一轮复习： 复数

[最新考纲]

1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．

3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算．

5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知 识 梳 理

1．复数的有关概念 (1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

→

(4)复数的模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2. 2．复数的几何意义

一一对应

(1)复数z＝a＋bi――→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． →一一对应(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)――→平面向量OZ. 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1a＋bia＋bic－diac＋bdbc－ad④除法：z＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

c＋dic＋dic－dic2＋d2c2＋d22(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 辨 析 感 悟

1．对复数概念的理解

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×) (2)2i比i大．(×)

(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×) 2．对复数几何意义的认识 (4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)

(6)(2013·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数z＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(×) 3．对复数四则运算的理解 1

(7)(教材习题改编)i＝－i.(√)

(8)(2013·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√) [感悟·提升]

1．两点提醒 一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；

二是两个虚数不能比较大小，如(2)．

2．两条性质 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)． (2)(1±i)2＝±2i，

1＋i1－i

＝i，＝－i. 1－i1＋i

学生用书第213页

考点一 复数的概念

【例1】 (1)(2013·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )．

A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i

(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若复数z满足(3－4i)z＝|4－3i|，则z的虚部为( )． 44A．－4 B．－5 C．4 D.5 解析 (1)由(z－3)(2－i)＝5， 得z＝

52＋i52＋i5

＋3＝＋3＝5＋3＝5＋i， 2－i2－i2＋i

∴z＝5－i.故选D. (2)(3－4i)z＝|4＋3i|＝5. ∴z＝

3＋4i54

＝5，∴z的虚部为5. 3－4i

答案 (1)D (2)D

规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

b

【训练1】 (1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋i为纯虚数”的( )．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为( )． A．0 B．－1 C．1 D．－2

b

解析 (1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋i＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋b

i＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.

(2)∵z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋z2的虚部为0. 答案 (1)B (2)A

考点二 复数的几何意义

【例2】 (1)(2013·湖南卷)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2－i2(2)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )．

iA．25 B.41 C．5 D.5

解析 (1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限． (2)∵z＝∴|z|＝

4－4i－13－4i3－4ii4＋3i

＝i＝i·ii＝－1＝－4－3i， －42＋－32＝5.

答案 (1)B (2)C

规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．

【训练2】 (1)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )． A．A B．B C．C D．D

(2)(2013·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.

解析 (1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数z＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B.

(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．

∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i. 答案 (1)B (2)－2＋3i

学生用书第214页 考点三 复数代数形式的四则运算 3＋i

【例3】 (1)已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z＝________.

1－3i22＋2i34＋5i(2)＝________.

5－4i1－i(3)已知复数z满足

i

＝2－i，则z＝________. z＋i

|3＋i|1

解析 (1)法一 |z|＝＝，

|1－3i2|21

z·z＝|z|2＝4. 法二 z＝3＋i3i

＝－4＋4，

－21＋3i

3i3i1z·z＝－＋－－＝4. 4444

2＋2i34＋5i221＋i3i5－4i(2)＝

5－4i1－i5－4i1－i221＋i4i422

＝＝2i(1＋i)＝2i[(1＋i)]

2＝2i(2i)2＝－42i.

i2＋iii2113

(3)由＝2－i，得z＝－i＝5－i＝5i－5－i＝－5－5i. z＋i2－i113答案 (1)4 (2)－42i (3)－5－5i 规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 2【训练3】 (1)(2014·临沂模拟)设z＝1＋i，则z＋z2等于( )． A．1＋i B．－1＋i C．－i D．－1－i

(2)(2013·安徽卷)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝( )． A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i

21－i22

解析 (1)z＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i

1＋i1＋i1－i21－i

＝2＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·zi＋2＝(a＋bi)·(a－bi)·i＋2＝2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，

故2＝2a，a2＋b2＝2b 解得a＝1，b＝1 即z＝1＋i. 答案 (1)A (2)A

分母实数化的过程．

2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．

13

3．要记住一些常用的结果，如i，－2＋2i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．

思想方法12——解决复数问题的实数化思想

【典例】 (2013·天津卷)已知a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.

