高中数学复数练习题百度文库

一、复数选择题

1．已知复数z1i，则2z1（ ） A．2

B．5 C．4

D．5

2．在复平面内，复数5i

34i

（i为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A．3,4

B．4,3

C．45,35

D．435,53．若复数zi1i，则复数z的虚部为（ ） A．－1 B．1 C．－i D．i 4．已知a为正实数，复数1ai（i为虚数单位）的模为2，则a的值为（ ）

A．3 B．1

C．2

D．3

5．已知i为虚数单位，若复数z12iaiaR为纯虚数，则za（ ） A．5 B．3

C．5

D．22 6．若复数z1i，则z1z（ ） A．2 B．2

C．22 D．4

7．已知复数z512i，则z（ ） A．1 B．55 C．5 D．5

8．若

mi1i是纯虚数，则实数m的值为（ ）． A．1

B．0

C．1

D．2

9．在复平面内，复数z对应的点是1,1，则zz1（ ） A．1i

B．1i

C．1i

D．1i

10．已知a3i1i2bi(a,bR，i为虚数单位)，则实数ab的值为（A．3

B．5

C．6

D．8

11．已知复数z满足1+2iz43i，则z的虚部是（ ） A．-1

B．1

C．i

D．i

12．若i为虚数单位，a,bR，且a2iibi，则复数abi的模等于（ ）A．2 B．3

C．5 D．6

） 13．已知i是虚数单位，设zA．第一象限

1i，则复数z2对应的点位于复平面（ ） 1iC．第三象限

D．第四象限

B．第二象限

14．设复数满足(12i)zi，则|z|（ ） A．

1 5B．5 5C．5 D．515．题目文件

丢失！

二、多选题

16．已知复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2),则（ ） A．z=-1+2i

B．|z|=5

C．z12i

D．zz5

17．已知复数z012i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足

|z1||zi|，下列结论正确的是（ ）

A．P0点的坐标为(1,2) 虚轴对称

C．复数z对应的点Z在一条直线上

D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于

2 218．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A．若复数zR，则zR C．若复数z满足

B．若复数z满足z2R，则zR D．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

1

R，则zR z

19．若复数z满足z2i34i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A．z的虚部为3 C．z的共轭复数为23i 20．复数z满足

B．z13 D．z是第三象限的点

23iz3i2，则下列说法正确的是（ ） 32iB．z的虚部为2

C．z32i

D．|z|13 A．z的实部为3

21．下列说法正确的是（ ） A．若z2，则zz4

B．若复数z1，z2满足z1z2z1z2，则z1z20 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等

D．“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件

222．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）

A．复数zabia,bR是实数的充要条件是b0 B．复数zabia,bR是纯虚数的充要条件是b≠0 C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数

D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称 23．任何一个复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：

zrcosisin的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

nznrcosisinrcosnisinnnN，我们称这个结论为棣莫弗定n理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A．zz B．当r1，C．当r1，D．当r1，223时，z31 时，z313i 224时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

1324．已知复数zi（其中i为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）

22A．z20

B．z2z C．z31

D．z1

25．下列命题中，正确的是（ ） A．复数的模总是非负数

B．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应

C．如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限 D．相等的向量对应着相等的复数 26．已知复数zm1m32m1imR，则下列说法正确的是（ ）

B．若复数z2，则m3 D．若m0，则42zz20

B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭D．任何纯虚数的平方都是负实数

A．若m0，则共轭复数z13i C．若复数z为纯虚数，则m1 A．0比i大 复数

C．xyi1i的充要条件为xy1 28．若复数z27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）

2，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．|z|A．z的虚部为1 C．z2为纯虚数

2 D．z的共轭复数为1i

29．（多选）32i1i表示( ) A．点3,2与点1,1之间的距离 C．点2,1到原点的距离

B．点3,2与点1,1之间的距离 D．坐标为2,1的向量的模

30．已知复数z，下列结论正确的是（ ） A．“zz0”是“z为纯虚数”的充分不必要条件 B．“zz0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件 C．“zz”是“z为实数”的充要条件 D．“zzR”是“z为实数”的充分不必要条件

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一、复数选择题 1．B 【分析】

先求出，再计算出模. 【详解】 ， ， . 故选：B. 解析：B 【分析】

21，再计算出模. z【详解】

先求出

z1i，

21i221112i， z1i1i1i2122125. z故选：B.

