式为：

平移速度：

，，

（3-27）

线变率：

，， （3-28）

角变率：

（3-29）

角转速：

（3-30）

在以上的分析中，我们将液体微团取为正交六面体，并且将平移、线变形、角变形和转动分开来讨论的。实际上，对于任意形状的液体微团在运动过程中，平移、线变形、角变形和转动都是在时段内同时完成的，它们的数学表达式分别为式（3-27）～式（3-30）。液体运动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成，如：直角两边线的偏转角为异向等值时，则只有直角线变形，没有旋转运动发生；若直角两边线的偏转角为同向等值时，则只有旋转运动而无角变形。若将微小六面体的各边、、无限缩小，则微小六面体的极限就变成质点，这样，以上所述的运动状态即代表在某一瞬时位于点的一个液体质点的运动状态。由此可见， 一个液体质点的运动也是由平移、线变形、角变形及转动四种基本形式所组成。

3.6 无旋流与有旋流

3.6.1无旋流与有旋流的判别

按照液体运动中质点本身有无旋转，将液体运动分为有旋流和无旋流。若液体运动时每个液体质点都不存在着绕自身轴的旋转运动，即角转速，称为无旋流（或称为无涡流）；反之称为有旋流（或称为有涡流）。这是两种不同性质的液体运动。

必须注意，液体运动是否为有旋流，是根据液体质点是否存在着绕自身轴的转动而定的，不要将其同液体质点运动的轨迹相混淆。如图3-26所示，液体质点相对于O点作圆周运动，其运动轨迹是一圆周线，但仍是无旋流，因为液体质点本身并没有旋转运动。再如图3-27所示，虽然液体质点作直线运动，但液体质点本身又绕自身轴转动，仍为有旋流。所以，液体运动是否有旋，不能从液体质点运动的轨迹来判别，而要看液体质点本身是否有旋转运动而定。

图3-27

图3-26 3.6.2 无旋流

根据定义，在无旋流中有，由式（3-30）可知无旋流满足下列条件：

（3-31）

由高等数学可知，式（3-31）是使表达式为函数的全微分的充分

必要条件。因此，在无旋流中，有下列关系式存在，即

（3-32）

若时间给定，则：

（3-33）

比较式（3-32）和式（3-33），可得：

（3-34）

这个函数称为流速势函数。由于无旋流满足式（3-31），则无旋流必有流速势函数存在，所以无旋流又称为有势流。

对于无旋流，只要求得流速势函数，即可按式（3-34）求得流速场，这给分析液体运动带来很大方便。若流速为已知，对式（3-32）积分也可求出无旋流的流速势函数。

[例3-2] 已知平面运动的流速分布是

，

其中，为不等于零的常数，试分析液体运动的特征。

解 由已知条件得流速与时间无关，故液体为恒定流，流线与迹线重合。

由流线微分方程式可得

将上式积分可得或

所以流线是一组与轴成角的平行线，液流为平面恒定均匀流。因为

，

液体质点无线变形；液体质点无角变形；

液体质点自身无旋转运动。

由此可知，该流动为平面恒定均匀流的无旋流，在运动过程中液

体质点无变形运动。

无旋流必有流速势函数存在，在给定时刻将上式积分即可求得流速势函数

或 式中 ——积分常数。

[例3-3] 有一平面流动，已知流速分布是

；

其中为不等于零的常数，试分析此流动中液体微团流动的基本形式解 液体微团的线变形速率液体微团的角变形速率液体微团的旋转角速度由流线微分方程可得积分得流线方程

由此可知，流线是一簇同心圆，液体微团运动的轨迹是同心圆周线。在流动中，液体微团一面作圆周运动，同时又有绕自身轴的旋转运动，但在运动过程中液体微团并不变形，即保持其大小和形状不变。

3.6.3 有旋流

有旋流中，有旋流可用旋转角速度的矢量来表征，所以有旋流动的几何描述可采用类似描述流速场一样，引用涡线、涡管、无涡等概念。

涡线是某一瞬时在有旋流场中的一条曲线，在这条曲线上各质点在同一瞬时的旋转角速度的矢量都与该曲线相切。涡线的绘制与流线相似，如图3-28所示。与流线类似，涡线的微分方程为

（3-35）

其中，、、一般来说是的函数，但在积分上式时，应视作参变量。与流线一样涡线本身也不会相交，在恒定流时涡线的形状也保持不变。

图3-28

与元流相类似，任意取一微小面积，通过该面积周线各点作出一束涡线构成封闭曲面称为涡管，充满涡管的一束液流称为元涡（或称微小涡束），在元涡断面上各点的旋转角速度可认为是相等的。

类似于流量，若取元涡的横断面面积为，旋转角速度为，则称为元涡的涡旋通量。

在流体力学中，常用速度环量来判别流体运动的类型和表示涡旋的强弱，这是有旋流的一个很重要的概念。

设在流场中，在某一瞬时取任意封闭周线C，液体的速度矢量与该微元有向线段的标积沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号表示，即

（3-36）

速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分的绕行方向有关。为此，规定绕行的正方向为逆时针方向，即封闭曲线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧。封闭周线所围曲面的法线正方向与绕行的正方向形成右手螺旋系统。

若液体的运动是无旋的，必有流速势函数存在，而且由式（3-32）代入式（3-36）得

由此可得出结论：当流速势函数为单值时，沿无旋流空间画出的任意封闭周线的速度环量都等于零。因此，利用速度环量也可确定液体运动是有旋流还是无旋流。

思 考 题

3-1 研究液体运动的欧拉法与拉格朗日法的主要区别是什么？又有什么联系？

3-2 什么叫时变加速度？什么叫位变加速度？3-3 液体质点运动的基本形式有哪几种？与流速场有何关系？3-4 何谓有旋流与无旋流？它们的基本特征是什么？判别条件是什么？

3-5 连续性方程的适用条件是什么？物理意义是什么？3-6 无旋流为何又称为有势流？

3-7 在无旋流中引入流速势函数，对分析液体运动有何意义？

习 题

3-1 已知液体运动，由欧拉变数表示为，，，式中为不等于零的常数，试求流场的加速度。

3-2 已知流速场，，，试求时液体质点在（1，2，1）处的加速度。

3-3 已知平面不可压缩液体的流速分量为 ，，试求时，过（0，0）点的流线方程。

3-4 已知某种流动

其中为不等于零的常数，试分析：⑴是恒定流还是非恒定流；⑵液体质点有无变形运动；⑶是有旋流还是无旋流；⑷求其流线方程。

3-5 试证明下列不可压缩均质液体中，哪些流动满足连续性方程。

⑴ ，，；⑵ ，，；⑶ ，，；⑷ ，，

式中，为不等于零的常数。

3-6 已知流速场，，，试写出下列表达式：⑴ 流速矢量；⑵ 时

变加速度；⑶ 位变加速度；⑷ 全加速度。

3-7 给出流速场，求空间点（3，0，2）在时的加速度。3-8 已知水平圆管过水断面上的流速分布为

，，

其中为管轴线处最大流速，为圆管半径，为点流速距管轴的距离，，试求：⑴角变形速率；⑵旋转角速度；⑶说明是否为有势流。

3-9 已知，，在流场中的，点处，试求：⑴线变形速率；⑵角变形速率；⑶旋转角速度。