总分 题号 得分 一 二 三 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. a为正实数，i为虚数单位，
，则a=（ ）
A. 2
2. 已知集合A={x∈Z|
B.
C.
D. 1
2
∈Z}，B={x|x-4x-5≤0}，则A∩B=（ ）
A. {-1，0，1，3} B. {-1，0，1，2} C. {-1，0，1} D. {0，1，2，3}
3. 如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A. 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 B. 与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长 C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元
D. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
4. 设0≤x≤2π，且
=sinx-cosx，则（ ）
A. 0≤x≤π B.
C.
D.
5. 设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（ ） A. ③④ B. ①③ C. ②③ D. ①② 6. 已知函数是R上的偶函数，是R上的奇函数，且，若
，则的值为( )
A. 2 B. 0 C. D. 7. 若
（ ）
的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则
=
A. 36π B.
C.
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D. 25π
8. 已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长
度|×|=||||sinθ，若=（2，0），-=（1，-），则|×（+）|=（ ）
A. 4 B.
C. 6 D. 2
9. 已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），以
线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x-）
2
+y2=相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）
2x B. y=±
x A. y=±C. y=±x D. y=±x
10. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，函数y=f（x）
图象的一条对称轴是x=-，则ω取得最小值时，函数f（x）的单调增区间是（ ）
A. [3kπ-，3kπ-]，k∈Z C. [2kπ-，2kπ-]，k∈Z
B. [3kπ-，3kπ-]，k∈Z D. [2kπ-，2kπ-]，k∈Z
11. 已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A-BD-C为
120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. 25π B. 26π C. 27π D. 28π
2
12. 已知函数f（x）=（2a+2）lnx+2ax+5．设a＜-1，若对任意不相等的正数x1，x2，
恒有
．则实数a的取值范围是（ ）
A. （-3，-1） B. （-2，-1） C. （-∞，-3] D. （-∞，-2]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设变量x，y满足约束条件：
．则目标函数z=2x+3y的最小值为______．
14. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中
等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______．
2
15. 过抛物线C：y=2Px（P＞0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两
点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若则l的斜率为______．
16. 如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，
，残，
缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC上，则裁出三角形面积的最大值为______．
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三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知等差数列{an}的前n项和为
等比数列，数列{bn}满足
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）已知
，公差d＞0，S1．、S4．、S16成．
，求数列{cn+bn}的前n项和Tn⋅
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点． （Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
19. 已知圆
NA上，点G在MA上，且满足（1）求曲线C的方程；
及定点，点A是圆M上的动点，点B在，点G的轨迹为曲线C．
（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线分别交于P、Q两点，当
和
时，求△OPQ（O为坐标原点）面积的取值范围．
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20. 超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物
越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡．
*
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，
*
则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+l次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜l）．
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（i）试运用概率
统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式P=f（k）；（ii）若采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．
21. 记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max．已知函数f（x）
=max{x2-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，-x2+（a2-）x+2a2+4a}． （1）设
，求函数h（x）在（0，1]上零点的个数；
，
（2）试探讨是否存在实数a∈（-2，+∞），使得g（x）＜x+4a对x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数），
，
x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，以坐标原点O为极点，点A的极坐标为
2
