博弈论与信息经济学部分课后习题答案

解：（1）成为先行者意味着3点：1.企业可以赚取比古诺状态下更多的利润，否则没有动机成为先行者；2.追随企业没有办法威胁先行企业，即选取产量使己方产量为正，它方产量为负3.如果另一企业成为先行者，该企业可以成功威胁另一企业

maxq,q1000.5q112q110.5q2q15q10.5q2q20.5q

先求古诺均衡：

q1950.5q2maxq,q1000.5q212q2122q180,q230,因此为满足条件1，对于任何先行动者来说，必须有q1行者利润低于古诺均衡时情况）

a．如果企业2成为领导者，观察企业1能否采取威胁战略使己方利益为正，对方利益为负：

80,q230 （否则追随者可以选取产量，使价格等于古诺价格，此时先

即：

1q1,q21000.5q10.5q2q15q1022q1,q21000.5q10.5q2q20.5q20 2002q2q1190q2对于企业2的任何产量先行决策 q2若q2

10，只要企业1威胁其产量q1 将满足上式，则企业2将不敢先行动

10 ，与先行动者的q230 矛盾。因此企业2不会是先行者

b.考虑企业1能否成为先行者，由a已经知道企业1可以成功在企业1先行时成功威胁企业2。故只需考虑如果企业1先行，企业2能否威胁企业1

当企业1先行动时，企业2决策

2q,q1000.5q0.5qq0.5q2121222maxq2

q2500.25q1企业1决策：

maxq,q1000.5q112q110.5q2q15q1

max700.375q1q1q1380q193.333

因此企业1的产量决策范围为 80q193.33

而企业2要惩罚企业1为领导者必须满足

22q1,q21000.5q10.5q2q20.5q201q1,q21000.5q10.5q2q15q10 190q1q21000.5q1q1180这与 80q193.33 矛盾。

c．综合a，b，可知故在斯塔格伯格模型中，只可能企业1成为领导者，企业2成为跟随者。

（2）企业1先行动时，q1企业2先行动时，q128080,q2,13266.67,2711.11 3367.5,q235,12953.12521093.75

两企业同时行动时，q1博弈的支付矩阵为

80,q230,13200,2900

企业2

领导者跟随者 企业1 领导者3200，9003266.67，711.11

跟随者2953.125，1093.753200，900可见对任何企业，先行动均为占优策略。

考虑只进行一期的博弈，即时企业1进行威胁，企业2会了解到企业1的威胁策略不是最优的，故威胁无效。市场的最后结局为古诺均衡，企业1生产80，企业2生产30。

如果只进行有限期的博弈，则在最后一期，由于双方预期到对方都会采取最优策略，必然进行古诺竞争。依此类推，倒数第2，3，4……期，双方也会进行古诺竞争。即市场结局为古诺均衡。

（1）中的Stackelberg只在一种情况下成立，即博弈有无限期。此时企业1如果使用威胁策略将企业2排除在外，虽然在短期之内不是最优的，但是在长期可能是最优的。故企业2可能被胁迫成为追随者。市场结局是Stackelberg均衡。

3.对某商品，市场需求曲线为p=100-2Q,生产该产品的任何厂商的总成本函数为TC(q)=4q. （1）假设市场上有两个古诺厂商A,B，这两个厂商的反应线分别是什么？求解古诺均衡时的产量。 （2）假设市场上有两个厂商，一个是领导者A，一个是追随者B,求解斯坦克尔博格均衡。

4.斯密与约翰玩数字游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。 （1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纳什均衡策略组合。

（2）如果每一个局中人以1/3的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有一纳什均衡。这个对策的值是什么？

6.模型化下述划拳博弈：两个朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子，老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杠子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

解：模型化结果如下．元素为 ，其中 Ui 为参与者i 的在给定策略组合下的效用水平．

如果有的话，哪些结果是纳什均衡．

答：（高，低），（低，高），对应结果分别为（100，800），（900，600）． 如何各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？ 答：均衡为（高，高），结果为（50，50）． 合作的结果是什么？