2．D 【分析】

运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.

【详解】 因为，

所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为. 故选：D

解析：D 【分析】

运用复数除法的运算法则化简复数【详解】

5i的表示，最后选出答案即可. 34i5i5i(34i)15i2043i， 因为

34i(34i)(34i)2555所以在复平面内，复数故选：D

5i43（i为虚数单位）对应的点的坐标为,. 34i553．B 【分析】 ，然后算出即可. 【详解】

由题意，则复数的虚部为1 故选：B

解析：B 【分析】

1i，然后算出即可. i【详解】 z由题意z故选：B

1i1iii11i，则复数z的虚部为1 iii14．A 【分析】

利用复数的模长公式结合可求得的值. 【详解】

，由已知条件可得，解得. 故选：A.

解析：A 【分析】

利用复数的模长公式结合a0可求得a的值. 【详解】

a0，由已知条件可得1ai12a22，解得a3.

故选：A.

5．A 【分析】

根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得 【详解】

由复数为纯虚数，则，解得 则 ，所以，所以 故选：A

解析：A 【分析】

根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a，.进而求得复数z,再根据模的定义即可求得za 【详解】

z12i12iaia22a1ia22a1i22 aiaiaia21a1a1a20a2112i由复数zaR为纯虚数，则2a1，解得a2

ai02a1则zi ，所以za2i，所以za5 故选：A

6．A 【分析】

将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由，得， 则， 故选：A.

解析：A 【分析】 将z1i代入【详解】

z，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 1zz1ii2i由z1i，得1i，

1zii则

z1i1z11222，

故选：A.

7．C 【分析】

根据模的运算可得选项. 【详解】 . 故选:C.

解析：C 【分析】

根据模的运算可得选项. 【详解】

z5555.

2212i512故选:C.

8．C 【分析】

对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟

解析：C 【分析】

对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题

mi是纯虚数， 1i2mimi1imm1iim1m1i为纯虚数， 1i2221i1i所以m=1.

故选：C 【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.

9．A 【分析】

由得出，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】 由题意得，则. 故选：A

解析：A 【分析】

由1,1得出z1i，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】

由题意得z1i，则故选：A

z1i1ii111i. z1iii110．D 【分析】

利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解 【详解】 ，故 则 故选：D

解析：D 【分析】

利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解 【详解】

a3i1i2bi，故a33i2bi 则a32,b3ab8

故选：D

11．B 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求． 【详解】 由， 得， ，

则的虚部是1． 故选：．

解析：B 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z，则答案可求． 【详解】

由(12i)z43i， 得z43i(43i)(12i)105i2i， 12i(12i)(12i)5z2i，

则z的虚部是1． 故选：B．

12．C 【分析】

首先根据复数相等得到，，再求的模即可. 【详解】 因为，所以，. 所以. 故选：C

解析：C 【分析】

首先根据复数相等得到a1，b2，再求abi的模即可. 【详解】

因为a2ibii1bi，所以a1，b2. 所以abi12i故选：C

12225.

13．A 【分析】

由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果. 【详解】 由已知，

，对应点为，在第一象限， 故选：A.

解析：A 【分析】

由复数的除法求出zi，然后得出z2，由复数的几何意义得结果. 【详解】

由已知z(1i)(1i)i，

(1i)(1i)z2i22i，对应点为(2,1)，在第一象限，

故选：A.