直线l经过点A．曲线C的极坐标方程为ρsinθ=4cosθ． （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点E两点作直线l的垂线交曲线C于D，（D在x轴上方），求
的值．
23. 已知函数f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|．
（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤9；
（2）当a≠2时，若对任意实数x，f（x）≥4都成立，求实数a的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵∴|
|=|1-ai|=
=1-ai =2
2即a=3
由a为正实数 解得a= 故选：B．
根据复数的运算法则，我们易将n∈R）化为m+ni（m，的形式，再根据|m+ni|=，
我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．
本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数a的方程，是解答本题的关键． 2.【答案】A
【解析】解：A={-15，-9，-7，-6，-5，-4，-2，-1，0，1，3，9}， B={x|-1≤x≤5}；
∴A∩B={-1，0，1，3}． 故选：A．
可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 3.【答案】A
【解析】解：由2017年第一季度五省GDP情况图，知：
2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，在A中，
共2个，故A错误；
在B中，与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故B正确；
在C中，去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，故C正确；
在D中，2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故D正确． 故选：A．
2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南．
本题考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题． 4.【答案】C
【解析】解：∵
=
=
=|sinx-cosx|=sinx-cosx，
∴sinx-cosx≥0，即sinx≥cosx， ∵0≤x≤2π， ∴≤x≤．
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故选：C．
已知等式变形后，利用二次根式的性质判断出sinx大于等于cosx，即可求出x的范围． 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 5.【答案】C
【解析】解：①当直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时，不正确． ②因为垂直于同一平面的两直线平行，正确． ③因为垂直于同一直线的两平面平行，正确．
④如X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时，不正确． 答案为：②③． 故选：C．
①举反例，如直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断．③用垂直于同一直线的两平面平行判断．④举例，如X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时．
本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系，在考查时一般考查判定定理和性质定理以及一些常见结论或图形的应用 6.【答案】B
【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，建立方程关系求出f（x）是周期为4的周期函数，结合函数的周期性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质求出f（x）是周期为4的周期函数是解决本题的关键． 【解答】
解：∵f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1）， ∴g（-x）=-g（x），即f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1）， 即-f（x）=f（x+2），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x）， 即f（x）是周期为4的周期函数，
若f（2）=2，则f（2019）=f（2020-1）=f（-1）=g（0）=0， 故选：B． 7.【答案】C
【解析】解：
的展开式的通项为
，
因为展开式中含有常数项，所以故n的最小值为5．∴a=5． 所以
=
dx=
=
． ，即
为整数，
故选：C．
利用二项式定理的通项公式可得n的最小值，再利用微积分基本定理及其定积分几何意义即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理及其定积分几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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8.【答案】D
【解析】解：由题意则∴∴即得由定义知故选：D．
利用数量积运算和向量的夹角公式可得
，利用新定义即可得出．
本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题． 9.【答案】B
【解析】解：设切点为M，则EM∥PF1，又
=，所以|PF1|=4r=b，所以|PF2|=2a+b，
=
．再利用平方关系可得
=6，
=，
=
=， ，
，
=2=．
，
=2． ，
222
因此b+（2a+b）=4c，
2x． 所以b=2a，所以渐近线方程为y=±
故选：B．
222
求出|PF1|=4r=b，所以|PF2|=2a+b，因此b+（2a+b）=4c，即可求出双曲线的渐近线方
程．
本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．
根据函数f（x）的一个零点是x=，得出f（）=0，再根据直线x=-是函数f（x）图象k∈Z；的一条对称轴，得出-ω-φ=+kπ，由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），求出它的单调增区间即可．
【解答】
解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）-1的一个零点是x=， ∴f（）=2sin（ω+φ）-1=0，
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∴sin（ω+φ）=，
∴ω+φ=+2kπ或ω+φ=π+2kπ，k∈Z； 又直线x=-是函数f（x）图象的一条对称轴， ∴-ω+φ=+kπ，k∈Z； 又ω＞0，|φ|＜π， ∴ω的最小值是，φ=∴f（x）=2sin（x+令-+2kπ≤x+
， ）-1；
≤+2kπ，k∈Z，
∴-+3kπ≤x≤-+3kπ，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间是[-+3kπ，-+3kπ]，k∈Z． 故选：B．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关键，属于中档题．
取BD的中点E,连接AE,CE,外接球球心O在平面ACE内,OG⊥CE,OE垂直平分AC,其中CG=2GE=2,∠CEA=,可得四面体的外接球的半径, 即可求出四面体的外接球的表面积.