答：均衡为（低，高），结果为（900，600）．

哪个厂商从合作的结果中得好处最多？那个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？ 答：厂商 1 得好处最多．应该给200．[这个问根据不同的标准，应有不同的答案．]

答：只有一个均衡，即纯策略均衡（D，R）．考虑混合策略均衡，设B 选择L、M、R的概率分别为a 、b 、c ，使A 对各个纯策略无

差异，它们需要满足a + b + c = 1，a −2b = −2a + b = c，且1 ≥a,b,c ≥0

但由前两个条件解得唯一解a = b = 1，c = −1，但该解不满足最后一个不等式条件．所以该博弈不存在混合策略纳什均衡．

答：没有占优解．纯策略纳什均衡解为(M, L)，(T, R)．

10.你是一个相同产品的双寡头厂商之一，你和你的竞争者生产的边际成本都是零 。而市场的需求函数是p=30-Q （1）设你们只有一次博弈，而且必须同时宣布产量，你会选择生产多少？你期望的利润是多少？为什么？

（2）若你必须先宣布你的产量，你会生产多少？你认为你的竞争者会生产多少？ 你预计你的利润是多少？先宣布时一种优势还是劣势？为了得到先宣布或者后宣布的选择权，你愿意付出多少？

（3）现在假设你正和同一个对手进行十次系列博弈中的第一次，每次都同时宣布产量，你想要你十次利润的总和（不考虑贴现）最大化，在第一次你将生产多少？你期望第十次生产多少？第九次呢？为什么？

1答：我的产量为古诺解．解古诺均衡得到，q = 10，利润为100．因为，一次产量竞争，各方均按照预期对方产量来确定利润最大化产量，在均衡中意味着预期与实际产量相等．所以预期产量应为古诺均衡解．

2答：先宣布产量等同于在Stackelberg 竞争中作为领先者．这时，我的最优产量为15， 预期利润为112.5．而此时对方产量为7.5，预期利润为56.25．与同时宣布和后宣布 相比，先宣布为一种优势．[与古诺解相比，这只是一种角度．]我愿意付出12.5． 3答：第一次仍将生产 10，而第十次，第九次仍然生产10．按反向归纳法，考虑第十 次博弈，子博弈纳什均衡要求该次博弈必然为纳什均衡，即古诺均衡．由于第九次博 弈的结果对第十次没有影响，因此第九次的均衡也是古诺均衡．[同理可得在十次博弈 中任一次的均衡皆古诺均衡．]

11.考虑下图所示的房地产开发博弈的扩展型表述：

（1）写出这个博弈的策略式表述。 （2）求出纯策略纳什均衡。 （3）求出子博弈完美纳什均衡。 1 写出这个博弈的策略式表述． A

开发 不开发

B 开发 (-3,-3) （1，0） 不开发 （0，1） （0，0） 2 求出纯策略纳什均衡．

在策略式表述的收益矩阵里，将给定对方策略，本方占优策略所对应收益以下划线表示．由此可得该博弈的纯策略纳什均衡为（开发，不开发），（不开发，开发）．

3 求出子博弈完美纳什均衡．

用反向归纳法．当 A 选择开发， B 将选择不开发，因为这样B 的收益0 大于开发的收益-3，这样A选择开发的收益为1．同理可得A选择不开发收益为0．因此，A会选择开发．（用箭头表示在给定结点行动者的最优策略．）可得到子博弈纳什均衡（开发，不开发）

12.两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择较好的节目放在前面还是后面。他们决策的不同组合导致收视率如下：

（1）如果两家同时决策，有纳什均衡吗？

（2）如果双方采用规避风险的策略，均衡的结果是什么？ （3）如果电视台1先选择，结果是什么？若电视台2先选择呢？

（4）如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在后面，这许诺可信吗？结果可能是什么？

1 如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？ 答：有，是（后面，前面）

2 如果双方采用规避风险的策略，均衡的结果是什么？ 答：毋需规避风险．

3 如果电视台 1 先选择，结果有什么？若电视台2 先选择呢？

答：如第 1 题，按反向归纳法解．若1 先选择，结果为（23,20）；若2 先选择，结果为（23,20）． 4 如果两家谈判合作，电视台1 许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗？结果可能是什么？ 答：不可信．因为该博弈只有一个纳什均衡，在该均衡中 1 选择将好节目放后面．