14．B 【分析】

利用复数除法运算求得，再求得. 【详解】 依题意， 所以. 故选：B

解析：B 【分析】

利用复数除法运算求得z，再求得z. 【详解】 依题意zi12ii2i21i， 12i12i12i55522521. 所以z555故选：B

15．无

二、多选题 16．AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量， 所以，，|z|=，， 故选：AD

解析：AD 【分析】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，得到复数z12i，再逐项判断. 【详解】

因为复数Z在复平面上对应的向量OZ(1,2)，

所以z12i，z12i，|z|=5，zz5， 故选：AD

17．ACD 【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确

解析：ACD 【分析】

根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出z，利用|z1||zi|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性. 【详解】

复数z012i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确； 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；

设zxyi(x,yR)，代入|z1||zi|，得|(x1)yix(y1)i|，即

(x1)2y2x2(y1)2，整理得，yx；即Z点在直线yx上，C正确；

易知点P0到直线yx的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为故选：ACD 【点睛】

本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.

1222，故D正确. 218．AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确； B选项，设复数，则， 因为，所，若，则；故B错； C选项，设

解析：AC 【分析】

根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

A选项，设复数zabi(a,bR)，则zabi(a,bR)，因为zR，所以b0，因此zaR，即A正确；

B选项，设复数zabi(a,bR)，则z2abia2b22abi， 因为z2R，所ab0，若a0,b0，则zR；故B错； C选项，设复数zabi(a,bR)，则因为

211abiab2i22222， zabiababab1b0，即b0，所以zaR；故C正确； R，所以22abz

D选项，设复数z1abi(a,bR)，z2cdi(c,dR)， 则z1z2abicdiacbdadbci，

a1c2zzR因为12，所以adbc0，若，能满足adbc0，但z1z2，

b1d2故D错误. 故选：AC.

【点睛】

本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.

19．BC 【分析】

利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考

解析：BC 【分析】

利用复数的除法求出复数z，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】

34i23i2，所以，复数z的虚部为3，z13，i共轭复数为23i，复数z在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】

z2i34i，z本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.

20．AD 【分析】

由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案. 【详解】 解：由知，，即

，所以的实部为，A正确；的虚部为-2，B错误； ，C错误；，D正确； 故选:A

解析：AD 【分析】

由已知可求出z32i，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案. 【详解】

223i23i23i32i32iz3i2知，z23i，即z23i解：由 32i32i23i133926i32i，所以z的实部为3，A正确；z的虚部为-2，B错误； 13z32i，C错误；|z|故选:AD. 【点睛】

32213，D正确；

2本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.

21．AD 【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若，则，故A正确； 设， 由，可得

则，而不一定为0，故B错误； 当时

解析：AD 【分析】

由z求得zz判断A；设出z1，z2，证明在满足z1z2z1z2时，不一定有z1z20判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确. 【详解】

若z2，则zzz4，故A正确；

设z1a1bi1a1,b1R，z2a2b2ia2,b2R 由z1z2z1z2，可得

2z1z2a1a2b1b2z1z2a1a2b1b2

则a1a2b1b20，而

222222z1z2a1bi1a2b2ia1a2bb12a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故

B错误；

当z1i时z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误； 若复数za1a1iaR是虚数，则a210，即a1

2所以“a1”是“复数za1a1iaR是虚数”的必要不充分条件，故D正确；

2故选：AD 【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.

