高中复数经典练习题(含答案)

一、单选题

1．已知z12i，则z(zi)的模长为（ ） A．4

B．10 C．2

D．10

Z12．向量OZ1，OZ2，分别对应非零复数z1，z2，若OZ1⊥OZ2，则Z是（ ）

2A．负实数 C．正实数 A．第一象限 A．1

12B．纯虚数

D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)

B．第二象限 B．2

C．第三象限 C．3

D．第四象限 D．4

3．设z(12i)|34i|，则z的共轭复数对应的点在（ ）

4．已知x，yR，i为虚数单位，且y2i2yx，则xy的值为（ ） 5．已知复数z满足z1i1，则z的虚部为（ ） A．

B．i

2B．第二象限

1C．2 C．第三象限

1D．

1i 26．复数i(43i3)在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限

D．第四象限

7．下列命题：①若abi0，则ab0；②xyi22ixy2；③若

yR，且y21y1i0，则y1.其中正确命题的个数为（ ）

A．0个 A．17 9．复数 zA．1或-1 C．-1 A．1

B．1个 B．4

C．2个 C．7 D．3个 D．5 8．设复数z满足iz4i0，则|z|（ ）

1(a21)i是实数，则实数a的值为（ ） a1B．1 D．0或-1

B．15

C．3

D．16

10．集合M={x|x=in+1，n∈N}（i为虚数单位）的真子集的个数是（ ）

24i311．已知复数z，则z（ ）

1iA．5 z21B．10 C．23 D．25 12．已知i是虚数单位，复数z1、z2在复平面内对应的点分别为1,2、1,1，则复数z的共轭复数的虚部为( )

A．

15B．

15C．i

15D．i

1513．已知复数zm3m1i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）. A．3,1 C．1, 14．

设复数z满足iz1i(i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

12B．1,3 D．,3

C．第三象限 D．第四象限

15．若复数z满足zi1i，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

15D．第四象限

16．已知复数z满足z43i5i，则z（ ） A．1

B．5 C．

D．5

17．已知复数z满足(34i)z5(1i)，则z的虚部是（ ） A． 18．复数z15B．

75C．i

15D．i

75ii5在复平面内对应的点位于（ ） 2iA．第一象限 A．1i 20．

B．第二象限 B．1i

C．第三象限 C．1i

D．第四象限 D．1i

19．已知复数zi(1i)，则其共轭复数z（ ）

3i（ ） 3i35A．i 二、填空题 21．若复数z45B．i

4535C．

453i 5D．i

43552i，则z_______． i22．设复数z12i（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为________.

23．已知复数z满足4(1i)2z(12i)，则|z|________.

24．已知复数z满足z1i42i，则z_________（用代数式表示）. 25．已知复数z满足z21，则z的最小值为___________； 1i26．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，zOZ，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离，在复数平面内，复数z0a2i (i是虚数单位，1iaR)是纯虚数，其对应的点为Z0，Z为曲线z1上的动点，则Z0与Z之间的最

小距离为________________.

27．若i为虚数单位，复数z3i，则表示复数

ziz的点在第_______象限. 1i28．复数za2i，aR，若13i为实数，则a________．

1)和B(0，1)，则1_______. 29．在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A(2，z2z30．复数

2i的共轭复数是_______． i1131．若z1＝2－i，z2＝－2＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1，Z2，这两点之间的距离为________.

32．设复数z1，z2满足z11，z22，z1z212i，则z1z2________． 33．设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为__________. 34．已知复数z1i，则

2z____________ z235．已知2i是关于x的方程xaxb0a,bR的根，则ba________.

36．定义z1,z2C，z1z2(|z1z2|2|z1z2|2)，z1z2z1z2i(z1iz2).若

z134i，z2143i，则|z1z2|___________.

1437．设zC，且z1zi0，则zi的最小值为________. 38．已知复数z满足z1i42i，则z_________. 39．复数10(cosi77isin)表示成代数形式为________． 6640．已知z34i，求|z|=___________ 三、解答题

41．已知复数z是纯虚数，(1)求复数z；

(2)若mR，复数mz2z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.