【解答】
解：如图1,取BD的中点E,连接AE,CE,
由已知条件得AE⊥BD,CE⊥BD,且AE、CE为平面ACE内两条相交直线, 所以BD⊥平面ACE,又BD在平面BCD内, 所以平面ACE⊥平面BCD, 对菱形ABCD,∠BAD=60°， 所以三角形BDC为等边三角形, 则易知外接球球心在平面ACE内,
设三角形BDC的中心为G,则CG=2GE=2,
如图2,过点G作OG⊥平面BDC交AC的垂直平分线于点O,则点O为四面体ABCD的外接球的球心,
因为AE⊥BD,CE⊥BD,AE在平面ABD内,CE在平面CBD内, 所以∠CEA=，
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所以OG=GEtan 60=得外接球半径R=OC=
,
,
2
∴四面体的外接球的表面积为4πR=28π， 故选：D． 12.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，利用导函数研究单调性的应用．
求解f（x）的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数x1，x2，构造新函数，在讨论其单调性即可得解 【解答】
2
解：函数f（x）=（2a+2）lnx+2ax+5． ∴f′（x）=
当a＜-1，可得f′（x）＜0，可得f（x）在（0，+∞）单调递减． 不妨设x1＜x2．对任意不相等的正数x1，x2，恒有即f（x1）-f（x2）≥8x2-8x1,即令g（x）=f（x）+8x； 则g′（x）=即从而可得
≤0；
；
,
．
，可得g（x）在（0，+∞）单调递减．
可知a≤-2． 故选：D． 13.【答案】7
【解析】解：设变量x、y满足约束条件
，
A1）在坐标系中画出可行域△ABC，（2，，
B（4，5），C（1，2），
1）当直线过A（2，时，目标函数z=2x+3y
的最小，最小值为7． 故答案为：7．
先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．
借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
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14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3=9，田忌的马获胜包含的基本事件有：m=3种，由此能求出田忌的基本事件总数n=3×
马获胜的概率． 【解答】
解：现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，
3=9， 基本事件总数n=3×
田忌的马获胜包含的基本事件有：m=3种， ∴田忌的马获胜的概率p===． 故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：分别过A，B，N作抛物线的准线的垂涎，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，
|NN′|=（|AA′|+|BB′|）=|AB|， 因为|MN|=|AB|，所以|NN′|=|MN|，所以
∠MNN′=30°，即直线MN的倾斜角为150°， 又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为60°，kAB=． 故答案为：．
分别过A，B，N作抛物线的准线的垂涎，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，|NN′|=（|AA′|+|BB′|）=|AB|，因为|MN|=|AB|，所以|NN′|=|MN|，所以∠MNN′=30°，即直线MN的倾斜角为150°，再得l的倾斜角和斜率．
本题考查了抛物线的性质，属中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数关系式的应用，三角形面积公式的应用，函数的导数的应用，单调区间的应用，主要考查运算能力和转换能力，属于中档题型．
分两种情况进行讨论：（1）斜边在BC上，设∠PBC=θ，则：θ∈（0，），若在直角边BC上，设∠POH=θ，则
，进一步利用导数的应用和三角函数关系式的恒等变
换和函数的单调区间的应用，求出函数的最大值．
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【解答】
解：设裁出的直角三角形，斜边为BH, 根据题意分两种情况：
（1）当斜边在BC上，设∠PBC=θ， 则θ∈（0，）， 所以PB=从而S=当
，PC=
=
，
，
，此时PH=（符合条件）．
（2）若直角边在BC上，设∠POH=θ， 则
，
则PH=2sinθ，OH=2cosθ， 由OH知
，
，
所以S（θ）=
=2sinθ（1+cosθ），
则：S′（θ）=2（cosθ+1）（2cosθ-1）， 当
′
时，S（θ）＞0，
所以S（θ）单调递增，
时，S′（θ）＜0，
所以S（θ）单调递减，
，
当即cos
时，
时，S（θ）最大，
．
综上所述：故答案为：
，公差d＞0，
17.【答案】解：（1）等差数列{an}的前n项和为
所以：S1=a1，S4=4a1+6d，S16=16a1+120d， 由于S1．、S4．、S16成等比数列， 所以：解得：d=2a1
，