13.X公司垄断了震动充水床垫的生产。这种床垫的生产是相对缺乏弹性的——当价格为每床1000元时，销售25000床；当价格为每床600元，销售30000床。生产充水床垫的惟一成本是最初的建厂成本。X公司已经投资建设生产能力达到25000床的工厂，滞留成本与定价决策无关。

（1）假设进入这个行业能够保证得到一半市场，但是要投资10000000元建厂。构造X公司策略（p=1000或者p=600）反对进入策略（进入或者不进入）的报酬矩阵。这个对策有纳什均衡吗？

（2）假设X公司投资5000000元将现有工厂的生产能力扩大到生产40000床充水床垫。阻止竞争对手的进入是有利可图的策略吗 ？ （将答案中的WET改为X）

14.下表给出了一个两人的同时博弈，若这个同时博弈进行两次，第二次博弈是在知道第一次博弈的前提下进行的，并且不存在贴现因子。收益（4，4）能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果吗？如果它能够，给出策略组合；如果不能够，请说明为什么不能？

解：若该博弈为一次博弈，有两个纯策略纳什均衡 (T, L)，(M,C)，和一个混合策略纳什均衡((0.5,0.5,0),(0.5,0.5,0))．三个均衡分别

对应结果（3，1），（1，2）和（1.5，1.5）．之所以（4，4）能在纯策略的子博弈完美纳什均衡中作为第一次博弈的结果，是其中一方都可以威胁对方，如果对方不在第一次博弈时选择（4，4）所对应的行动，第二次博弈时将采取最小化对方最大化收益的行动，如果对方在第一次选择了（4，4）所对应的行动，第二次博弈时将采取最大化对方最大化收益的行动．并且给定对方的行动，威胁者无动力改变自己的策略．

游戏者 2 最小化对方最大化收益的行动是C ．那么，参与者2 试图引导结果（4，4）的策略为： 第一次选择 R ．如果第一次1 没有选择R ，那么第二次选择C ；如果第一次2 选择R ， 1 将选择L ．

用反向归纳法．第二次博弈必然是纳什均衡， (T, L)或(M,C)．考虑第一次博弈，给定2 选择R ，1 如果选择T ，那么两时期的收益现值为6，如果选择B ，该现值为7．因此，1 在第一次博弈中会选择B ．综上，给定2 的策略，1 的可能策略之一是，第一次选择B ，第二次选择T ．

然后考虑给定 1 的这个策略，2 是否有动力偏移自己的策略．第二期的选择必然是纳什均衡，无动力偏移．而在第一次博弈中，给定1 选择B ，2 必然选择R ．因此2 没有动力偏移自己的策略．

因此（4，4）能够作为第一次博弈的结果．其均衡策略组合为参与者 1：第一次选择B ，第二次选择T ． 参与者 2：第一次选择R ．如果第一次1 没有选择R ，那么第二次选择C ；如果第一次2 选择R ，1 将选择L ．

注：事实上，只要 1 的策略满足“第一次选择B ，然后如果2 第一次选择R ，第二次就选择M ”就可以了．进一步地，1 非均衡路径上的行动不影响结果．因为，第二次选择的行动必然是一次博弈中的纳什均衡；同时，1 无法也没有必要威胁2 第一次要选择R（无法：我们的均衡路径上，给定第一次博弈结果，2 的均衡收益已经最小化；没有必要： R 是2 在第一次博弈中，给定1 选择B 的占优行动）．

15.假定有几位企业家，每位企业家都有一个投资项目。每个项目的回报R，是服从于[a,b ]上的均匀分布的，这里a=100，b=150。每个项目的成本为100，而所有的企业家都没有自由资金。若银行向企业家贷款，银行是委托人，企业家则成了代理人。银行为了观察与监督企业家对资金的使用情况，则要在每一项目上花费5（观察的成本）。问：