解析 (a＋i)·(1＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i＝bi a－1＝0则解得a＝1，b＝2.所以a＋bi＝1＋2i. a＋1＝b答案 1＋2i

[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．

1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是

(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法． 【自主体验】

1．(2014·滨州模拟)已知

a－2i

i＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝( )．

A．1 B．2 C．－1 D．－3

解析 a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1. 答案 A

2．(2012·湖北卷)若

3＋bi

＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________. 1－i

解析 由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i， a＋b＝3，a＝0，

根据复数相等得解得∴a＋b＝3.

b－a＝b，b＝3.答案 3

对应学生用书P387 基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D. 答案 D

2．(2013·广东卷)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )．

A．(2,4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4,2)

解析 由已知条件得z＝C. 答案 C

2＋4i

i＝4－2i，所以z对应的点的坐标为(4，－2)，故选

3．(2014·武汉模拟)设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为( )． A．－2 B．2 C．－2i D．2i

解析 z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2. 答案 B

4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )． A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i

2i·1＋i2i解析 由题意得z＝＝＝－1＋i，故选A.

21－i答案 A

5．(2013·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )． A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2

2

D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z2

解析 A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，成立．

B中，z1＝z2，则z1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z2，C正确．

D不一定成立，如z1＝1＋3i，z2＝2，

222则|z1|＝2＝|z2|，但z1＝－2＋23i，z22＝4，z1≠z2.

答案 D 二、填空题

6．(2013·江苏卷)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 解析 ∵z＝(2－i)2＝3－4i， ∴|z|＝32＋－42＝5. 答案 5

1＋i4

＝________. 7．(2014·郑州模拟)

1－i1＋i42i2

＝＝1. 解析 

1－i－2i答案 1

8．(2013·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝________.

2

m＋m－2＝0，

解析 由题意知2解得m＝－2.

m－1≠0，

答案 －2 三、解答题

9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

解 (z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)， 则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. ∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.

m2－m－6

10．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；

m＋3(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限．

2

m＋5m＋6＝0，

解 (1)若z为实数，则解得m＝－2.

m＋3≠0，2

m＋5m＋6≠0，

(2)若z为虚数，则

m＋3≠0，

解得m≠－2且m≠－3.

2

(3)若z为纯虚数，则m－m－6

m＋3＝0，

m2＋5m＋6≠0，

解得m＝3.

m2－m－6

m＋3＜0，

(4)若z对应的点在第二象限，则

m2＋5m＋6＞0，

m＜－3或－2＜m＜3，即∴m＜－3或－2＜m＜3. m＜－3或m＞－2，

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1－i2 014

1．(2014·陕西师大附中模拟)＝( )． 1＋iA．－i B．i C．－1 D．1

2

1－i2 0141－i2 014－2i2 014

解析 ＝＝＝

21＋i1＋i1－i

(－i)2 104＝i2 014＝i4×503＋2＝－1. 答案 C

2．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是( )． A．－3＋2i B．3＋2i C．－2＋3i D．2＋3i 解析 法一 x＝

－6±36－52

＝－3±2i.

2

法二 令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0，

22

a－b＋6a＋13＝0，∴ 2ab＋6b＝0，

解得a＝－3，b＝±2，即x＝－3±2i. 答案 A 二、填空题

1－iab4i xi， 3．(2014·北京西城模拟)定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝cd2x＋i1＋i则y＝________.

1－i1－i2解析 因为x＝＝2＝－i.

1＋i4ixi4i1 所以y＝2x＋i＝2 0＝－2. 答案 －2 三、解答题

4.

如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求： →→

(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数； →

(2)对角线CA所表示的复数； (3)求B点对应的复数．

→→→

解 (1)AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i. →→→

∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i.

→→→→

(2)CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→→(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，

→

∴OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B点对应的复数为1＋6i.

基础回扣练——推理证明、算法、复数 (对应学生用书P389)

(建议用时：60分钟)

一、选择题

2i

1．(2013·湖北卷)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点

1＋i位于( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析 z＝

2i

＝1＋i，z＝1－i，对应点(1，－1)在第四象限． 1＋i

答案 D

2．(2013·辽宁卷)复数z＝

1

的模为( )． i－1

12

A.2 B.2 C.2 D．2 解析 z＝∴|z|＝答案 B

3．(2013·江西卷)已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )． A．－2i B．2i C．－4i D．4i

解析 由M∩N＝{4}知4∈M，所以zi＝4，z＝－4i，选C. 答案 C

4．(2014·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是( )． A．－3 B.3i C．±3i D．±3