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由于解得：所以：d=2． 则：an=2n-1． 又整理得：（2）由于：所以：所以： 当x=1时，
，
．
， （x＞0）．
，
，
，
=
当x≠1时，
，
=
． ，
【解析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式， （2）利用分类讨论思想和裂项相消法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，分类讨论思想的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．
222
∴AC+BC=AB，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC． ∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，-2，0）．
设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，-1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，-1，a）．
取=（1，-1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量． 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，
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即，取x=a，y=-a，z=-2，则=（a，-a，-2），
=
=，则a=2．
依题意，|cos＜，＞|=
于是n=（2，-2，-2），=（2，2，-4）． 设直线PA与平面EAC所成角为θ， 则sinθ=|cos＜，＞|=
=，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．
【解析】（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P-AC-E的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．
本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
及定点，点A是圆M19.【答案】解：（1）已知圆
上的动点，点B在NA上，点G在MA上，且满足
B为AN的中点，且GB⊥AN，得GB是线段AN的中垂线，
∴|AG|=|GN|，又|GM|+|GN|=|GM|+|GA|=|AM|=8＞4=|MN| ∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆； 设椭圓方程为+=1（a＞b＞0） 则a=4，c=2
，∴b=
=2
，
所以曲线C的方程为：+=1 （2）直线1：y=kx+m（k≠士）
则由题意y=kx+m与+=1联立方程组；
消去y，可得：
222
（1+4k）x+8kmx+4m-16=0；
因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，
222222
所以△=64km-4（1+4k）（4m-16）=0，即m=16k+4．① 又由：y=kx+m与x-2y=0 可得P（2
，
）； ，
）
同理可得Q（-2
第14页，共18页
由原点O到直线PQ的距离为d=S△OPQ=d|PQ|=
×
|xP-xQ|=|
和|PQ|=|；②
|xP-xQ|，
将①代入②可得： S△OPQ=d|PQ|=
2
×|xP-xQ|=||=8（
|=8|）=8（1+
|； ）＞8；
当k＞时，S△OPQ=8|
综上，△OPQ面积的取值范围是（8，+∞）．
【解析】（1）利用题意和椭圆的定义求解，
（2）利用直线与圆锥曲线的位置关系联立方程组表达三角形的面积可求范围．
题考查了椭圆的定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．
20.【答案】解：（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A， 则P（A）==，
∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为． （2）（i）由已知得Eξ1=k，ξ的所有可能取值为1，k+1，
kk
∴P（ξ2=1）=（1-p），p（ξ2=k+1）=1-（1-p），
kkk
∴E（ξ2）=（1-p）+（k+1）[1-（1-p）]=k+1-k（1-p），
k
若E（ξ1）=E（ξ2），则k=k+1-k（1-p）=1，
k
（1-p）=，
∴1-p=（），∴p=1-（）．
*
∴p关于k的函数关系式为p=f（k）=1-（），（k∈N，且k≥2）． k
（ii）由题意知E（ξ1）＜E（ξ2），得＜（1-p），
∵p=1-，∴，∴lnk＞，
设f（x）=lnx-，（x＞0），
∴当x＞3时，f′（x）＜0，即f（x）在（3，+∞）上单调增减， 又ln4≈1.3863，∴ln4＞，ln5≈1.6094，
，
，∴ln5＜，
∴k的最大值为4．