22．AC 【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确； 对于：若复数是纯虚数则且，故错误； 对于：若，互为共轭复数

解析：AC 【分析】

根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】

解：对于A：复数zabia,bR是实数的充要条件是b0，显然成立，故A正确；

对于B：若复数zabia,bR是纯虚数则a0且b≠0，故B错误；

对于C：若z1，z2互为共轭复数，设z1abia,bR，则z2abia,bR，所以z1z2abiabiabiab是实数，故C正确；

22222对于D：若z1，z2互为共轭复数，设z1abia,bR，则z2abia,bR，所对应的坐标分别为a,b，a,b，这两点关于x轴对称，故D错误； 故选：AC 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．

23．AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，，则，可得

解析：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，zrcosisin，则zr22cos2isin2，可得

2z2r2cos2isin2r2，zrcosisinr2，A选项正确；

2对于B选项，当r1，33时，

z3cosisincos3isin3cosisin1，B选项错误；

对于C选项，当r1，项正确；

对于D选项，zcosisincosnisinncosnn3时，zcos3isin31313i，C选i，则z2222nnisin， 44取n4，则n为偶数，则z4cosisin1不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

24．BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】

解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确；

，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则

解析：BCD 【分析】

利用复数的运算法则直接求解． 【详解】 解：z213复数zi（其中i为虚数单位），

2213313ii，故A错误； 42422z2z，故B正确；

131313z3(i)(i)1，故C正确；

222244|z|131．故D正确． 44故选：BCD． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

25．ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】 设复数，

对于A，，故A正确． 对于B，复数对应的向量为，

且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与

解析：ABD 【分析】

根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】

设复数zabia,bR，

对于A，za2b20，故A正确．

对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内以原点为起点的任一向量m,n，其对应的复数为mni， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确． 对于B，复数z对应的向量为OZa,b，

且对于平面内的任一向量m,n，其对应的复数为mni，

故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．

对于C，如果复数z对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C错．

对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】

本题考查复数的几何意义，注意复数zabia,bR对应的向量的坐标为a,b，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．

26．BD 【分析】

根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】

对于A，时，，则，故A错误；

对于B，若复数，则满足，解得，故B正确； 对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，

解析：BD 【分析】

根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】

对于A，m0时，z13i，则z13i，故A错误；

2m12对于B，若复数z2，则满足，解得m3，故B正确；

m3m102m10对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得m1，故C错误；

m3m10对于D，若m0，则z13i，42zz24213i13i20，故

D正确. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.

27．ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，

解析：ABC 【分析】

根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；

对于B选项，1i2i3，但1i与2i不互为共轭复数，B选项错误； 对于C选项，由于xyi1i，且x、y不一定是实数，若取xi，yi，则

xyi1i，

C选项错误；

对于D选项，任取纯虚数aia0,aR，则aia20，D选项正确.

2故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.

28．ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为，

对于A：的虚部为，正确； 对于B：模长，正确； 对于C：因为，故为纯虚数，

解析：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简z后得：z1i，然后分别按照四个选项的要求逐

一求解判断即可. 【详解】

21i222i1i， 因为z1i1i1i2对于A：z的虚部为1，正确； 对于B：模长

z2，正确；

对于C：因为z2(1i)22i，故z2为纯虚数，正确； 对于D：z的共轭复数为1i，错误. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

29．ACD 【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】

由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B

解析：ACD 【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于2i,也等于2i,即可判断选项C,D 【详解】

由复数的几何意义,知复数32i,1i分别对应复平面内的点3,2与点1,1,所以

32i1i表示点3,2与点1,1之间的距离,故A说法正确,B说法错误；

32i1i2i,2i可表示点2,1到原点的距离,故C说法正确；

32i1i1i32i2i,2i可表示表示点2,1到原点的距

离,即坐标为2,1的向量的模,故D说法正确, 故选:ACD 【点睛】

本题考查复数的几何意义,考查复数的模

30．BC 【分析】

设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.

【详解】 设，则，

则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分

解析：BC 【分析】

设zabia,bR，可得出zabi，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】

设zabia,bR，则zabi，

则zz2a，若zz0，则a0，bR，若b0，则z不为纯虚数， 所以，“zz0”是“z为纯虚数”必要不充分条件；

若zz，即abiabi，可得b0，则z为实数，“zz”是“z为实数”的充要条件；

zza2b2R，z为虚数或实数，“zzR”是“z为实数”的必要不充分条件.

故选：BC. 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.