（1）项目的期望毛回报E（R）是多少？

（2）如果银行需要以25%为利率去吸引存款，上述项目能从银行贷到资金吗？请说明你的理由。

（3）如银行以10%的利率去吸引存款，又要监管所有项目，则银行从项目的回报R中要分多高的百分比才能使银行收支相抵。 （4）（3）问中的分享合约在有监督成本的条件下能产生纳什均衡吗？为什么？ 1 项目的期望毛回报 E(R)是多少？ 解：由于 R 属于[a,b]上的均匀分布，所以

2 如果银行需要 25%的利率去吸引存款，上述项目能从银行贷到资金吗？

解：除去利息因素，该项目对每一个企业家的期望利润为25．而银行贷款100 给一个项目，其成本是30，包括支付存款利息25，和对该项目的考察成本5．即使企业将所有的利润给银行，对每一个项目，银行都仍有5 的损失．因此上述项目是无法向银行贷到款的．

3 如果银行以 10%的利率去吸引存款，又要监管所有项目，则银行从项目的回报R 中，要分多少的百分比才能使银行收支相比． 解：银行现在给每个项目贷款的成本为15．又除去利息支付，项目的期望回报为125．那么银行需要分92%（115/125）才能收支相抵． 4 （3）问中的分享合约在有监督成本的条件下能产生纳什均衡吗？为什么？

解：这里监督成本固定且意味着由此不存在信息不对称情况（正如题目所言，）会产生纳什均衡，对预期纯利润的任何一种分配方式都是纳什均衡．

19. Bayesian Nash equilibrium. This part contains two questions. (1) Battle of sexes with incomplete information (version one)

Consider the battle of sexes with incomplete information. This static game of incomplete information has a Bayesian Nash equilibrium: (Opera, (Opera if happy, Prize Fight if unhappy)) if Chris believes that Pat is happy with probability 0.5, and unhappy with probability 0.5 (Why? Surely it needs computing carefully). Now we check what happens if Chris' belief changes. Let's assume that Chris believes that Pat is happy with probability p, and unhappy with probability 1–p.

Determine the range of p such that (Opera, (Opera if happy, Prize Fight if unhappy)) is a Bayesian Nash equilibrium.

Now Pat’s preference depends on whether he is happy. If he is happy then his preference is the same.

If he is unhappy then he prefers to spend the evening by himself and his preference is shown in the following table.

Chris cannot figure out whether Pat is happy or not. But Chris believes that Pat is happy with probability 0.5 and unhappy with probability 0.5

20 .设定一个博弈模型必须确定那几个方面？（博弈论的构成要素有哪些? ） 答:广义上讲博弈论则主要由以下五大要素构成:

一,决策主体(Player) :又称局中人或博弈方,指的是博弈中能独立决策,独立行动 并承担决策结果的个人或组织. 二,策略空间(Strategy space) :又称策略集,是指供参与者选择的策略和行动空间.

三,效用(Utility) :也就是博弈者之间相互争夺的利益.博弈双方或多方都是围绕一 定利益展开的,因此博弈胜负的评判结果主要是靠策略选择后的得失来衡量.

四,次序(Orders) :即各博弈方在决策时有先后之分,因为博弈方在决策选择上要不 时地调整改善,一定要十分注重次序轻重的问题.如果决策的次序和实施时间不同,则博弈 的结果必会有所差别.

五, 博弈均衡: 博弈虽然是为了利益和胜利, 但并非是利益尽占, 而是要遵循均衡理论. 21.“囚徒困境”的内在根源是什么？举出现实中囚徒困境的具体例子。

答：内在根源是个体之间存在行为和利益相互制约的博弈结构中，个体理性与集体理性的矛盾。 两个同学考试被怀疑作弊，但无确切证据。经分开审问。全招了。（具体内容自己展开）

“囚徒的困境”的内在根源是在个体之间存在行为和利益相互制约的博弈结构中，以个体理性和个体选择为基础的分散决策方式，无法有效地协调各方面的利益，并实现整个、个体利益共同的最优。简单地说，“囚徒的困境”问题都是个体理性与集体理性的矛盾引起的。

