◎孟天鑫 魏国婧 靳曼莉 (北华大学数学与统计学院ꎬ吉林 吉林 １３２０１３)
【摘要】本文以随机ＳＩＳ传染病模型为例ꎬ运用Ｍａｔｌａｂ
软件来对模型进行数值模拟.首先ꎬ得到系统的阈值存在性ꎻ然后ꎬ给出疾病流行时不变测度的密度函数ꎻ最后ꎬ给出不变测度的指数收敛性.
【关键词】阈值ꎻ不变测度ꎻ依指数收敛
【基金项目】吉林省大学生创新创业训练计划项目(２０１９１０２０１０８０)ꎻ北华大学教育教学改革研究青年课题(ＸＪＱＮ２０１８１３３).
一、引 言
众所周知ꎬ传染病严重危害人类的健康ꎬ因此ꎬ利用数学建模来研究传染病的发病机理、传染规律和防治策略非常必要[１].当前从理论方面来研究传染病模型ꎬ尤其是随机模型ꎬ还存在相当大的困难ꎬ所以运用数学软件进行数值模拟来辅助我们分析判断传染病的传播规律十分必要.本文以随机ＳＩＳ传染病模型为例ꎬ演示Ｍａｔｌａｂ软件[２]是如何运用到传染病模型中去的.
二、随机模型
本文考虑如下具有白噪声扰动的随机ＳＩＳ传染病模型:
βＳＩσＳＩìΛ－－μＳ＋γＩｄｔ－ｄＳ＝ｄＢ(ｔ)ꎬïïＳ＋ＩＳ＋Ｉ
í
ïｄＩ＝βＳＩ－(μ＋ε＋γ)Ｉｄｔ＋σＳＩｄＢ(ｔ)ꎬ
Ｓ＋ＩＳ＋Ｉî
其中Ｓ表示易感者的数量ꎬＩ表示感染者的数量ꎬ易感者的输入量记为Λꎬβ表示疾病传输率ꎬμ表示自然死亡率ꎬε表示因病死亡率ꎬγ表示康复率.Ｂ(ｔ)是定义在完备的概率空间上的标准布朗运动.
三、数值模拟
取Λ＝０.３ꎬμ＝０.２ꎬε＝０.０５ꎬγ＝０.２５ꎬσ＝０.３ꎬＳ(０)＝０.５ꎬＩ(０)＝０.５.首先ꎬ分别取β＝０.４和β＝０.７.从图１(ａ)、图１(ｂ)可以看出系统的极限状态有两个:疾病灭绝和流行.但是系统的行为在这两种状态之间切换时是否存在一个确定的阈值呢?在其他参数保持不变情况下ꎬ让疾病传输率从０.２连续变化到１.２ꎬ从图１(ｃ)中可以看出ꎬ大约β＝０.５是一个分水岭ꎬ故而阈值确实是存在的.另外ꎬ图１(ｂ)中强烈显示:当疾病流行时ꎬ系统是遍历的ꎬ其不变测度的密度函数如图２所示.经过ＱＱ－ｐｌｏｔ模拟可知该不变密度大约近似于一个正态分布(如图２所示).最后ꎬ从图３可以看出ꎬ(ＳꎬＩ)在ｔ时刻的分布测度依指数收敛到不变测度ꎬ对随机模型来说ꎬ该性质在理论上是很难证明的ꎬ这从另一个侧面支持Ｍａｔｌａｂ软件数值模拟的重要性.
图１
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图２
图３
数学学习与研究 ２０２０２
【参考文献】
[１]马知恩ꎬ周义仓ꎬ等.传染病动力学的数学建模与研究[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２００４.
[２]王学辉ꎬ张明辉.Ｍａｔｌａｂ６.１最新应用详解[Ｍ].北京:中国水利水电出版社ꎬ２００２.
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