42．分别求满足下列条件的实数x，y的值．

2z2为实数. 12i(1)2x1(y1)ixy(xy)i ；

x2x6(x22x3)i0. (2)

x143．已知复数z125i，z212cosi. (1)求z1z1；

(2)复数z1，z2对应的向量分别是OZ1，OZ2，其中O为坐标原点，当时，求

OZ1OZ2的值.

π3

44．设复数z11i，z2cosisin，其中0,. (1)若复数zz1z2为实数，求的值； (2)求z1z2的取值范围．

45．设z是虚数，且z满足12. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)设u1z，求证：u为纯虚数； 1z1z(3)求u2的最小值.

【参考答案】

一、单选题 1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B 11．B 12．A

13．A 14．D 15．D 16．A 17．B 18．C 19．C 20．B 二、填空题

21．12i

4 22．3，23．2

24．13i##3i+1 25．21##12 26．1 27．四 28．3

29．12i##2i+1 30．i 31．61 2123232．7 33．5 34．22 35．9 36．35 37．2. 238．13i 39．－5153－5i##－5i－53 40．##0.2 三、解答题

41．(1)z4i (2)1m4 【解析】 【分析】

（1）根据纯虚数的定义设出复数z的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；

（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)

因为复数z为纯虚数， 所以设zbibR,b0，

z22bi(12i)(2bi)2b2(b4)iz2则，又为实数 12i12i(12i)(12i)512i∴4b0b4，即z4i； (2)

因为mR，z4i

所以有mz2zm22mzz22zm28mi168im216(88m)i， 又复数mz2z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以有：m2160且88m0，即1m4.

x342．(1)；

y222(2)x＝3. 【解析】 【分析】

（1）（2）利用复数相等或复数等于0直接列式计算作答. (1)

2x1xyx32x1(y1)ixy(xy)i因x，y∈R，，则有，解得，

y1xyy2所以(2)

x3. y2x2x60xx6(x22x3)i0，于是得x1因x∈R，，解得x3， x12x2x302所以x3. 43．(1)29

(2)OZ1OZ27 【解析】 【分析】

（1）结合共轭复数、复数乘法运算求得正确答案. （2）结合向量数量积的坐标表示求得正确答案. (1)

∵z125i,z125i，∴z1z125i25i42529. (2)

∵OZ12,5，OZ21,2cos.

OZ1OZ2210cos，

π3

π3∵，∴OZ1OZ2210cos7. 44．(1)

3 4(2)[21,5] 【解析】 【分析】

（1）利用复数的乘法运算法则计算可得z(cossin)(cossin)i，再列出等量关系cossin0，求解即可；

（2）先计算z1z2322cos()，结合0,和余弦函数的性质，分析

4即得解 (1)

由题意，zz1z2(1i)(cosisin)(cossin)(cossin)i 若复数zz1z2为实数，则cossin0 故tan1，0, 解得：(2)

由题意，z11i，z2cosisin

z1z2|(1i)cosisin||(1cos)(1sin)i|

34

(1cos)2(1sin)232cos2sin 322cos() 4由于0,，故,

4445故1cos()42 2故21322z1z25 故z1z2的取值范围是[21,5]

1 45．(1)|z|1，，12(2)证明见解析 (3)1 【解析】 【分析】

（1）根据复数的除法可得，根据其为实数可得a2b21，从而z的实部的取值范围；

（2）根据复数的除法可得ubi，从而可证u为纯虚数； a1（3）根据基本不等式可求最小值. (1)

设zabi，a、bR，b0， 则abi1aba2bi222， abiabab∵12，∴是实数，又b0，∴a2b21，即|z|1，

1； ∴2a，12a2，a1，∴z的实部的取值范围是，1212(2)

1z1abi1a2b22bibui， 221z1abia11ab∵a,1，b0，∴u为纯虚数；

21(3)

u2a2b2a122aa1212a12a13， a1a1a1111，∴a10，故u222a13431， ∵a，2a1当a11，即a0时，u2取得最小值1. a1