现实中“囚徒的困境”类型的问题是很多的。例如厂商之间价格战、恶性的广告竞争，初中、中等教育中的应试教育等，其实都是“囚徒的困境”博弈的表现形式。

23.多重纳什均衡是否会影响纳什均衡的一致性预测性质，对博弈分析有什么不利影响？

多重纳什均衡不会影响纳什均衡的一致预测性质。这是因为一致预测性不是指各个博弈方有一致的预测，而是指每个博弈方自己的策略选择与自己的预测一致。

对博弈分析主要的不利影响是，当博弈存在多重纳什均衡，而且相互之间没有明确的优劣之分时，会造成预测分析的困难，影响以纳什均衡为核心的博弈分析的预测能力。存在帕累托上策均衡、风险上策均衡、聚点均衡或相关均衡的可能性，并且博弈方相互之间有足够的默契和理解时，多重纳什均衡造成的不利影响会较小。

24.设古诺模型中有n家厂商。qi为厂商i 的产量，Q=q1+…+qn 为市场总产量。P为市场出清价格，且已知P=P（Q）=a-Q(当Q< a时，否则P=0)。假设厂商i 生产qi产量的总成本为Ci=Ci(qi)=cqi也就是说没有固定成本且各厂商的边际成本相同，为常数c（c解：厂商i的利润为：πi=p(Q)-cqi=(a-Q-c)qi

令，则有：q=a-c-Q*? ?????????????（1）

()组成该博弈的纯策略纳什均衡点。

式（1）两边同时求和，可得：，于是，

，此时p*=a-Q*=

这时的市场已是完全竞争市场。

，当n趋于无群大时，有Q*=a-c, q=0，p*=c，说明此时各厂商的产品价格等于边际成本，

24.动态博弈分析中为什么引进子博弈完美纳什均衡，它与纳什均衡是什么关系？

子博弈完美纳什均衡即动态博弈中具有这样特征的策略组合；它们不仅在整个博弈中构成纳什均衡，而且在所有的子博弈中也都构成纳什均衡。

在动态博弈分析中引进子博弈完美纳什均衡概念的原因在于，动态博弈中各个博弈方的行为有先后次序，因此往往会存在相机抉择问题，也就是博弈方可能在博弈过程中改变均衡策略设定的行为，从而使得均衡策略存在可信性问题，而且纳什均衡无法消除这种问题，只有子博弈完美纳什均衡能够解决它。

子博弈完美纳什均衡一定是纳什均衡，但纳什均衡不一定是子博弈完美纳什均衡。因此一个动态博弈的所有子博弈完纳什均衡是该博弈所有纳什均衡的一个子集。

25.连个兄弟分一块冰激凌。哥哥先提出一个分割比例，弟弟可以接受或者拒绝，接受则按哥哥的提议分割；若拒绝就自己提出一个比例。但这时冰激凌已化得只剩1/2了。对弟弟提议的比例哥哥也可以接受或者拒绝；若接受则按弟弟的提议分割，若拒绝冰激凌会全部化光。因为兄弟之间不应该做损人不利己的事，因此我们假设接受和拒绝利益相同时兄弟俩都会接受。求该博弈的子博弈完美纳什均衡。如果冰激凌每阶段只化掉1/3，博弈的字博弈完美纳什均衡是什么？

答：根据问题，如果我们假设哥的方案是S1：1-S1，其中S1是自己的份额，弟的方案是S2：1-S2，S2是哥的份额，那么可用如下的扩展形表示该博弈：

运用逆推归纳法先分析最后一阶段哥的选择。由于只要接受的利益不少于不接受的利益哥就会接受，因此在这个阶段只要弟的方案满足S2/2≥0，也就是S2≥0，哥就会接受，否则不会接受。由于冰激凌的份额不可能是负数，因此该条件实际上必然是成立的，也就是说因为哥不接受弟的方案冰激凌会全部化掉，因此任何方案哥都会接受。