【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，利用古典概型、排列组合能求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
k
（2）（i）由已知得Eξ1=k，ξ的所有可能取值为1，k+1，求出P（ξ2=1）=（1-p），p
kk
（ξ2=k+1）=1-（1-p），从而E（ξ2）=k+1-k（1-p），由E（ξ1）=E（ξ2），能求出p关于k的函数关系式．
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k
（ii）由E（ξ1）＜E（ξ2），得＜（1-p），推导出lnk＞，设f（x）=lnx-，（x＞0），
当x＞3时，f′（x）＜0，即f（x）在（3，+∞）上单调增减，由此能求出k的最大值． 本题考查概率、函数关系式、实数的最大值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
21.【答案】解：（1）设，…（1分）
令F'（x）＞0，得x＞1，F（x）递增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F（x）递减，…（2分）
22
∴F（x）min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x-1≥2lnx，∴f（x）=x-1…（3分） 设
，结合f（x）与G（x）在（0，1]上图象可知，这两个函数的图
象在（0，1]上有两个交点，即h（x）在（0，1]上零点的个数为2…（5分） （或由方程f（x）=G（x）在（0，1]上有两根可得） （2）假设存在实数a∈（-2，+∞），使得
对x∈（a+2，+∞）恒成立，
则，对x∈（a+2，+∞）恒成立，
即，对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（6分）
①设，
令H'（x）＞0，得0＜x＜2，H（x）递增；令H'（x）＜0，得x＞2，H（x）递减， ∴H（x）max=h（2）=ln2-1，
当0＜a+2＜2即-2＜a＜0时，4a＞ln2-1，∴故当
时，
，∵a＜0，∴4
．
对x∈（a+2，+∞）恒成立，…（8分）
．
H+∞）当a+2≥2即a≥0时，（x）在（a+2，上递减，∴∵
故当a≥0时，
，∴H（a+2）≤H（0）=ln2-1＜0，
对x∈（a+2，+∞）恒成立…（10分）
22
②若（x+2）（x-a）＞0对x∈（a+2，+∞）恒成立，则a+2≥a，∴a∈[-1，2]…（11分）
由①及②得，．
对x∈（a+2，+∞）恒成立，
故存在实数a∈（-2，+∞），使得且a的取值范围为
【解析】（1）利用导数求出即可判定；
…（12分）
的单调区间及最值，结合图象
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（2）构造函数H（x）=g（x）-x-4a，对该函数在∈（a+2，+∞）的最大值进行分类求解，只需最大值小于0即可．
本题考查了函数的零点的个数判定，及函数不等式恒成立时，参数取值范围的求解方法，属于难题．
（1）由题意得点A的直角坐标为22.【答案】解：
，
则直线l的普通方程为．
2222
由ρsinθ=4cosθ得ρsinθ=4ρcosθ，即y=4x．
2
故曲线C的直角坐标方程为y=4x． （2）设直线DE的参数方程为
（t为参数），
，将点A代入
得
2
代入y=4x得． 设D对应参数为t1，E对应参数为t2． 则，，且t1＞0，t2＜0．
∴．
【解析】（1）求得A的直角坐标，代入直线l的参数方程求得a，进而得到l的普通方程；由极坐标和直角坐标可得曲线C的直角坐标方程；
（2）求得直线DE的参数方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．
本题考查直角坐标和极坐标的关系，以及参数方程和普通方程、极坐标方程的互化，考查直线方程和抛物线的联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题． 23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=3|x-1|， 由f（x）≤9得|x-1|≤3，由|x-1|≤3得-3≤x-1≤3， 解得：-2≤x≤4，
故a=2时，关于x的不等式的解集是{x∈R|-2≤x≤4}； （2）①当a＞2时，＜2a-3，
f（x）=，
故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增， 故f（x）min=f（）=-3， 由题设得-3≥4，解得：a≥； ②当a＜2时，＞2a-3，
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f（x）=，
故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增， 故f（x）min=f（）=+3， 由题设得-+3≥4，解得：a≤-， 综上，a的范围是（-∞，-]∪[，+∞）．
【解析】（1）代入a的值，解绝对值不等式，求出不等式的解集即可；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
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