解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a＝1， ∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±3. 答案 D

5．(2014·青岛一模)某程序框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为( )．

－1－i111

＝＝－2－2i， i－1－1＋i－1－i

21212

－2＋－2＝. 2

A．15 B．31 C．62 D．63

解析 第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2； 第二次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3； 第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4. 此时不满足条件，输出x＝31. 答案 B

6．(2014·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为( )．

A．6 B．5 C．4 D．3

解析 第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4. 答案 C

7．(2013·江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．

A．S＝2]B.S＝2]D.S＝2]解析 i＝2，S＝5；i＝3，S＜10，排除D；i＝4，S＝9；i＝5，S＜10，排除A和B，故选C. 答案 C

8.(2014·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为( )．

A．k≤6? B．k＞4? C．k＞5? D．k≤5?

解析 当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B. 答案 B

9．(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，„排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )．

A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列

解析 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列． 答案 D

10．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )．

A．S

2

＝S21＋S22＋S2

3

B．S2

＝111

S21＋S22＋S23

C．S＝S111

1＋S2＋S3 D．S＝S1

＋S2

＋S3

解析 如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝112122112BC·AD2＝4BC2·AD＝4BC·(OA＋OD2)＝222

4(OB＋OC)·OA＋

4BC2

·OD2

＝122OB·OA＋12OC·OA2＋12BC·OD2

＝S21＋S22＋S2

3. 答案 A 二、填空题

11．(2013·重庆卷)已知复数z＝

5i

1＋2i

，则|z|＝________. 解析 z＝5i

1＋2i＝5i1－2i1＋2i1－2i＝2＋i，∴|z|＝5.

答案

5

12．(2014·茂名一模)设i是虚数单位，复数1＋ai

2－i

为纯虚数，则实数a＝________. 解析

1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i

＝2－a2a＋1

5＋5i， 由题意知：2－a

5＝0，∴a＝2. 答案 2

13．(2014·湖南十二校二联)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10 000名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是________．

解析 由已知得，输出的数据为体育锻炼时间超过20分钟的学生数6 200，故锻炼时间不超过20分钟的学生数为10 000－6 200＝3 800，由古典概型的概率计算3 800

公式可得，P＝10 000＝0.38.故所求频率是0.38. 答案 0.38

14．(2014·泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为________．

解析 第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1； 16

第二次：n＝2＝8，k＝2； 8

第三次：n＝2＝4，k＝3；

4

第四次：n＝2＝2，k＝4； 2

第五次：n＝2＝1，k＝5， 此时满足条件，输出k＝5. 答案 5

223344

15．(2013·宝鸡二检)已知2＋3＝22×3，3＋8＝32×8，4＋15＝42×15，„，若9bb

＋a＝92×a(a，b为正整数)，则a＋b＝________.

解析 观察分数的分子规律得b＝9，则a＝b2－1＝80，故a＋b＝89. 答案 89

16．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积S11

为S1，外接圆面积为S2，则S＝4.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面

2

V1

体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V＝________.

2

解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的V11

体积与球的半径的立方成正比，所以V＝27.

2

1

答案 27 三、解答题

17．在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立． (1)求a2的取值范围；

(2)判断数列{an}能否为等比数列，并说明理由． 解 (1)因为{an}是单调递增数列，所以a2＞a1，即a2＞2.

又(n＋1)an≥na2n，令n＝1，则有2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]． (2)数列{an}不能为等比数列． 用反证法证明：

假设数列{an}是公比为q的等比数列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1. 因为数列{an}单调递增，所以q＞1. 因为(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立，

1

所以对任意n∈N，都有1＋n≥qn.①

*

因为q＞1，所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞2. 1

因为1＋n≤2(n∈N*)．

1

所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞1＋n，与①矛盾，故假设不成立． 18．(2013·常德模拟)设a＞0，f(x)＝

ax

，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*. a＋x

(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a

猜想an＝(n∈N*)．

n－1＋a

(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确． ②假设n＝k时猜想正确， 即ak＝

a

，

k－1＋a

aaa；a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝. 1＋a2＋a3＋a

a

a·k－1＋aa·akaa

则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝. aa＋akk－1＋a＋1[k＋1－1]＋a

a＋

k－1＋a这说明，n＝k＋1时猜想正确． 由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝

a

.

n－1＋a