现在回到前一阶段弟的选择。由于弟知道后一阶段哥的选择方法，因此知道如果不接受前一阶段哥提出的比例，自己可以取S2=0，独享此时还未化掉的1/2块冰激凌；如果选择接受前一阶段哥的提议，那么自己将得到1-S1，显然只要1-S1≥1/2，即S1≤1/2，弟就会接受哥的提议。

再回到第一阶段哥的选择。哥清楚后两个阶段双方的选择逻辑和结果，因此他在这一阶段选择S1=1/2，正是能够被弟接受的自己的最大限度份额，超过这个份额将什么都不能得到，因此S1=1/2是最佳选择。

综上，该博弈的子博弈完美纳什均衡是：哥哥开始时就提议按(1/2,1/2)分割，弟弟接受。 每阶段只化掉1/3的情况请自己分析。 26.考虑下列基本的代理人模型

这里，y为代理人对委托人的贡献，a是代理人的努力程度，k>0为参数（vk可代表委托人为代理人所创造的工作环境与技术装备，k越高，则给定 a会产生更大的贡献）。

又假定，委托人与代理人都是风险中性的。代理人的努力成本函数为C（a）。 求解：

（1）假定委托人与代理人之间签订一个线性合约：w=s+by 代理人会采取什么行动？代理人的行动“a”会如何随b而发生变化？ 代理人的行动会如何随k而发生变动？ （2）现在假定代理人的效用函数形式为

又假定代理人的努力的成本函数为证明：最优线性契约中激励系数必满足

27.考虑一个道德风险模型。在这里，所有者是风险中立的，而代理人的偏好使被定义为其收入w的均值与方差以及其付出的努力e之上的，代理人的期望效用为

28.目前我国商品房交易中普遍存在着对商品房质量的信息不对称现象，即房地产开发商对商品房质量的了解程度远比购房的居民多。 （1）假定买卖双方对商品房质量都有充分的了解，试 作图说明高质量和低质量房的市场供求状况。 （2）在信息不对称条件下，试作图分析高质量房和低质量房的市场供求变动状况。 （3）根据经济学原理，试简要讨论如何解决我国商品房交易中由于信息不对称造成的问题。

29.假定有两类工人：高能力的工人和低能力的工人。工人的工资由他的能力决定—高能力的工人赚50000元，低能力的赚30000元。厂商不能测度工人的能力，但是它却可以了解到工人是否有高中文凭。工人的效用由他们在工资上与为获得文凭支付的费用上的差异所决定。

（1）如果高能力工人与低能力工人在获得高中文凭中的花费是一样的，那么，在这种情况下，是否可以存在一种高能力工人拿工资、低能力工人拿低工资的分离的均衡？

（2）高能力工人为了获得高中文凭所愿意支付的费用最大数量是多少？如果有一种文凭可以让雇主去识别高能力工人的话，为什么低能力的工人来说，这种文凭一定要使其花费更多？

1 如果高能力工人与低能力工人在获取高中文凭中的花费是一样的，那么，在这种情况下，是否可以存在一种高能力工人拿高工资、低能力工人拿低工资的分离的均衡？

答：不可能．如果存在这样的均衡，显然只有某一类工人去获取高中文凭，否则必然是混同均衡．

给定厂商的规定，有文凭的工资50000 元，其它为30000 元．那么高能力的获取高中文凭，这说明高工资减去教育成本，所得大于低工资不教育．但对低能力的也是这样，对他们而言，50000 的工资减去教育成本，所得必然也大于低工资不教育．因此，低能力也会去获得文凭．

而给定没文凭 30000 元，有文凭50000 元，那么显然所有人都不会要文凭．所以，不存在这样的分离均衡．

2 高能力的工人为了获得高中文凭所愿意支付的费用数量是多少？如果有一种文凭可以让雇主去识别高能力工人的话，为什么对于低能力工人来说，这种文凭一定要其花费更多？

答：最多支付 20000 元（给定混同均衡收益为30000 元）．

仍然考虑厂商的规定，有文凭的工资50000 元，其它为30000 元．对高能力工人来说，必然有50000 元减去教育成本大于30000 元，而对低能力工人来说，50000 元减去教育成本小于30000 元；这就意味着高能力的教育成本要低于低能力的教育成本．